高中数学人教B版第一章解三角形学业分层测评3

学业分层测评(三)距离和高度问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1­2­7，测得下面四组数据，较合理的是()图1­2­7A．c与α B．c与bC．b，c与β D．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile nmile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70(nmile)．【答案】B3．如图1­2­8，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(eq\r(3)＋1)，则A，B间距离是()图1­2­8A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．20eq\r(6)米 D.40eq\r(2)米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(米)．【答案】C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20m B．30mC．40m D.【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】C5．如图1­2­9所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()图1­2­9A．15eq\r(6)m B.20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D.30eq\r(6)m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m.【答案】D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．【答案】eq\r(2)7．如图1­2­10，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m.图1­2­10【解析】tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.【答案】608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1­2­11所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球.【导学号：33300015】图1­2­11【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．【答案】7三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1­2­12，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2km，C，D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A，B两景点的距离．图1­2­12【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2km.10．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离.【导学号：33300016】【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A．d1>d2 B．d1＝d2C．d1<d2 D.不能确定大小【解析】如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC中，eq\f(d1,sinα)＝eq\f(PB,sin∠PCB)，在△PCD中，eq\f(d2,sinβ)＝eq\f(PD,sin∠PCD)，∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(PB,PD).∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】C2．如图1­2­13，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m,eq\r(3)＝()图1­2­13A．2.7m B．17.3mC．37.3m D.【解析】在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)(m)．在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)(m)，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈(m)．【答案】C3.如图1­2­14所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．图1­2­14【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°).所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)(米)．故石竹山这条索道AC长为100eq\r(39)米．【答案】100eq\r(39)4．2023年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1­2­15)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1­2­15【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理M