第七章微波谐振器

第7章微波谐振器微波谐振器通常由一定形状的“电壁”或“磁壁”限定的体积，其内产生电磁振荡。它是一种储能和选频谐振元件，用于滤波器、振荡器、频率计、调谐放大器等。2023/2/4微波技术基础低频（<300MHz）采用集中参数的LC谐振回路；在高频段（≥300MHz），LC回路的欧姆损耗、介质损耗、辐射损耗增大，品质因素Q下降。微波谐振器可以定性地看作是由集中参数LC谐振回路过渡而来的，如图所示。在研究谐振频率f0时，采用不计及腔损耗，即腔壁由理想导体构成。但是，当研究Q时,则必须考虑损耗的因素。2023/2/4微波技术基础总结1.背景：在微波范围的高频段，由于波长与谐振回路的线长度可以比拟，因而有能量的辐射。波长越短辐射越严重；介质损耗和由趋肤效应引起的损耗也都增加，这必然会降低回路的质量。另外，由于电感和电容元件尺寸甚小，还将带来制造上的困难和机械强度不够。因此，甚至在分米波范围内使用集总参数回路，就很难保证它正常工作。2.有两种避免辐射的方法：一种是把电磁场封闭在空腔中；另一种是使电磁场聚集在高介电常数的介质内。前者导致各种空腔谐振器的产生，后者则构成各种开放型谐振器的基础。3.微波谐振器中有很大一类是由微波传输线构成的，通常称为传输线型谐振器；另外有些谐振器形状较复杂，如环行谐振器和混合同轴线型谐振器等，通常称为非传输线型谐振器。2023/2/4微波技术基础非传输线型的空腔谐振器，主要应用在大功率的微波管和加速器等微波系统中。在微波集成电路中，则主要采用微带谐振器及介质谐振器。关于谐振器的分析方法，从原则上讲，都可通过在给定的边界条件下求解电磁场方程的方法来分析，并进而求得谐振器主要特性参数。但是对于传输线型的谐振器，还可以用驻波分析法求解，其要点是：把谐振器看成两端短路、开路或一端短路另一端开路的一段传输线，然后直接利用前面章节得出的相应波导的有关公式来分析。另外，对于某些谐振器，甚至可以采用等效电路的方法来求得它的主要特性参数。2023/2/4微波技术基础7-1微波谐振器的基本特性与参数一、任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性任意形状理想导电壁的谐振器，填充均匀介质，且无源，电磁场满足边界条件：2023/2/4微波技术基础分离变量法由此可得E、H的通解为将电场和磁场归一化，可得麦氏方程组2023/2/4微波技术基础为满足边界条件的模式矢量函数谐振器自由振荡的模式角频率对于谐振器，某一自由振荡模式2023/2/4微波技术基础谐振器自由振荡的模式，其最大电场储能量等于最大磁场储能量综上所述，可以得到如下结论：微波谐振器中可以存在无穷多个不同振荡模式的自由振荡，不同的振荡模式具有不同的振荡频率。这表明微波谐振器的多谐性，与低频LC回路不同。微波谐振器中的单模电场和磁场为正弦场，时间相位差90，两者最大储能相等。由于谐振器内无能量损耗，谐振器亦无能量流出，能量只在电场和磁场之间不断交换，形成振荡。2023/2/4微波技术基础二、谐振器的基本参数1、谐振波长表征谐振器的振荡规律和存在条件。在求解中,它与传输线不同。在传输线中z是优势方向:即沿z方向传播。从概念上讲：x、y方向是驻波，而z方向假定是行波。xy0-z例，矩形波导2023/2/4微波技术基础x0-zy矩形谐振腔可见,传输线kc是二维谐振，将一端矩形波导两段封闭，z方向的行波解也变为驻波形式。即，谐振腔在三个方向都是纯驻波。2023/2/4微波技术基础为波导的截止波长，波导波长从这个意义上看谐振频率0是问题的本征值，而对应的场分布则是本征矢。用本征值问题加以讨论。在填充空气的条件下

