高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何第3章

3．共面向量定理[学习目标]1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．[知识链接]1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答：一定共面，反之不成立．2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答：空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理．[预习导引]1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．3．空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则A、B、C、D共面．要点一应用共面向量定理证明点共面例1已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).又eq\o(MB,\s\up6(→))与eq\o(MC,\s\up6(→))不共线．∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)∵向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面且具有公共起点M，∴M、A、B、C共面．即点M在平面ABC内．规律方法利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．跟踪演练1已知两个非零向量e1、e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．证明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝5e1＋5e2＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线．∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，又它们有一个公共起点A.∴A、B、C、D四点共面．要点二应用共面向量定理证明线面平行例2如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.证明记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋c，所以eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))＝a＋c＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，又eq\o(DB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))1不共线，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC1,\s\up6(→))共面．又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.规律方法在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪演练2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M、N，使eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．求证：MN∥平面ABB1A1.证明eq\o(AM,\s\up6(→))＝k·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝kb＋kc，又∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝a＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.又a与c不共线．∴eq\o(MN,\s\up6(→))与向量a，c是共面向量．又MN不在平面ABB1A1内，∴MN∥平面ABB1A1.要点三向量共线、共面的综合应用例3如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．解分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up6(→)).由题意知四边形MNQR是平面四边形，∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MR,\s\up6(→))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))－(eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＋eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)))．又eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up6(→)).∴eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．规律方法选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素之间的关系，这是解决立体几何常用的方法．

跟踪演练3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→))；(3)eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).证明(1)由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．(2)∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由(2)知eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))－keq\o(AO,\s\up6(→))＝k(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).1．给出下列几个命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________．答案1解析①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成立．2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则a与e1，e2的关系为________．答案a与e1，e2共面解析若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，则e1与e2共线，不符合题意．同理，a与e2也不平行．由向量共面的充要条件知a与e1，e2共面．3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为________．答案eq\f(1,3)解析∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，x＝eq\f(1,3).4．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是________．答案共面向量解析如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))实质就是面MAB内平面向量的一组基底．另外有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，②或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)③①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、基础达标1．已知ABCD为矩形，P点为平面ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，G为△PCD的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________，z＝________.答案eq\f(1,3)eq\f(2,3)eq\f(1,3)解析∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))]＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，z＝eq\f(1,3).2．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.答案③解析若有eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，则M与点A、B、C共面，或者eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，①、②、④不满足x＋y＋z＝1，③满足eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，故③正确．3．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，则λ＝________.答案－2解析P与不共线三点A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则有x＋y＋z＝1.从而λ＝－2.4．设a，b，c是不共面向量，m＝2a－b，n＝b＋c，p＝4a－5b－3c，则向量m，n，p的关系是________(填“共面”或“不共面”)．答案共面解析因为p＝2(2a－b)－3(b＋c)＝2m－3n，所以m，n，p必共面．5．下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，则P、M、A、B四点共面；④若P、M、A、B四点共面，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，其中正确的是________．答案②④解析①与③中取x＝0或y＝0，则结论不一定成立．反之，②④正确．6．已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC上一点，若AB1∥平面DBC1，则D在AC上的位置是________．答案D是AC的中点

解析取BC1的中点为O，由AB1∥平面DBC1知，存在实数x，y满足eq\o(AB1,\s\up6(→))＝xeq\o(DB,\s\up6(→))＋yeq\o(DC1,\s\up6(→))，又eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即D是AC的中点．7．设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点．求证：M、N、P、Q四点共面．证明因为eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→))，又因为eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，(*)A、B、C及A1、B1、C1分别共线，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入(*)式得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))，又eq\o(NM,\s\up6(→))与eq\o(NP,\s\up6(→))不共线．所以eq\o(PQ,\s\up6(→))、eq\o(NM,\s\up6(→))、eq\o(NP,\s\up6(→))共面，所以M、N、P、Q四点共面．二、能力提升8．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋xeq\o(OC,\s\up6(→))＋yeq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2xeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OE,\s\up6(→))，则x＋3y＝________.答案eq\f(7,6)解析由点A，B，C，D共面得x＋y＝eq\f(1,2)，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝eq\f(2,3)，联立方程组解得x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋3y＝eq\f(7,6).9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝eq\f(1,2)GB，过E、F、G三点的平面与对角线AC1交于点P，则AP∶PC1的值为________．答案eq\f(3,16)解析设eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC1,\s\up6(→))，因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝3meq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)meq\o(AE,\s\up6(→))＋2meq\o(AF,\s\up6(→))，又因为E、F、G、P四点共面，所以3m＋eq\f(4,3)m＋2m＝1，所以m＝eq\f(3,19)，所以AP∶PC1＝3∶16.10．已知非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2.则A、B、C、D四点的位置关系为________．答案共面解析令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0，,λ＋8μ－3v＝0，))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一组解，则－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴A、B、C、D共面．11．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中点O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解(1)如图所示∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.12．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的关系．解如图所示．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，②又E、F分别是AB、CD的中点．故有eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))，③将③代入①得eq\o(EF