高中数学人教A版第三章函数的应用函数模型及其应用 高质作品

3.2.2函数模型的应用实例第一课时教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用．教学难点：函数模型的体验与建立．教学过程导入新课思路1．(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))提出问题(1)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．(2)A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站，给A，B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．(3)分析以上实例属于那种函数模型．讨论结果：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(90，15≤x≤30，,2(x－30)＋90，30<x≤40.))(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100—x)2(10≤x≤90)．(3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图1所示．图1(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象．活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数．解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)根据图1，有s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t＋2004，0≤t<1，,80(t－1)＋2054，1≤t<2，,90(t－2)＋2134，2≤t<3，,75(t－3)＋2224，3≤t<4，,65(t－4)＋2299，4≤t≤5.))这个函数的图象如图2所示．图2变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MN∥CD)．(1)分别求出方案A，B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A，B两种优惠方案的？并说明理由．图3解：(1)两种优惠方案所对应的函数解析式：g(x)＝(2)当f(x)＝g(x)时，eq\f(3,10)x－10＝50，∴x＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)＞f(x)，故选择方案A；当客户通话时间为x＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型.例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.由55196(1＋r1)＝56300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.同理可得，r2≈0，r3≈9，r4≈0，r5≈7，r6≈3，r7≈6，r8≈2，r9≈4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈1.令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝551t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝551t(t∈N)的图象(图4)．图4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y＝130000代入y＝551t，由计算器可得t≈.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到.已知lg2＝0，lg3＝1)解：(1)最初的质量为500g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×；经过2年后，ω＝500×(1－10%)＝500×；由此推知，t年后，ω＝500×.(2)解方程500×＝250，则＝，所以t＝eq\f(lg,lg＝eq\f(－lg2,2lg3－1)≈(年)，即这种放射性元素的半衰期约为年.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))：本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))：课本习题3.2A组5,6.课后思考题：某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱每台所需工时eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,4)每台产值(千元)432问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，则f＝4x＋3y＋2z，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝360，,\f(1,2)x＋\f(1,3)y＋\f(1,4)z＝120，,x≥0，y≥0，z≥60，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由①②可得y＝360－3x