在z方向2023/2/4微波技术基础2)固有品质因素和有载品质因素固有品质因素的定义品质因数Q0是微波谐振器的一个主要参量，它描述了谐振器频率选择性的优劣和能量损耗的大小，其定义为式中，W为谐振器储存的能量；WT为一周期内谐振器损耗的能量;r为谐振角频率；PL为一周期内谐振器中的平均损耗功率。其它计算公式谐振腔内的储能为2023/2/4微波技术基础当腔内填充无耗媒质，或媒质损耗可以忽略时，PL只与腔内壁电阻引起的损耗有关，此时有内壁表面电阻RS由此可得Q0为由此可知，只要知道了某种模式的场结构，Q0就可以求出。(7.1-24)zy111x2023/2/4微波技术基础令：这样，Q0就可以表示为对于工作模式已给定的腔体而言，是一常数，若用A表示，则Q0为容积能量密度面积能量密度2023/2/4微波技术基础谐振器内壁的切向磁场一般总大于腔内磁，近似有可见，V/S值越大、越小，Q0就愈高。因此，为了提高Q0，在能抑止高次模的前提下，尽可能使V大一些，S小一些，并选用电导率较大的材料作为腔壁的内表面，而且表面粗糙度也应尽量地小。(7.1-25)2023/2/4微波技术基础对于一个实际的腔体，总是要通过孔、环或探针等与外电路（负载）发生能量耦合；这样，由于外电路的作用，不仅使腔的固有谐振频率发生了变化，而且还额外地增加了腔的功率损耗，从而导致品质因素的下降。通常把考虑了外界负载情况下腔体的品质因素称为有载品质因素QL。可以表示为：式中的Qe称为耦合（或外部）品质因素。有载品质因素QL2023/2/4微波技术基础3、损耗电导将单模谐振器等效为LC回路，用等效电导表示谐振器功率损耗为等效电路两段电压幅值现代微波理论中对于G0这个参量已经比较淡化(只有在TEM波，例如同轴腔才使用)，而强调ω0和Q这两个参量.2023/2/4微波技术基础7-2串联和并联谐振电路输入阻抗输入复功率电阻耗散功率一、串联谐振电路2023/2/4微波技术基础谐振时，电感中平均储磁场能量电容中平均储电场能量1、谐振频率复功率2023/2/4微波技术基础2、品质因数串联谐振电路在谐振频率附近(7.2-10a)2023/2/4微波技术基础二、并联谐振电路电阻耗散功率复功率2023/2/4微波技术基础1、谐振频率2、品质因数在谐振频率附近2023/2/4微波技术基础谐振频率可采用电纳法分析。在谐振时，谐振器内电场能量和磁场能量彼此相互转换，其谐振器内总的电纳为零。如果采用某种方法得到谐振器的等效电路，并将所有的等效电纳归算到同一个参考面上，则谐振时，此参考面上总的电纳为零，即获得谐振频率。2023/2/4微波技术基础复习11.背景：在微波范围的高频段，由于波长与谐振回路的线长度可以比拟，因而有能量的辐射。波长越短辐射越严重；介质损耗和由趋肤效应引起的损耗也都增加，这必然会降低回路的质量。另外，由于电感和电容元件尺寸甚小，还将带来制造上的困难和机械强度不够。因此，甚至在分米波范围内使用集总参数回路，就很难保证它正常工作。2.有两种避免辐射的方法：一种是把电磁场封闭在空腔中；另一种是使电磁场聚集在高介电常数的介质内。前者导致各种空腔谐振器的产生，后者则构成各种开放型谐振器的基础。3.微波谐振器中有很大一类是由微波传输线构成的，通常称为传输线型谐振器；另外有些谐振器形状较复杂，如环行谐振器和混合同轴线型谐振器等，通常称为非传输线型谐振器。2023/2/4微波技术基础非传输线型的空腔谐振器，主要应用在大功率的微波管和加速器等微波系统中。在微波集成电路中，则主要采用微带谐振器及介质谐振器。关于谐振器的分析方法，从原则上讲，都可通过在给定的边界条件下求解电磁场方程的方法来分析，并进而求得谐振器主要特性参数。但是对于传输线型的谐振器，还可以用驻波分析法求解，其要点是：把谐振器看成两端短路、开路或一端短路另一端开路的一段传输线，然后直接利用前面章节得出的相应波导的有关公式来分析。另外，对于某些谐振器，甚至可以采用等效电路的方法来求得它的主要特性参数。复习22023/2/4微波技术基础7-1微波谐振器的基本特性与参数

