高中数学北师大版2第一章推理与证明 第1章1类比推理

类比推理1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理1类比推理阅读教材P5“类比推理”至P6前16行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理2合情推理阅读教材P6的最后4个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.合情推理的结果不一定正确.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]类比推理在数列中的应用在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和.(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.【自主解答】(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.证明如下：∵等差数列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝eq\o(10d＋10d＋…10d,\s\do8(10个))＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)对于任意k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.[再练一题]1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列.【导学号：94210005】【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列.【答案】eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)类比推理在几何中的应用如图1­1­10所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1.图1­1­10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1.证明如下：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP­BCD,VA­BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP­ACD,VA­BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP­ABD,VA­BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP­ABC,VA­BCD).∵VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABC＝VA­BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABC,VA­BCD)＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[探究共研型]类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.探究2已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(n（n＋1）,2).类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和.【提示】因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】eq\x(\a\al(双曲线与,椭圆类比))→eq\x(\a\al(椭圆中的结论))→eq\x(\a\al(双曲线中的,相应结论))→eq\x(理论证明)【自主解答】类似性质：若M，N为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n).因为点M(m，n)是双曲线上的点，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，则kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.(2023·温州高二检测)如图1­1­11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up12(→))⊥eq\o(AB,\s\up12(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.图1­1­11【解析】如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以eq\o(FB,\s\up12(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－a，b).又因为eq\o(FB,\s\up12(→))⊥eq\o(AB,\s\up12(→))，所以eq\o(FB,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去).【答案】eq\f(1＋\r(5),2)[构建·体系]1.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D.“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由实数运算的知识易得C项正确.【答案】C2.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面积公式为()【导学号：94210006】\f(r2,2) \f(l2,2)\f(lr,2) D.无法确定【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝eq\f(lr,2).【答案】C3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶84.在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝eq\f(1,3)[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝eq\f(1,3)(1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f(1,3)(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝eq\f(1,3)[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝eq\f(1,3)n(＋1)(n＋2).类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为________________.【解析】1×3＝eq\f(1,6)×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝eq\f(1,6)×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝eq\f(1,6)×(3×4×13－2×3×11)，……n(n＋2)＝eq\f(1,6)[n(n＋1)(2n＋7)－(n－1)n(2n＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋7).【答案】eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋7)5.如图1­1­12(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图1­1­12(2)，三棱锥A­BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.(1)(2)图1­1­12【解】命题是：三棱锥A­BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：如图，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是Seq\o\al(2,△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AE))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·EM))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·ED))＝S△BCM·S△BCD.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋ynD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体S­ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C4.在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()>b4b8 >b4b5＋b7<b4＋b8 ＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】C5.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A­BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝() 【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)⇒r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C二、填空题6.(2023·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A­BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A­BCD的外接球.【答案】在三棱锥A­BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A­BCD的外接球半径R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)8.已知等差数列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)三、解答题9.如图1­1­13(1)，在平面内有面积关系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，写出图1­1­13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1)(2)图1­1­13【解】类比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.则eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的eq\f(1,3)，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A.正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,2)B.正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,3)C.正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4)D.正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,5)【解析】原问题的解法为等面积法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar⇒r＝eq\f(1,3)h，类比问题的解法应为等体积法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr⇒r＝eq\f(1,4)h，即正四面体的内切球的半径是其高的eq\f(1,4).【答案】C2.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)＝eq\r(n,\f(ceq\o\al(n,1)＋ceq\o\al(n,2)＋…＋ceq\o\al(n,n),n))＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)【解析】若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\s\up12(\f(n（n－1）,2))，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\s\up12(\f(n－1,2))，即{dn}为等比数列.【答案】D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5