高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试 学业分层测评8

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2C．3 D．4【解析】对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.【答案】B2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD­A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.【答案】B3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．【答案】A4．如图1­6­11，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()图1­6­11A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】∵AB为直径，∴AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，PC平面PAC，∴PC⊥BC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角，又PA＝AC，∴∠ACP＝45°.【答案】C5．在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E、F、G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图1­6­12A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】由三角形的中位线的性质可证EG∥BC，FG∥PC，进而可证平面EFG∥平面正确，由PC⊥BC，PC⊥AC可证PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面正确，因为E、F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，D错误，因为AB与平面EFG不垂直．【答案】D二、填空题6．如图1­6­13，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．图1­6­13【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.【答案】垂直7．如图1­6­14所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图1­6­14【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4个8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．【解析】如图所示，设正四面体A­BCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答题9．如图1­6­15，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.图1­6­15【证明】设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如图1­6­16，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：图1­6­16(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.【导学号：10690023】【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.[能力提升]1．在正四面体P­ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【解析】如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE.∴B正确．∵平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．【答案】C2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是()\r(5)B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．4eq\r(5)【解析】如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).【答案】D3．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，则二面角B­AC­D的余弦值为________．【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°.【答案】60°4.如图1­6­17，在三棱锥P­ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).图1­6­17(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于点F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF，求点E的位置．【解】(1)证明：由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB，又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.(2)因为CF⊥PB，所以