高中数学北师大版第一章数列（市一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是()A．不增不减 B．约增%C．约减% D．约减%解析：设原价为1，则现价为(1＋20%)2(1－20%)2＝6，∴1－6＝4，约减%.答案：D2．某厂在2023年底制订生产计划，要使2023年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为()A．4eq\f(1,10)－1 B．2eq\f(1,10)C．4eq\f(1,11)－1 D．2eq\f(1,11)－1解析：设年增长率为x,2023年总产量为1，到2023年底翻两番后的总产量为4，故得1·(1＋x)10＝4，∴x＝4eq\f(1,10)－1.答案：A3．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2023年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元)，预计该地区自2023年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2023年该地区农民人均收入介于()A．4200元～4400元 B．4400元～4600元C．4600元～4800元 D．4800元～5000元解析：从2023年起该地区农民人均工资性收入构成以1800为首项，1＋6%为公比的等比数列，其他收入构成以1350为首项，160为公差的等差数列，则2023年该地区农民人均收入为T＝1800(1＋6%)5＋1350＋5×160＝1800×(1＋5＋2150，显然T＝1800×(1＋5＋2150≈4559.答案：B4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()\f(a1＋γ,1＋γ5－1)万元 \f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)万元\f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)万元 \f(aγ,1＋γ5)万元解析：设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1).答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为________元．解析：8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝2400.答案：24006．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．解析：设储户开始存入银行的款数为a，由题意，有a(1＋3q)＞a(1＋r)3，解得q＞eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．答案：eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]三、解答题(每小题10分，共20分)7．用分期付款的方式购置家用电器一件，价格为1150元，购置当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始作为分期付款的第一个月，第20个月付清．则分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解析：购置时付150元，则欠款1000元，依题意分20次付清，则每次交付款的数额顺次构成数列{an}．a1＝50＋1000×＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×＝(元)，…，an＝50＋[1000－50(n－1)]×＝[60－(n－1)×]元，所以数列{an}是以60为首项，－为公差的等差数列，所以a10＝60－9×＝(元)，S20＝60×20－eq\f(20×19×,2)＝1105(元)，所以实际付款共为1105＋150＝1255元．8．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付出多少元？解析：余款10万元6年的本利和是105×(1＋6＝105×.设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是a＋a(1＋＋a(1＋2＋…＋a(1＋5＝a·eq\f－1,－1)＝10a－1)．由105×＝10a－1)得a＝eq\f(104×,－1)≈22960(元)．∴每年年底应支付22960元．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)某行政部门进行机构改革，对部分人员实行分流，规定分流人员分流后的第一年可以到原单位按100%领取工资，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的eq\f(2,3)领取工资．该部门根据分流人员的技术特长，在分流的同时，组织这些人员创办经济实体，预计经济实体第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%.如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后的第n年年总收入为an.(1)求an；(2)当b＝eq\f(8a,27)时，这个人分流后的哪一年收入最少？最少收入多少？解析：(1)由题意得当n＝1时，a1＝a，分流后的第n(n≥2)年，该人在原单位拿aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1元，在新单位拿beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2元．当n≥2时，an＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2.故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2，n≥2.))(2)由于b＝eq\f(8a,27)，当n≥2时，an＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋eq\f(8a,27)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－5))＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－5))，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－5,0<t≤eq\f(27,8)，则an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)t＋\f(1,t)))a.依据函数单调性的知识可得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\