高中数学人教A版第一章三角函数 微课

第1章第1课时1.1.1任意角课前准备温故知新：在过去我们所学的角都是在之间的角，如果把角局限到这样一个范围之内，有很多问题无法解决，比如时钟分针顺时针和逆时针方向分别转半圈，所形成的角是否相等，跳水运动员转体2周半是转了多少，这些都无法表示。这些都要求角的范围必须在原有的基础上扩大。学习目标：了解任意角的概念，会表示终边相同的角，并能结合图示了解象限角和轴上角。课前思索：正角和负角的区别是什么？终边相同的角一定相等吗？课堂学习一、学习引领1．角的概念进行推广的导因：在初中学习数学时，我们认识了在范围内的角，但是在现实生活中会接触到不在该范围内的角，这样对角进行了推广就急切的被提出来。为了使按不同方向旋转所得角有所区别，规定：在直角坐标系中，将角的始边绕原点逆时针方向旋转，则可以得到所有的正角；如果按照顺时针方向旋转，则得到所有的负角。另外，对于角的概念推广之后要注意几个问题：（1）注意旋转方向不同产生正角、负角和零角；（2）要注意角的集合形式不唯一；（3）按终边位置不同产生象限角和轴线角；（4）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；（5）要注意，{是锐角}，{是第一象限角}这三者之间的联系；（6）要注意区间角：如，注意它与象限角和轴线角的区别；（7）若是第二象限角，不一定是第一象限角，也不一定是第四象限角。2．正角、零角、负角的形成：正角是指一条射线按逆时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．对于它的理解首先是要旋转，不旋转不行，同时要注意旋转方向，一定是逆时针方向，至于旋转多少没有限制．所以任意的正角是存在的，正角越大说明按逆时针旋转的量也越大（或者圈数越多）．零角则是一条射线没有做任何旋转所形成的角，有的同学对这个会出现理解上的误差，他认为不旋转就形不成角．负角则是指一条射线按顺时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．有了负角之后，角的范围就可以任意得到扩充．3．理解好象限角与轴上角（有的称为轴线角）：象限角：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的非负半轴，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角；终边在第二象限的角可表示为：，同学们，你能表示出终边在第一、三、四象限的角吗？请你试一试．轴上角（有的称为轴线角）：角的顶点合于坐标原点，角的始边是轴的非负半轴，那么角的终边落在坐标轴上，称为轴上角（也可称为轴线角），此时这个角不属于任何一个象限．终边在非负半轴的角的集合为，你能写出其它轴上角吗？请同学们试一试．4．终边相同的角：所有与角终边相同的角内可以构成一个集合：S={|=+k·360°，k∈}，也就是说任意与角终边相同的角，都可以表示成角与的整数倍的和．同学们要记住终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．一定要注意终边相同的角的大小表示中一定要有.角的终边绕着原点旋转了周，则角的度数上加个，旋转的方向即角的正负体现在的正负中.二、合作探究例1在区间内找出所有与角有相同终边的角.解析：所有与角有相同终边的角可表示为，则令，得,解得.从而或.代入后得或.点评：本题要求同学们首先理解与角终边相同的角的含义，并能正确的表示为，这些角的个数是无穷多个，同时还应知也包括本身这个角，对于求限定范围内与终边相同的角，就要让处在这个范围内确定具体的值，从而求出所求的角。例2如图所示，终边落在阴影部分（包含边界）的角的集合是（）的终边yxO的终边A．的终边yxO的终边C．D．解析：与终边相同的角的集合是与终边相同的角的集合是，所以夹在区域内的角的集合为所以应选C.点评：先写出终边落在与的角的集合，再写区域内角的集合.求两射线所夹的区域内的区间角的集合的主要是找出与区间边界终边相同的角的集合，然后求解区间角的范围.注意两个边界的大小关系不要出错。例3（1）若角是第二象限角，则是哪个象限角？（2）已知是第三象限角，则是第几象限角?解（1）因为所以：,可知角的终边应在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.（2）因为是第三象限角，所以.∴.∴当时，为第一象限角；当时，为第三象限角，当时，为第四象限角.故为第一、三、四象限角点评：由是第二、三象限角，可写出角的具体范围，然后可得到，的取值范围，再根据范围确定其所在象限即可第（2）问分类讨论的方法要注意不能出错。三、课堂练习1．设k∈Z，下列终边相同的角是（）A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90°C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60°2．下列命题中正确的是（）A.第一象限角一定不是负角B.小于90的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等3．已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是()A(1)、(2)B(2)、(3)C(1)、(3)D(2)、(4)4．已知α是第二象限的角，则角eq\f(α,2)所在象限为()A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限角5．与角的终边相同，且.则=_________6．写出终边与坐标轴重合的角的集合．四、课后作业1．若是第四象限的角，则是()A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角2．已知角，的终边相同，那么－的终边在()A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上Ｄ．y轴的非正半轴上3．找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角：（1）；（2）；（3）4．设集合,,求,.5．已知问角的终边会不会落在x轴的负半轴?学后反思自我总结知识归纳方法总结错误总结附详细解答四、课堂练习1．解：对于(A)由于2k＋1及4k±1表示奇数，知它们终边都在x轴的负半轴上，正确；对于(B)，k·90°中k是整数，而k·180°+90°＝(2k＋1）•90，其中2k＋1表示奇数，显然终边不完全同．前者表示终边在坐标轴上，后者表示终边在y轴上．对于(C)，k·180°+30°终边在第一、三象限，而k·360°±30°终边在第一、四象限，故不相同．对于(D)，k·180°+60°终边在第一、三象限，而k·60°终边有可能在x轴上，也可能在第一、二、四象限等，故不相同．所以选(A)．2．C提示：钝角的终边在第二象限3．C解析：787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°-289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°∴在第一象限的角是(1)、(3)4．解：∵α是第二象限的角，则k·360°+90°<α<k·360°+180°，∴k·180°+45°<eq\f(α,2)<k·180°+90°，当k=2n(n∈Z)时，n·360°+45°<eq\f(α,2)<n·360°+90°，∴eq\f(α,2)为第一象限的角，当k=2n+1(n∈Z)时，n·360°+225°<eq\f(α,2)<n·360°+270°，∴eq\f(α,2)为第三象限的角.∴eq\f(α,2)为第一或第三象限的角，故选A.5．∵，∴满足条件的角为、、、、.6．解：终边为x轴的角的集合M＝{|＝k•180，k∈Z}，终边为y轴的角的集合N＝{|＝k•180＋900，k∈Z}．终边为坐标轴的角的集合S＝M∪N＝{|＝k•180，k∈Z}∪{|＝k•180＋90，k∈Z}＝{|＝2k•90，k∈Z}∪{|＝(2k＋1)•90，k∈Z}＝{|＝n•90，∈Z}．五、课后作业1．C提示：因为．所以有．所以选Ｃ．2．A解：由于角、按角终边相同，则＝k•360＋，k∈Z，则有－＝k•360，k∈Z，