中考数学试题分类汇总《等腰三角形与直角三角形》练习题

第第页中考数学试题分类汇总《等腰三角形与直角三角形》练习题（含答案）等腰三角形的判定与性质1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则底角的度数为69°或21°．【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝48°，∴∠A＝90°﹣48°＝42°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣42°）＝69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣48°＝42°，∴∠BAC＝180°﹣42°＝138°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣138°）＝21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．2．已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两个实数根，则m的值是（）A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3【分析】①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值；②当底边为4时，那么x的方程x2﹣20x+m＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值．【解答】解：①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+6＝0，∴m＝2，∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∵4+2＞4∴能构成三角形；②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两根是相等的，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+6）＝0，∴m＝3，∴方程变为x2﹣6x+9＝0，∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，∵3+3＞4∴能构成三角形；综上，m的值是2或3，3．将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．4cm C． D．【分析】过点P作PC⊥AB于点C，先根据等腰三角形的性质得到∠APC，AC，再在Rt△APC中，利用锐角三角函数求出AP长，进而可求出橡皮筋被拉长的长度．【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，∴在Rt△APC中，AP＝＝＝2cm，∴橡皮筋被拉长了：2×2﹣6＝（4﹣6）cm．故选：C．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中线，∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，等边三角形的性质5．如图，等边△OAB的边长为4，则点A的坐标为（2，2）．【解答】解：过A点作AC⊥OB于C，如图∵△OAB为等边三角形，且边长为4，∴OC＝BC＝OA＝2，∠BOA＝60°，在Rt△OBC中，BC＝OC＝2，∴A点坐标为（2，2）．6．将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为120°．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根据三角形外角的性质可得出答案．【解答】解；∵∠DCE＝90°，点A是DE的中点，∴AC＝AD＝AE，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，∵∠FAC＝90°，∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，7．如图，将△ABC绕A顺时针旋转60°到△ADE的位置，D在BC边上，则∠B＝60度．【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠B＝60°，直角三角形的性质8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3 B． C．2 D．6【解答】解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．9．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点，CD＝3，则AC＝．【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AB，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC，根据勾股定理，即可求出AC．【解答】解：∵∠C＝90°，D是AB的中点，CD＝3，∴AB＝2CD＝6，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝．10．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH．下列等式成立的是（）A．a+b＝c B．c2＝（a+b）2﹣4ab C．c2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝c2【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．【解答】解：由图可得剩下正方形面积为：（a+b）2﹣4×ab，根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2，∴（a+b）2﹣4×ab＝c2，化简得a2+b2＝c2，故选：D．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝，则AD的长为2．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，CD＝，∴BC＝1，∴BD＝2BC＝2，∴AD＝BD＝2．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，CD＝15，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，则BC的长为45．【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，∴∠DAE＝∠B＝30°，∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAE＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2CD＝2×15＝30，∴BD＝AD＝30，∴BC＝CD+BD＝15+30＝45，等腰三角形、直角三角形的综合14．如图，在△ABC中，AB＝CB＝9，∠B＝90°，点O是△ABC内一点，过点O分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点D、E，且OD2+OE2＝36，连接OA、OC，则△AOC面积的最小值为．【分析】由OD2+OE2＝36可得出DE＝6，由矩形的性质得出OB＝6，当点O在△ABC的AC边上的高上时，△AOC面积的最小，则可求出答案．【解答】解：连接OB，DE，∵OD2+OE2＝36，∴DE＝6，∵四边形ODBE是矩形，∴OB＝DE＝6，当点O在△ABC的AC边上的高上时，△AOC面积的最小，∴△AOC面积的最小值＝＝．15．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A． B． C． D．2【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB＝＝3，设CD＝x，∴