高中数学人教A版第三章函数的应用函数模型及其应用（全国一等奖）

16．函数模型及其应用学习目标1．从实例出发，体验用函数描述实际问题的价值，体会函数是描述客观世界变化规律的基体模型．2．掌握函数建模的基本方法和步骤．3．熟悉几种主要的函数模型：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．4．初步树立利用函数模型研究变量取值范围和最值的意识，初步理解生活中的优化问题一般都应通过建立函数模型来分析与研究这种数学思考方式．一、夯实基础基础梳理1．三种函数模型的性质在图象的变化随的增大逐渐与轴平行随的增大逐渐与轴平行随值不同而不同2．三种函数增长速度（1）在区间上，函数，和都是__________．但__________不同，且不在同一个“档次”上．（2）随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度__________．（3）存在一个，当时，有__________．3．常见函数数模型名称解析式条件一次函数模型反比例函数模型二次函数模型顶点式：指数函数模型且对数函数模型且幂函数模型4．题型分析（1）图象信息迁移问题； （2）指数函数、对数函数与幂函数模型的比较（3）利用已知函数模型解决问题 （4）自建函数模型应用题基础达标 1．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分与总量的比随时间（小量）变化的关系式为__________．2．如图，用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）．A．3 B．4 C．6 D．12米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为和80元/米，则总造价与一底连长的函数关系式为（）．A． B．C． D．4．似定从甲地到乙地通话分钟的电话费由（其中，是大于或等于的最小整数），则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为__________．5．周长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为，此框架围成的面积为，则关于的函数关系式是_____________________________二、学习指引自主探究1．不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，如一次函数、指数函数、对数函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，那么建立函数模型的含义是什么呢？2．如图所示，在矩形中，已知，（1）每天几点时蓄水池中的存水量最少？（2）若池中存水量不多于80吨时，就会出现供水紧张现象，则每天会有几个小时出现这种现象？【解析】（1）设点时（即从零点起小时后）池中的存水量为吨，则，当时，即，取得最小值40．即每天6点时蓄水池中的存水量最少．（2）由，解得，即，时，池中存水量将不多于80吨，由知，每天将有8个小时出现供水紧张现象．答：（1）每天6点时蓄水池中的存水量最少；（2）每天将有8个小时出现供水紧张现象．4．某医药研究所开发了一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，部分是函数（是常数）的图象，此部分图象经过、点（如图所示）．（1）写出服药后每豪升血液中含药量关于时间的函数关系式；（2）据测定：每豪升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上60：00，当药效没有时应立即服第二次药，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每豪升血液中含药量为多少？【解析】（1）当时，设，代入，解得．当时将，代入，得所以服药后每豪升血液中含药量关于时间的函数关系式为：（2）由图可知，只需考虑服药1小时后，什么时候没有药效即可．由知道，第一次服药5小时后没有药效，因此当天上午11点钟应再次服药．（3）11点钟再次服药后三小时，体内的药物量由两部分组成，一是第一次服药形成的药物剩余量，二是第二次服药形成的药物剩余量，其中，，就是说第二次服药后再过，该病人每豪升血液中含药量为．5．某平原镇有、、、四间工厂坐落在边长为的正方形顶点上，为了交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定修建一个如图所示的使得任何两间工厂都有通道的道路网（为正方形中心，）．（1）是否存在一个道路网，满足题设要求且使它的总长不超过；（2）当为多少时，道路网的总长度最短．【解析】设道路网的总长为，则，（*）（1）依题要求有，即，解得，由此可知，当公共道路长，有无数种方案满足要求．（2）为了求函数的最小值．把（*）化为的方程．上述关于方程有解，解得，把代入（*），解得．故当公共道路长为时，道路网总长最短，为．三、能力提升能力闯关1．某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允计停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度为，为使最小，电梯应当停在__________层．2．某公司制定年度奖励条例，对在工作中取得优异成绩的营销经理实行奖励，其中有一个奖励项目是针对产品营销成绩的高低对营销经理进行奖励的．奖励公式为：，（其中是营销经理一年的月平均营销成绩与该公司所有营销经理一年的月平均营销成绩之差，的单位为元），而现有甲、乙两们营销经理，甲营销经理一年的月平均营销成绩比该公司所有营销经理一年的月平均营销成绩高出18个单位，乙营销经理一年的月平均营销成绩比刻公司所有营销经理一年的月平均营销成绩高出21个单位，则乙所得奖励比甲所得奖励多（）．A．6000元 B．9000元 C．16000元 D．17000元3．某租赁公司佣有汽车100辆．当每辆四的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆四的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆四的月租金定为多少元时，该租赁公司，的月收益最大？最大月收益是多少？拓展迁移1．