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文档简介
学业分层测评(十八)古典概型(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列试验中,属于古典概型的是()A.种下一粒种子,观察它是否发芽B.从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶【解析】依据古典概型的特点判断,只有C项满足:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相同.【答案】C2.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是()\f(2,3) B.eq\f(1,2)\f(1,3) D.eq\f(1,6)【解析】从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为eq\f(2,6)=eq\f(1,3).故选C.【答案】C3.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()\f(1,4) B.eq\f(1,3)\f(1,2) D.eq\f(2,5)【解析】从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四种,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=eq\f(1,4).【答案】A4.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为()\f(2,3) B.eq\f(3,5)\f(3,7) D.eq\f(2,5)【解析】A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是eq\f(3,7).【答案】C5.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax+by=3,,x+2y=2))只有一个解的概率为()\f(5,12) B.eq\f(11,12)\f(5,13) D.eq\f(9,13)【解析】点(a,b)取值的集合共有36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即eq\f(a,1)≠eq\f(b,2),即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax+by=3,,x+2y=2))只有一个解的概率为eq\f(33,36)=eq\f(11,12).【答案】B二、填空题6.(2023·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图321所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为________.图321【解析】该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为eq\f(2,6)=eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7.在平面直角坐标系中,从五个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).【解析】从五个点中任取三个点,构成基本事件的总数为n=10;而A,C,E三点共线,B,C,D三点共线,所以这五个点可构成三角形的个数为10-2=8.设“从五个点中任取三个点,这三点能构成三角形”为事件A,则A所包含的基本事件数为m=8,故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)=eq\f(m,n)=eq\f(8,10)=eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为,,,,.若从中一次抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.【导学号:28750058【解析】基本事件共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10种情况.相差m的共有,,,两种情况,所以P=eq\f(2,10)=eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)三、解答题9.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.【解】设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两个有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16种不同的结果.(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有:(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7种结果,则中三等奖的概率为P(A)=eq\f(7,16).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种;两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2).两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3).则中奖概率为P(B)=eq\f(7+2+1,16)=eq\f(5,8).10.(2023·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq\f(1,3),停车费多于14元的概率为eq\f(5,12),求甲的停车费为6元的概率;(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解】(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)=eq\f(1,3),P(C+D)=eq\f(5,12).又事件A,B,C,D互斥,所以P(A)=1-eq\f(1,3)-eq\f(5,12)=eq\f(1,4).所以甲的停车费为6元的概率为eq\f(1,4).(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个;而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为eq\f(3,16).[能力提升]1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()\f(4,9) B.eq\f(1,3)\f(2,9) D.eq\f(1,9)【解析】个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个),符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有5×5=25(个),符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=eq\f(5,45)=eq\f(1,9).【答案】D2.(2023·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A. B.C. D.1【解析】记3件合格品为a1,a2,a3,2件次品为b1,b2,则任取2件构成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共10个元素.记“恰有1件次品”为事件A,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},共6个元素.故其概率为P(A)=eq\f(6,10)=.【答案】B3.(2023·南阳高一检测)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16上或其内部的概率是________.【解析】连续掷两次骰子,得到点数m,n记作P(m,n),共有36种情况,其中点P(m,n)落在圆x2+y2=16上或其内部的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8种情况,所以P=eq\f(8,36)=eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)4.(2023·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.【解】(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=eq\f(15,45)=eq\f(1,3).(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1
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