高中数学高考三轮冲刺 2023学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理）

2023学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数，（其中，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为___________．2．函数的定义域是_____________．3．已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________．4．函数的最大值是_________________．5．已知等差数列的前项和为，且，，则__________．6．若关于的不等式的解集为或，则实数的值为______．7．已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为______________________．8．在极坐标系数中，曲线与的交点到极点的距离为_____________．9．按下图所示的程序框图运算：若输入，则输出的值是．是是开始输入否结束输出10．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为、，体积分别为、，若它们的侧面积相等，且，则___________．11．甲口袋中有个白球、个黑球，乙口袋中有个白球、个黑球，从这两个口袋中分别摸出个球，则个球为个白球个黑球的概率是___________（结果用最简分数表示）．12．已知正方形的边长为，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若且，则的所有可能取值的集合为_______．13．已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是________．14．定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，有下列个关于的判断：①是周期函数；②；③在上是减函数；④在上是减函数．其中正确的判断是_________________（写出所有正确判断的序号）．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若非零向量，满足，，则与的夹角大小为…………（）A．B．C．D．16．已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为…………………（）A．B．C．D．17．定义在上的函数满足则的值为…………………………（）A．B．C．D．18．设，直线与轴交于点，与轴交于点，若直线与圆相切，则△（为坐标原点）面积的最小值是…（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数．（1）求的定义域和最小正周期；（2）在锐角△中，若，，，求的大小及边的值．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．PABDC如图，在四棱锥中，底面，，，，．PABDC（1）若，求四棱锥体积的最大值；（2）若，且与平面所成的角为，求的长．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数的图像过点和．（1）求、的值及的反函数的解析式；（2）当时，求函数的值域．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设抛物线：（）的焦点为，过点作斜率为的直线与该抛物线交于、两点，、在轴上的射影分别为、C，且梯形的面积为．（1）求抛物线的方程；（2）过点任作一直线与抛物线交于、两点，过作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点），证明：动点在定直线上．（3）任作一条不与坐标轴垂直的直线，与抛物线有且只有一个公共点，若与直线交于点，与（2）中的定直线交于点．证明：为定值，并求此定值．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知等比数列的首项，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项．数列满足（，）．（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对任意正整数，在与之间插入个，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求（）的表达式．2023学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，满分56分）1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．①②③二．选择题（本大题共有4题，满分20分）15．D16．A17．C18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（1）要使得函数有意义，只需即可，即，……（1分）所以，函数的定义域为．………………（3分），……（5分）所以，的最小正周期．……（6分）（2）由，得，故，，……………………（1分）由正弦定理，，即，得，……………（3分）因为，所以，所以，……………（4分）由正弦定理，，得．…（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）在底面内，作，为垂足，因为，所以△是等腰直角三角形，，故，…………（2分）所以，PABPABDCE所以，当且仅当时，取最大值．…（5分）此时，四棱锥体积取最大值，且．……（6分）（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，………………（1分）设，则，，，，所以，，，…………（2分）设平面的一个法向量为，则由得取，则，，，…………（4分）因为与平面所成的角为，所以，……………（6分）即，解得或（舍去）．所以，的长为．………………（8分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意得，解得………………（2分）所以．由，得，故．……（4分），……………………（5分）所以反函数（）．……………（6分）（2），…………………（2分）因为在上是减函数，所以，………………（5分）所以，………………（6分）所以，函数的值域是．…………………（8分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1），由题意得，直线的方程为，由得，………（1分）设，，则，，所以梯形的面积，解得．………………（3分）所以，抛物线的方程为．………（4分）（2）由题意，设直线的方程为，…………（1分）代入得，设，，则，…（2分）又直线的方程为，即，…………（3分）又直线的方程为，解得交点，即．……（5分）所以，点在定直线上．…………（6分）（3）由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为（），代入，得，……（1分）由△，得，即，…………………（2分）所以直线的方程为．…………………（3分）分别令，，得，，…………（4分）所以（定值）．…………（6分）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）因为，所以，解得或，……（2分）因为是正整数，所以，又，所以（）．…………（4分）（2）由，得，所以，，，则由，得．……（3分）当时，，由（常数）．…………（5分）所以，