一、任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性对于谐振器，某一自由振荡模式微波谐振器中可以存在无穷多个不同振荡模式的自由振荡，不同的振荡模式具有不同的振荡频率。这表明微波谐振器的多谐性，与低频LC回路不同。微波谐振器中的单模电场和磁场为正弦场，时间相位差90，两者最大储能相等。由于谐振器内无能量损耗，谐振器亦无能量流出，能量只在电场和磁场之间不断交换，形成振荡。复习32023/2/4微波技术基础二、谐振器的基本参数1、谐振波长x0-zy可见,传输线kc是二维谐振，将一端矩形波导两段封闭，z方向的行波解也变为驻波形式。即，谐振腔在三个方向都是纯驻波。为波导的截止波长波导波长复习42023/2/4微波技术基础2)固有品质因素和有载品质因素固有品质因素的定义描述谐振器频率选择性的优劣和能量损耗的大小，定义式中，W为谐振器储存的能量；WT为一周期内谐振器损耗的能量;r为谐振角频率；PL为一周期内谐振器中的平均损耗功率。复习5式中的Qe称为耦合（或外部）品质因素。有载品质因素QL2023/2/4微波技术基础复习67-2串联和并联谐振电路

输入阻抗一、串联谐振电路谐振时，1、谐振频率2、品质因数串联谐振电路

在谐振频率附近2023/2/4微波技术基础二、并联谐振电路1、谐振频率2、品质因数在谐振频率附近复习72023/2/4微波技术基础

传输线谐振器是利用不同长度和端接（通常是短路或开路）的TEM传输线段构成的，如同轴线、带状线、微带线等。由于需要考虑并计算谐振器的Q值，所以传输线段必须按有耗线处理。7.3 传输线谐振器

/2短路线考虑一段终端短路的有耗线，如图所示。谐振时，=0，线的长度，其输入阻抗为：实际上，大部分传输线损耗很小，故可假定(2.4-9)2023/2/4微波技术基础无耗线当①②2023/2/4微波技术基础与串联谐振电路的输入阻抗相似。等效电感等效电容品质因数2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础2、短路λ/4线型谐振器长度为（2n－1）λ/4(n=1,2,3…)短路传输线构成并联谐振器。无耗传输线输入阻抗长度为l的有耗短路线输入阻抗：2023/2/4微波技术基础谐振时，令2023/2/4微波技术基础回顾并联RLC谐振电路重写比较两式2023/2/4微波技术基础3、/2开路线

实用的带状线或微带线谐振器常用开路线段做成。当线长为n/2，这种电路具有并联谐振电路的功能。长度为l的开路有耗线的输入阻抗为：谐振时，=0，线的长度令w=w0

+Δw.其输入阻抗为：2023/2/4微波技术基础此式与并联RLC谐振电路的输入阻抗形式相似，则其相应的等效参数为：2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础7.4矩形和圆柱形波导谐振腔

金属波导谐振腔是由两端短路的金属波导段做成的，常用的是矩形和圆柱形波导谐振腔。对于这类微波谐振器，可用驻波法求其场型，进而分析其特性。一、矩形波导谐振腔如图所示，为矩形波导谐振腔的基本结构。首先求谐振腔在无耗情况下的谐振频率，然后用微扰法求其Q值。谐振频率矩形波导中的TEmn或TMmn模的横向电场为2023/2/4微波技术基础利用z=0、l处Et=0的条件，可得

