高中数学苏教版第一章立体几何初步 学业分层测评8

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．有下列命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________(填序号)．【解析】由面面平行的定义、性质得③正确．【答案】③2．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．【解析】过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin60°＝3eq\r(3).【答案】3eq\r(3)3．设直线l，m，平面α，β，则由l⊥α，m⊥β且l∥m，能得出α与β的位置关系是________．【答案】平行4．如图1­2­83，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.图1­2­83【解析】l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.【答案】垂直5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝________.【导学号：60420238】【解析】∵α∥β∥γ，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.【答案】156．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是________(填序号)．①有且只有一条直线与平面α的距离为d；②所有直线与平面α的距离都等于d；③有无数条直线与平面α的距离等于d；④所有直线与平面α的距离都不等于d.【解析】由两平行平面间的距离可知，②③正确．【答案】②③7．如图1­2­84所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1图1­2­84【解析】∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M∈线段FH8．如图1­2­85，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1­2­85【解析】取CD的中点H，连结EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．【答案】4二、解答题9．如图1­2­86所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．图1­2­86(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.【解】(1)证明：连结BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.连结PF，FH，PH，有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD.∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3.∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.10.如图1­2­87，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO图1­2­87【解】如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO[能力提升]1．如图1­2­88，在多面体ABC­A1B1C1中，如果在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是图1­2­88【解析】在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC与平面A1B1C【答案】平行2．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a，b，c之间的大小关系为__________.【导学号：60420239】【解析】在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m即直线AD1，直线n即直线BD.显然点A，B之间的距离为a＝eq\r(3)，点A到直线n的距离为b＝eq\r(2)，直线m和n的距离为c＝1，则c<b<a.【答案】c<b<a3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且BP＝eq\f(2,3)BD1，给出下列四个命题：图1­2­89①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.其中正确命题的序号为______________．【解析】E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故eq\f(D1G,BG)＝eq\f(D1F,BE)＝eq\f(1,2)，即BG＝eq\f(2,3)BD1.又BP＝eq\f(2,3)BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN⊂平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确．【答案】②③4．在正方体ABCD­A1B1C1D1图1­2­90(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC【解】(1)证明：因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，ADeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理可证，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图所示，连结A1C1，交B1D1于点O1；连结AO1，与A1C交于点又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1连结AC，交BD于