金融工程 第四章 股票期权的性质1-7节

第10章股票期权的性质金融工程

主要内容：

1、讨论影响股票期权价格的一些因素。

2、通过套利理论探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。

3、讨论美式期权是否应该提前执行。22023/2/6股票期权的性质本章结构10.1影响期权价格的因素10.2假设和符号10.3期权价格的上下限10.4看跌期权与看涨期权之间的平价关系10.5提前执行：不付股利股票的看涨期权10.6提前执行：不付股利股票的看跌期权10.7红利的影响32023/2/6股票期权的性质

10.1影响期权价格的因素有6种因素影响股票期权的价格：1、当前股票价格，S02、执行价格，K3、期权期限，T4、股票价格的波动率，5、无风险利率，r6、期权期限内预期发放的股息。

42023/2/6股票期权的性质Table10.1一个变量增加而其他变量保持不变时对于股票期权价格的影响(page153)5++–+++++–欧式看涨期权价格c欧式看跌期权价格p美式看涨期权价格C美式看跌期权价格PVariable当前股票价格S0执行价格K期限T波动率无风险利率r股息D+??+++––––+–+–++代表变量增加，期权价格增加；–代表变量增加，期权价格减少；？代表变量增加，期权价格变化不定2023/2/6股票期权的性质10.1.1股票价格及执行价格

如果看涨期权在将来某一时刻行驶，期权收益为股票价格与执行价格的差额S-K。因此随着股票价格的上升，看涨期权的价格也会增大；而随着执行价格的上升，看涨期权价格将会减小。看跌期权的收益等于执行价格与股票价格的差额K-S。因此，看跌期权的价格走向刚好和看涨期权相反：随着股票价格的上升，看跌期权的价格会减小；而随着执行价格的上升，看跌期权价格将会增大。62023/2/6股票期权的性质7

股票价格——欧式期权价格看涨期权看跌期权2023/2/6股票期权的性质8

执行价格——欧式期权价格2023/2/6股票期权的性质10.1.2期权期限

当期限增加时，美式看涨期权和看跌期权的价值都会增加。考虑两个美式看涨期权，这两个期权只是期限不同。期限较短的期权在行驶时，较长期限的期权也可以被行驶。因此，长期限期权的价格大于或等于短期限期权的价格（执行机会和获利机会）。注意：随着期限的增加，欧式看跌期权和看涨期权的价值会增加，但并不总是这样。

例如：有基于同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月；另一个到期期限为2个月，假定预计在6周后支付大量的红利，红利会使股票价格下降。这就有可能使有短期限期权价格超过长期限期权价格。92023/2/6股票期权的性质10

到期期限——欧式期权价格2023/2/6股票期权的性质10.1.3波动率股票价格的波动率（volatility）衡量未来股票价格变动的不定性的一个测度。

当波动率增大时，股票价格上升很多或下降很多的机会将会增大。对于股票持有者而言，这两个变动常常会相互抵消。但对于期权的持有者而言，情况会有所不同。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价下跌时，期权持有者的最大损失就是期权费，这个损失是有限的。与此类似，看跌期权持有者可以从股价下跌中获利，损失也是有限的。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。112023/2/6股票期权的性质12

波动率——欧式期权价格2023/2/6股票期权的性质1310.1.4无风险利率

当整个经济中的利率增加时，投资者所要求的股票预期收益也会增加，期权持有者收到的未来现金流的贴现值将降低。这两种效应的合成效应是：看涨期权的价值增加，看跌期权的价值减少。无风险利率的变化对期权价格的变化可用下图表示：2023/2/6股票期权的性质注意：在讨论无风险利率时，我们假定了利率变化时，股票的价格保持不变。但现实中，当利率上升（或下降）时，股票价格也将下降（或上升）。考虑利率变化和随之而来的股价降低的净效应，看涨期权的价值可能减少而看跌期权的价值可能增加，反之亦然。以上各图描述了当S0=50，K=50，r=5%,T=1年，σ=20%，不支付红利的情况下，欧式看涨期权与看跌期权价格与前5种因素之间的关系，在这种情况下，看涨期权的价格为7.116，看跌期权的价格为4.667。142023/2/6股票期权的性质10.1.5将来的股息数量

股息将使股票在除息日的价格降低。对于看涨期权来说这是一个坏消息，而对于看跌期权来说则是一个好消息。因此，看涨期权价值与预期股息的大小成反向关系，而看跌期权的价值与预期股息的大小成正向关系。152023/2/6股票期权的性质16

以上各小节所揭示的各个因素与期权价格的关系可用表10.1（p153）表示。即：2023/2/6股票期权的性质10.2假设及符号

假定市场上存在一些大投资银行这样的参与者，从而使下面的假设成立：

1、没有交易费用。

2、所有交易盈利（减去交易损失）的税率相同。

3、投资者可以按无风险利率借入和贷出资金。同时，我们可以假定市场中不存在套利机会。172023/2/6股票期权的性质符号定义：

S0：股票的当前价格；

K：期权的执行价格；T：期权的期限；

ST：T时刻股票的价格；

r：在T时刻到期的无风险投资收益率，即无风险利率（连续复利）；

C：买入一股股票的美式看涨期权的价格；

P：出售一股股票的美式看跌期权的价格；

c：买入一股股票的欧式看涨期权的价格；

p：出售一股股票的欧式看跌期权的价格；182023/2/6股票期权的性质10.3期权价格的上限与下限10.3.1期权价格的上限

【1】美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者，有权以某一确定的价格购买一股股票。在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。因此，股票价格是期权价格的上限：