它意味着在谐振频率时腔长必须为半个波导波长的整数倍。对其他长度或其他谐振频率为无解。因此，矩形谐振腔是一种短路波导型的/2传输线谐振腔。矩形腔的截止波数则为与矩形波导的模式相对应，矩形腔可以存在无穷多TEmnp和TMmnp，下标m、n、p分别表示沿a、b、l分布的半驻波数。由此可得TEmnp和TMmnp模式的谐振频率为2023/2/4微波技术基础

如果b<a<l，则谐振主模（最低谐振频率）为TE101模。TM波的主模为TM111模。TEmnp模的电磁场分量

式中m=0,1,2,…,n=0,1,2,…,p=1,2,3,…。(m,n不能同时为零)。应用金属谐振腔中Q0，G0的求解公式，采用微扰法可以导出TEmnp模及TMmnp模的相应值。2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础

如有介质损耗，以TE10p模为例，则腔内有耗介质的损耗功率为：由此得当导体壁为理想时，有耗介质填充的谐振腔Q值为：当导体和介质损耗都存在时，总功率损耗为Pc+Pd，总的Q值为：2023/2/4微波技术基础矩形腔TE101模的场和λ0

矩形腔TE101模是最基本而重要的模式，它是由传输线TE10模在z方向加两块短路板而构成的金属封闭盒。已经知道，TE10模中

首先在z=0处放一块金属板(全反射),则有

令E0=2jEm而且在处放一块金属板(全反射)，即。这时有2023/2/4微波技术基础，其中，这时对应。则

所以，TE101模Ey最终写成

现在采用Maxwell方程组解出

2023/2/4微波技术基础归纳起来TE101模的场

2023/2/4微波技术基础归纳起来TE101模的场

TE10波导模的场Ey和Hx在z方向行波同时出现最大值TE101模中最大值对应最小值相位差90°，因此Sz只有虚功率。在相位方面，只差一负号有行波传输的实功率2023/2/4微波技术基础TE101模的场结构2023/2/4微波技术基础由于

可知

值得提出：如果是TE10p模只要作代换即可，这时有2023/2/4微波技术基础（2）

TE101和TE10p模的Q值电磁储能TE101模的Q值2023/2/4微波技术基础功率损耗--六个面需要考虑

2023/2/4微波技术基础当介质无耗2023/2/4微波技术基础推广到TE10p模无耗情况下的Q值当介质有耗，介质耗散功率2023/2/4微波技术基础［例］铜制矩形腔尺寸a=l=2cm，b=1cm,TE101模，空气填充，求Q0值［解］2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础例：已知空气填充的矩形谐振腔尺寸为25cmX1.25cmX60cm,谐振模式为TE102，在保证尺寸不变的情况下，如何使谐振模式变为TE103？解：已知谐振腔的谢振频率为由此可见，改变腔内的介质常数即可改变谐振腔的谐振频率。当充空气时，谐振于TE102模式的频率为若充满介质时，谐振于TE103模式的频率为2023/2/4微波技术基础复习1：输线谐振器

/2短路线考虑一段终端短路的有耗线，如图所示。谐振时，=0，线的长度

，其输入阻抗为：当

2023/2/4微波技术基础等效电感等效电容品质因数与串联谐振电路的输入阻抗相似。等效电阻2023/2/4微波技术基础2、短路λ/4线型谐振器长度为l的有耗短路线输入阻抗：当

2023/2/4微波技术基础3、/2开路线谐振时，=0，线的长度令w=w0

+Δw.其输入阻抗为：与并联RLC谐振电路的输入阻抗形式相似2023/2/4微波技术基础复习2：矩形和圆柱形波导谐振腔

金属波导谐振腔是由两端短路的金属波导段做成的。两个主要参数：谐振频率、Q。一、矩形波导谐振腔

如果b<a<l，则谐振主模（最低谐振频率）为TE101模。TM波的主模为TM111模。TEmnp模的电磁场分量

式中m=0,1,2,…,n=0,1,2,…,p=1,2,3,…。(m,n不能同时为零)。应用金属谐振腔中Q0，G0的求解公式，采用微扰法可以导出TEmnp模及TMmnp模的相应值。2023/2/4微波技术基础1、矩形腔TE101模的场和λ0由于