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图，腰与水平线夹角为，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值，当渠深__________时，可使水渠流水量最大．2．某工厂有一段旧墙长14米，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米的旧墙，用可得的建材建1米的新建的费用为元，经讨论有两种方案：方案一：利用旧墙一段米为矩形一边；方案二：矩形厂房利用旧墙的一面边长，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较两种方案哪个更好．挑战极限1．地产汽油，地需要汽油，如果用汽车直接从地往地运油，往返所需油耗恰好等于其满载汽油的吨数，所以无法直接从地将汽油运到地，今在其途中地设一个中转汽油库，先由往返于，之间的汽车将汽油运到地，然后再由往返于，之间的汽车将汽油运到地．（1）设，怎样组织运输才能以最经济的方法将地的汽油运往地（即地收到的汽油最多），此时运油率等于多少？（2）等于多少时，运油率取得最大值？此时又将怎样组织运输？课程小结1．解决函数应用问题应用问题应着重注意以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等．理解题意的过程包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质．“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；“领悟实质”是指抓住题目中的主要部题、正确的识别其类型．（2）建立函数模型：关键是正确选反自变量将问题的目瞟表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域．（3）求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用.（4）还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，对于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出的结论，并作出回答.2．数学建模中的分析方法有：（1）关系分析法，即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.（2）列表分析法，即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.（3）图像分析法，即通过对图像中的数量关系时行分析来建立问题数学模型的方法.《导学手册》问题记录表大家在儾使用时如有发现有问题，请写在下面，交数学组，谢谢！页码章节部分问题描述示例：P41挑战极限11题原题中应为“”

16．函数模型及其应用基础梳理1．增函数，增函数，增函数．2．增函数，增长速度，越来越慢，．基础达标1．，且．2．．【解析】设隔墙长为，则矩形场地长宽分别为，矩形的面积，，显然当隔墙长时，矩形的面积最大．3．．4．．．5．．【解析】半圆弧长为，矩形宽为，于是框架围成的面积为，要使问题有意义，应有．自主探究1．【解析】分别用变量表示有因果关系的两个量，如果我们能将变量表示为的函数，则称此函数为问题的一个函数模型．我们生活中的绝大多数变化现象，很难根据已知理论直接建立函数模型，一般是通过采集变化过程中的变量的数据，描出相应的散点图建立大致反映变化规律的函数模型．2．【解析】（1）容易证明四边形是平行四边形，我们有三种方法求四边形的面积，其一，直接求面积，用底底上的高求；其二，用；其三，间接求面积，用矩形面积减去四个角上的直角三角形的面积，对于本题，用方法三解，最佳．设四边形面积为，则，∴．（2）的取值要保证图形中的线段长满足下列关系，所以应有，故所求函数的定义域为．（3），∴，若，即时，则当时，有最大值；若，即时，在上是增函数，此时当时，有最大值为，综上可知，当时，时，四边形面积，当时，时，四边形面积．3．【解析】建立函数模型解决实际问题，一般有下列几个重要步骤：第一步：设置因果变量；第二步：利用已知条件，建立关于的函数解析式；第三步：研究函数的定义域；第四步：利用函数研究目标，如果函数解析式中有字母系数，则需通过分类讨论研究目标；第五步：回答问题．4．【解析】（1）由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润，设该店的月利润为元，有职工名．则．又由图可知：（2）将代入有：由已知，当时，，即，解得．即此时该店有名职工．（3）若该店只安排名职工，则月利润当时，求得时，取最大值元．当时，求得时，取最大值元．综上，当时，月利润有最大值元．需要还清的总债务是：万元+20万元=（元），设该店最早可在年后还清债务，依题意，有，解得．所以，该店最早可在年后还清债务，此时消费品的单价定为元．想一想1．如图所示，的增长速度远远快于的增长速度．2．生活实际问题中，自变量考虑生活实际意义，不能只注重函数解析式自身的限制要求．能力闯关1．14．【解析】设电梯停在层的不满意度为，则，将再定成：，两式相加得：，∴．此二次函数开口向上，是最靠近对称轴的整数，故时，最小．2．．【解析】甲所得奖励为（元），乙所得奖励为（元），所以乙所得奖励比甲所得奖励多（元）．3．【解析】（1）当每辆车的月租金定为元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了辆车．（2）设每辆车的月租金定为元，则租凭公司的月收益为，整理，得，所以，当时，最大，其最大值为，即当每辆车的月租金定为元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益为元．答：（1）当每辆车的月租金定为元时，能租出辆车；（2）当每辆车的月租金定为元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益为元．拓展迁移1．．【解析】设渠底长为，则腰长，∴，横断面面积，要使问题有意义，应有，显然当，时，横断面面积最大，从而水渠流水量也最大．2．【解析】如果选择方案一：修旧墙费用为元，拆旧墙造新墙费用为，其余新墙费用：，∴总费用，∴，当时，，如果选择方案二：利用旧墙费用为（元），建新墙费用为（元）