高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 微课

1．函数的极值与导数1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．极小值点与极小值的定义(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0．(2)实质：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．(3)极小值点是：点a，极小值是：f(a)．2．极大值点与极大值的定义(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0．(2)实质：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．(3)极大值点是：点b，极大值是：f(b)．3．极值的定义(1)极大值与极小值统称极值．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．4．函数在某点取得极值的必要条件函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的必要条件是f′(x0)＝0．想一想：(1)函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？(2)函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值为________．(1)解析：不一定；不一定唯一．(2)解析：因为f′(x)＝3x2－6x，解3x2－6x＝0得x＝0或x＝2，所以f(x)的增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)，f(x)的减区间为(0，2)，所以当x＝0时，函数取得极大值f(0)＝7.答案：7eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(D)A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由f′(－3)＝0得a＝5.故选D.2．设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则(D)A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(D)A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：x∈R，y′＝1－eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(（x－1）2,1＋x2)≥0，所以函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(D)A．2B．3C．4D．5解析：f′(－3)＝0，a＝5.故选D.2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(D)A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：x∈R，y′＝1－eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(（x－1）2,1＋x2)≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.4.若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝______．解析：f′(x)＝eq\f(2x（x＋1）－（x2＋a）,（x＋1）2).∴f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0得a＝3.答案：3eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(B)A．0B．1C．2D．3解析：因为f′(x)＝2xln2＋3x2＞0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．6．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B)A．(2，3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞)．7．函数y＝x3－3x的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝1，极大值为2，极小值为－2．8．曲线y＝eq\f(1,2)x2＋4lnx上切线斜率的极小值为________．解析：y′＝x＋eq\f(4,x)(x>0)，令g(x)＝x＋eq\f(4,x)，则g′(x)＝1－eq\f(4,x2).令g′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0，2)时，g′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时g′(x)>0，∴当x＝2时，g(x)有极小值g(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.答案：49．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．解析：(1)由题图，x<1时，f′(x)>0，1＜x＜2时，f′(x)<0，∴1是函数f(x)的极大值点，即x0＝1.(2)由题知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝3a＋2b＋c＝0，,f′（2）＝12a＋4b＋c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝5，))解得a＝2，b＝－9，c＝12.10．(2023·高考福建卷)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex.解析：(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，∴a＝2，∴f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.由f′(x)＝0得x＝ln2，当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴当x＝ln2时，f(x