高中数学人教A版第三章概率 学业分层测评18

学业分层测评(十八)古典概型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列试验中，属于古典概型的是()A．种下一粒种子，观察它是否发芽B．从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶【解析】依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．【答案】C2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()\f(2,3) B．eq\f(1,2)\f(1,3) D．eq\f(1,6)【解析】从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选C.【答案】C3．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()\f(1,4) B．eq\f(1,3)\f(1,2) D．eq\f(2,5)【解析】从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝eq\f(1,4).【答案】A4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为()\f(2,3) B．eq\f(3,5)\f(3,7) D．eq\f(2,5)【解析】A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7).【答案】C5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一个解的概率为()\f(5,12) B．eq\f(11,12)\f(5,13) D．eq\f(9,13)【解析】点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即eq\f(a,1)≠eq\f(b,2)，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一个解的概率为eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).【答案】B二、填空题6．(2023·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图3­2­1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．图3­2­1【解析】该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．【解析】从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n＝10；而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A，则A所包含的基本事件数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为，，，，.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.【导学号：28750058【解析】基本事件共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10种情况．相差m的共有，，，两种情况，所以P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)三、解答题9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．【解】设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)．则中奖概率为P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).10．(2023·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq\f(1,3)，停车费多于14元的概率为eq\f(5,12)，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．【解】(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)＝eq\f(1,3)，P(C＋D)＝eq\f(5,12).又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4).所以甲的停车费为6元的概率为eq\f(1,4).(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以所求概率为eq\f(3,16).[能力提升]1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()\f(4,9) B．eq\f(1,3)\f(2,9) D．eq\f(1,9)【解析】个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).【答案】D2．(2023·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A． B．C． D．1【解析】记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝eq\f(6,10)＝.【答案】B3．(2023·南阳高一检测)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________．【解析】连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种情况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种情况，所以P＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)4．(2023·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【解】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1