第11章 塑性极值原理和上限法

第10章塑性极值原理和上限法第9章功平衡法和上限法及其应用

§9.1功平衡法§9.2极值原理及上限法§9.3速度间断面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及应用§9.5Aviztur上限模式及应用

采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。

功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下变形力的近似解。§9.1功平衡法

功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功法。

功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之和，即：对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式：WP=Wd+WfdWP=dWd+dWf

dWP为外力所作功的增量

dWd为塑性变形功增量

dWf为接触摩擦所消耗功的增量单元体积的塑性变形功增量为

若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为由于塑性变形总是不均匀的，计算是比较困难的，通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变形功法。§9.2极值原理及上限法

极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。

上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解；

下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下限解。

虚功原理：稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功，其表达式为：

最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应变速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功率消耗）最大。

上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的，设所拟运动学许可速度场为，由几何关系确定的应变速度场，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应力场为。而变形体中实际的应力场为，于是根据虚功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常用的上限定理的功率表达形式为：式中，为真实载荷。

用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足以下三个条件：（1）速度边界条件；（2）体积不变条件；

(3)保持变形区内物质的连续性。而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件和力的边界条件。上限法中虚拟的运动学许可速度场模式有三种：（1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限模式，主要适用于平面应变问题。（2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些三维问题，用途比较广泛。（3）上限单元技术（UBET）,目前比较实用的是圆柱坐标系的圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的三维问题。§9.3速度间断面及其速度特性速度间断面速端图及速度间断量的计算

速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个重要工具。矩形断面板条平面应变压缩问题

§9.4

Johnson上限模式及应用

基本思路：塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的应变速度上限功率表达式求解的基本步骤根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将变形区划分为若干个刚性三角形块；根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件，绘制速端图；根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗；求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。例一：平冲头压入半无限体各块间的剪切功率p•(W/2)·vo=k(OB·ΔvOB+AB·ΔvAB+BC·ΔvBC+AC·ΔvAC+CD·ΔvCD)例二板条平面应变挤压

§9.5Aviztur上限模式及应用

基本思路：用一个连续速度场vi=fi(x,y,z)来描述整个变形区内金属质点的流动考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩擦功率的影响N=Nd+Nt+Nf+Nq塑性变形功率消耗

速度间断面上剪切功率消耗

接触面上摩擦功率消耗

附加外力消耗的（取“+”号）或向系统输入的附加功率（取“-”号）

总的塑性变形功耗

基本能量方程

例一：直角坐标平面应变问题

——考虑侧鼓时板坯的平锤压缩例二：极坐标平面应变问题

——宽板的平辊轧制

例三：圆柱坐标轴对称问题

——圆盘的镦粗

例四：球坐标轴对称问题

——圆棒的拉拔或挤压

一.概述极值原理包括上限定理和下限定理。上限定理：按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估近似值，故称上限解。下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即低估近似解，故称下限解。根据虚功原理和最大散逸功原理得出的。

上限解、下限解与精确解的比较上限法优点适用于平面应变问题，轴对称和三维问题，如非轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。上限法由设计速度场入手，速度场直观、易想象，可借助于试验，如网格试验，得到金属的流线，再由设计的流函数去求机动许可速度场。上限法便于与计算机结合，自动将工件分为矩形，三角形截面单元，每一单元均对应一定的相邻关系和一定的力学特征。将标准模式块的组合关系输入后，计算机可优化处理。通过虚单元法，模拟工件与工具间的接触面上单位压力分布及进行模具的设计。二、虚功原理与基本能量方程式

变形体的虚功原理可表述如下：如对载荷系（力系）作用下处于平衡状态的变形体给予一符合约束条件的微小虚位移时，则外力在虚位移上所作的虚功，必等于变形体内应力在虚应变上所作的虚功（虚应变能、功增量）。现设一处于平衡受力状态的塑性变形体，其体积为V，总表面积S分为ST和Su两部分，ST上的表面力Ti已知，Su的位移增量dui(或位移速度)已知，变形体,应变增量场为(或应变速率),根据虚功原理有:的应力场为场为若以代替，以代替，功增量变为功率，则虚功率方程为对于刚塑性体，由于应力球张量不做功，故上式又可写成三、速度间断

实际上，在刚塑性变形体内可能存在位移（增量）或速度不连续的情况，这点必须考虑。现设变形体被速度间断面SD分成①和②两个区域；在微段dSD上的速度间断情况如下图所示。根据塑性变形体积不变条件可知，垂直于dSD上的速度分量必须相等，即，而切向速度分量可以不等，造成①、②区的相对滑动。其速度间断值为

速度间断面就是沿SD的一个速度急剧而连续变化的薄层区，如下图所示。

变形体由于存在速度间断，要消耗一定的剪切功率，其值为如果变形体内存在若干个速度间断面，则所消耗的功率等于各个面所消耗功率的总和。于是，对于变形体存在速度间断时的虚功（率）方程应为:（当变形体处于塑性屈服状态，=K剪切屈服强度）裂纹形成的功率剪切功率的消耗虚应变功率消耗外力所作的虚功率四、最大散逸功原理

对于刚塑性体而言，若应变增量场一定，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大，其表达式为式中，、是符合应力应变关系的应力偏量（场）和应变是满足同一屈服准则的任意应力偏量（场）。增量（场）；这时，的矢量必然也垂直于的矢量端点处的屈服轨迹，故同样存在如下的关系式将上述两式对时间求导，则得如果与符合应力应变关系的应变增量场为五、上限法原理

用上限法计算极限载荷时，只假设塑变区的位移状态为动可容速度场（或位移场），它满足下列三个条件：1）满足速度（或位移）的边界条件，即在位移面上，＝或＝，或为给定的真实速度或真实位移。2）变形体在变形时保持连续形，不发生重叠和开裂3）满足体积不变条件

现设有一动可容位移增量场,且变形体内存在速度间断面,其上的位移增量间断值为,如下图所示：将虚功方程用于动可容位移增量场和真实应力场,参照变形体存在速度间断时的虚功（率）方程可得 由最大散逸功原理可知将上式代入(1)式，并考虑到在上，，故得(2)Su上真实表面力Ti所作的功增量虚拟动可位移增量场所作的功增量虚拟速度间断面

上所消耗的剪切功增量ST上真实表面力Ti在上所作的功增量由于上式右边三项之和即为所求虚拟变形功增量，也即上虚拟表面力所作功增量:而（2）式的左边项为上真实表面力所作的功增量。它可简写为

（3）式（2）、（3）即为上限定理得数学表达式，它可表述为：在上，与任一动可容位移增量场对应的表面力所做的功增量，总是大于或等于真实表面力在真实位移增量场上所做的功增量。若以、分别代替和，则式(2)中的各项变为相应的功率，因而得（4）式（3）、（4）还表明，由上所确定的载荷,总是大于或等于真实表面力所确定的载荷P（即真实载荷）。为了获得合理的上限载荷，通常需要设计多个动可容位移增量场（或速度场），分别求出相应的载荷，其中最小的一个就是最接近于真实载荷的上限解。（1）Johnson模式，通常