高中数学人教B版1第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算第3章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于()A．2 B．－2C．1 D．0【解析】因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以x＋y＝0.【答案】D2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【解析】eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝－2eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线，又它们经过同一点B，∴A，B，D三点共线．【答案】A3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．无法判断【解析】∵eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴点P，A，B，C四点共面．【答案】B4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p.【答案】B5．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO,\s\up6(→))1，eq\o(AO,\s\up6(→))2，eq\o(AO,\s\up6(→))3}为基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO,\s\up6(→))1＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO,\s\up6(→))3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2【解析】eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AO1,\s\up6(→))＋eq\o(AO3,\s\up6(→))＋eq\o(AO2,\s\up6(→))，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.【答案】A二、填空题6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.【解析】∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.【答案】07．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z的值为________.【导学号：15460063】【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1eq\o(OB,\s\up6(→))＋y1eq\o(OC,\s\up6(→))＋z1eq\o(OD,\s\up6(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－18．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.【解析】由已知可得：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))共线，即存在λ∈R使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝－4λ，))解得k＝－8.【答案】－8三、解答题9．如图3­1­18所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：图3­1­18(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).【解】由题意知|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1，又∵|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.10．正方体OABC­O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up6(→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(AC′,\s\up6(→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up6(→)).【解】(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))2)＝eq\r(12＋12＋12＋2×1×1×cos60°×3)＝eq\r(6).[能力提升]1．若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝β(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up6(→))－λeq\o(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】C2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))，那么M必()A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1【解析】由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PA1,\s\up6(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up6(→))－eq\o(PA1,\s\up6(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up6(→))－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4eq\o(PD1,\s\up6(→))，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.【答案】C3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a与e1共线；②a与e2共线；③a与