高中数学北师大版4第二章参数方程 第2节3

第二讲第二节第三课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点轨迹是()A．圆 B．椭圆C．直线 D．线段解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即eq\f(x,2)＝sinθ－cosθ，eq\f(y,3)＝sinθ＋cosθ，两式平方相加，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝2，是椭圆．答案：B2．椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ,y＝bsinθ))，(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的(－a,0)对应的θ＝()A．π B．eq\f(π,2)C．2π D．eq\f(3,2)π解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.答案：A3．曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ,y＝3sinθ))上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)解析：椭圆标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1如图所示．|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a∴|MF2|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.答案：B4．设P(x，y)为椭圆(x－1)2＋eq\f(2y2,3)＝1上的一点，则x＋y的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(10),2)，1＋\f(\r(10),2))) B．RC．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)－1，\f(\r(10),2)＋1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2)))解析：设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ,y＝\f(\r(6),2)sinθ))则x＋y＝1＋cosθ＋eq\f(\r(6),2)sinθ＝1＋eq\f(\r(10),2)sin(θ＋φ)；∴1－eq\f(\r(10),2)≤x＋y≤1＋eq\f(\r(10),2).答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设椭圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点．M，N对应的参数为θ1，θ2且x1<x2，则θ1，θ2大小关系是__________________.解析：因为x＝acosθ且x1<x2，由余弦函数性质，在0≤θ≤π上单调递减，所以θ1>θ2.答案：θ1>θ26．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是__________________.解析：椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0Δ＝4b2－20(b2－16)≥0解之得：－2eq\r(5)≤b≤2eq\r(5).答案：[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)．(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1，所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|＝eq\r(－9－32＋6－02)＝6eq\r(5)，故a＝3eq\r(5).又c＝3，b2＝a2－c2＝36.此时椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，求x＋y的最值．解析：因为P点在椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1上，所以可以设P点坐标为(cosθ，2sinθ)，即x＝cosθ，y＝2sinθ，所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝eq\r(5)sin(θ＋φ)，其中，tanφ＝eq\f(1,2).因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值为eq\r(5)，最小值为－eq\r(5).eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图所示，已知点M是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原来，求四边形MAOB的面积的最大值．解析：方法一：M是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，由椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ为参数)，故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0＜φ＜eq\f(π,2)，因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f(1,2)OA·yM＋eq\f(1,2)OB·xM＝eq\f(1,2)ab(sinφ＋cosφ)＝eq\f(\r(2),2)absineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4))).所以，当φ＝eq\f(π,4)时，四边形MAOB面积的最大值为eq\f(\r(2),2)ab.方法二：设M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，则yM＝beq\r(1－\f(x\o\al(2,M),a2))，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f(1,2)OA·yM＋eq\f(1,2)OB·xM＝eq\f(1,2)abeq\r(1－\f(x\o\al(2,M),a2))＋eq\f(1,2)bxM＝eq\f(1,2)b(eq\r(a2－x\o\al(2,M))＋xM)＝eq\f(1,2)beq\r(a2－