高中数学苏教版第一章解三角形 微课

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为eq\r(3)且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，b＝2，c＝2，∴eq\f(1,2)×2×2sinA＝eq\r(3)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).【答案】eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)2．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________nmile.【解析】如图所示，易知C＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，∴BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝5eq\r(6).【答案】5eq\r(6)3．(2023·苏州高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为________.【导学号：91730006】【解析】由正弦定理知，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，结合条件得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2eq\r(2).又sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)＋1.【答案】eq\r(3)＋14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝________.【解析】由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∵B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA).∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2).又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6)，∴B＝2A＝eq\f(π,3).∴C＝π－A－B＝eq\f(π,2)，即△ABC为直角三角形，由勾股定理得c＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2.【答案】25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为________．【解析】由正弦定理得，原式＝eq\f(2b2－a2,a2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－1＝eq\f(7,2).【答案】eq\f(7,2)6．(2023·泰州高二检测)在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是________三角形．【解析】由a＝2bcosC可知sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形．【答案】等腰7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinB·cosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a>b，则B＝________.【解析】根据正弦定理将边化角后约去sinB，得sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，所以sinB＝eq\f(1,2)，又a>b，所以A>B，所以B＝eq\f(π,6).【答案】eq\f(π,6)8．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为________．【解析】设最小角为α，则最大角为120°－α，∴eq\f(sin120°－α,sinα)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，∴2sin(120°－α)＝(eq\r(3)＋1)sinα，∴sinα＝cosα，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°.【答案】75°二、解答题9．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(60sin30°,sin45°)＝30eq\r(2)(km)．10．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).【证明】如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠3)＝eq\f(BD,sin∠1)，①在△ADC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠4)＝eq\f(DC,sin∠2)，②又sin∠1＝sin∠2，sin∠3＝sin∠4，故eq\f(①,②)得eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).能力提升]1．在△ABC中，eq\f(a,cosB)＝eq\f(b,cosA)，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，∵eq\f(a,cosB)＝eq\f(b,cosA)，∴acosA＝bcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA＝2RsinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【答案】等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2023·南京高二检测)在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则eq\f(a,b)的取值范围为________．【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B<90°，,2B<90°，,180°－3B<90°，))∴30°<B<45°.由正弦定理知：eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB∈(eq\r(2)，eq\r(3))，故eq\f(a,b)的取值范围是(eq\r(2)，eq\r(3))．【答案】(eq\r(2)，eq\r(3))3．△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).【导学号：91730007】【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝π可知C＝eq\f(2π,3)－B.由正弦定理得eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(AB,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B)))＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))，AC＝2eq\r(3)sinB，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2eq\r(3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＋3＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).【答案】3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))4．(2023·如东高二检测)在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．【解】(1)因为a＝3，b＝2eq\r(6)，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(3,sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A)，所以eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(2\r(6),3)，故cosA＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)知cosA＝eq\f(\r(6),3)，所以sinA＝eq\