可知

电磁储能2、TE101模的Q值功率损耗当介质无耗2023/2/4微波技术基础介质有耗考虑介质损耗耗和金属壁损耗值得提出：如果是TE10p模只要作代换即可，这时有2023/2/4微波技术基础二、同轴谐振腔同轴谐振腔通常分为/2型、/4型及电容加载型三种。其工作特点简要介绍如下。1、/2型同轴谐振腔/2型同轴谐振腔由两端短路的一段同轴线构成，如下图所示。谐振条件为2023/2/4微波技术基础2023/2/4微波技术基础由上式可导出谐振波长0与腔体长度l的关系为或/2型同轴谐振腔的品质因数为当(b/a)=3.6时，同轴腔的品质因数Q0达最大。2、/4型同轴谐振腔谐振时应满足：谐振波长0与腔体长度l的关系为2023/2/4微波技术基础或由于这类同轴腔内导体长度为0/4的奇数倍，故称为四分之一波长型同轴谐振腔。2023/2/4微波技术基础三、电容加载型同轴谐振腔电容加载型同轴谐振腔谐振条件：回顾终端接纯电容负载相当小于λ/4开路线等效满足谐振条件的C值如果将缝隙电场近似看作均匀分布，则式中C可按平板电容公式计算0为空气的介电常数，a为同轴腔内半径，d为缝隙宽度。2023/2/4微波技术基础四、圆形波导谐振腔

与矩形腔的情况类似，我们以TEmn波为例，先研究z方向行波场——也即传输线情况。

在z=0处放一金属板，Hz=0的全反射条件2023/2/4微波技术基础其中，kc=μmn/R，μmn是m阶Bessel函数导数的根。在z=l处放一金属板，再构成Hz=0的全反射条件。RrxZjy0由sinβl=0可得到β

=pπ/l，且

我们再次看到尽管圆柱腔和矩形腔横向截面完全不同，但是纵向因子是一样的，这正是传输线型谐振腔的共同特点。2023/2/4微波技术基础1、圆柱腔中的场在波导中，横向分量用纵向分量表示得到变换矩阵2023/2/4微波技术基础注意到谐振腔与波导的不同，重新作变换，即

2023/2/4微波技术基础可以得到TEmnp模场本征解表达式2023/2/4微波技术基础2、谐振频率fmnp

传播常数谐振频率2023/2/4微波技术基础圆柱腔三种主要工作模式TM010为金属的趋肤深度(7.4-28)2023/2/4微波技术基础TE111(7.4-27)2023/2/4微波技术基础TE011(7.4-27)2023/2/4微波技术基础TM010d/lP=Q00D/L几种模式归一化Q值比较可知l＜2.1a时，(l0)TM010是最低模式。

2023/2/4微波技术基础D/LP=Q0d/l1.25TE11几种模式归一化Q值l>2.1a时,TE111为圆柱谐振腔主模2023/2/4微波技术基础d/lP=Q00D/LTE011几种模式归一化Q值品质因数Q值最高，是TE111模的2～3倍例7.4-22023/2/4微波技术基础

工作模式图的目的在于选择频率范围，在此内单模工作。其中

利用λ0=c/f0和D=2a可知

已知谐振波长适当变换即得工作模式方程

圆柱形谐振腔的谐振模式图2023/2/4微波技术基础对于圆柱腔TEmnp谐振模，有对于圆柱腔TMmnp谐振模，有即使同一个腔长，对于不同的模式都会同时谐振于同一个频率上，这就是圆柱腔存在的干扰模问题。若取不同的m、n和p值，将上面两式画在横坐标为(D/l)2，纵坐标为(f0D)2的坐标系内，则可得到一系列的直线，这些直线构成了模式图。2023/2/4微波技术基础圆柱形谐振腔的谐振模式图2023/2/4微波技术基础