套利机会出现在上等式不成立的时候，此时套利者可以购买股票并卖出看涨期权来获取无风险盈利。192023/2/6股票期权的性质【2】美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者，有权以K的价格卖出一股股票。无论股票价格变得多么低，期权的价值都不会超过K。因此，

【3】对于欧式期权来说，在T时刻，期权的价值不会超过K，因此，当前期权的价值不会超过K的现值：

套利机会出现在上式不成立时，此时套利者可以出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资，获得无风险收益。202023/2/6股票期权的性质10.3.2无股息股票的看涨期权的下限21不付股利的欧式看涨期权的下限：

例：假定

考虑欧式看涨期权的价格等于c=$3,即小于理论上的最小值$3.71。套利者可以卖空股票并买入看涨期权。则现金流为$20-$3=$17。如果$17以无风险利率10%投资1年，则一年后变为$18.79。在这一年的年末，期权到期：

2023/2/6股票期权的性质（1）如果股票价格高于$18，套利者以$18的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利$18.79-$18=$0.79。

（2）如果股票价格低于$18，则套利者不执行期权，并从市场上买入股票将股票空头平仓，这时，套利者盈利更多。例如，如果股票价格为$17，则套利者的盈利为$18.79-$17=$1.79222023/2/6股票期权的性质23正式证明：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为

Ke-rT

的现金（c+

Ke-rT

）组合B：一股股票（

S0

）在组合A中，现金如果按无风险利率投资，则在T时刻变为K。如果ST＞K，在T时刻应执行看涨期权，则在组合A中的价值ST-K+K=ST。如果ST＜

K，在T时刻不执行看涨期权，则在组合A中的价值为K。所以，在T时刻，组合A的价值为max（ST,K）在T时刻，组合B的价值为ST。因此，在T时刻，组合A的价值通常不低于组合B的价值，即V(A)≥V(B)。根据无套利原理，

c+

Ke-rT≥S0

(当前时刻)即c≥S0

-

Ke-rT

对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，即c≥0，因此有

c≥max(S0

-

Ke-rT

,0)2023/2/6股票期权的性质10.3.3无股息股票的欧式看跌期权下限

不付股利的欧式看跌期权的下限：Ke-rT

-S0

例：假定

考虑欧式看跌期权的价格p等于$1,即小于理论上的最小值$2.01。套利者可以借入$(37+1)=38，期限6个月，同时用所借资金购买看跌期权和股票。在6个月末，套利者将支付38e0.05×0.5=$38.96。242023/2/6股票期权的性质10.3.3不付股利的欧式看跌期权的下限

（1）如果股票价格低于$40，套利者执行期权以$40的价格卖出股票，归还所借款项本金和利息，则可获利$40-$38.96=$1.04。

（2）如果股票价格高于$40，则套利者不执行期权，在市场中卖出股票并归还所借款项本金和利息，这时，套利者可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$42，则套利者的盈利为$42-$38.96=$3.04。252023/2/6股票期权的性质26组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（

p+S0

）组合D：金额为

Ke-rT

的现金（

Ke-rT

）

【1】在组合C中：如果ST＜K，在T时刻应执行看跌期权，则在组合C中的价值为K–ST+ST=

K。如果ST

＞K，在T时刻看跌期权的价值为零，则在组合C中的价值为持有股票的价值ST

。所以，在T时刻，组合C的价值为max（ST,K）

【2】在组合D中：现金如果按无风险利率投资，则在T时刻的价值变为现金K。因此，在T时刻，组合C的价值通常不低于T时刻组合D的价值，即V(C)≥V(D)。*根据无套利原理，有p+

S0≥Ke-rT

(当前时刻)

,即p≥Ke-rT

-

S0。【3】由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，因此有正式证明：p≥max(Ke-rT

-S0

,0)2023/2/6股票期权的性质2710.4看跌--看涨平价关系我们考虑如下两个组合：组合A：一个欧式看涨期权加上金额为

Ke-rT

的现金（c+

Ke-rT）组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票（p+S0）在期权到期时，两个组合的价值均为：

max（ST,K）由于是欧式期权，所以有如下等式成立。

c+

Ke-rT

=

p+S0

（10.6）

这就是欧式看涨期权价格和看跌期权价格之间的平价关系（put-callparity）。它表明具有某个执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值，可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。10.4.1基于不支付红利影响的欧式期权2023/2/6股票期权的性质表10-2组合A、C在T时刻的价值28ST>KST<K组合A看涨期权ST−K0零息债券KK总和STK组合C看跌期权0K−ST股票STST总和STK2023/2/6股票期权的性质如果等式（10.6）不成立，则存在套利机会。(1)c+Ke-rt＜p+S0

假定股票价格S0=$31,执行价格K=$30。无风险年利率r=10%，3个月期的欧式看涨期权价格为c=$3，3个月期的欧式看跌期权的价格p=$2.25。

组合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26

组合C：p+S0=$2.25+$31=$33.25

相对于组合A来说，组合C被高估了。正确的套利策略是买入组合A中的证券并卖空组合C中的证券。这一策略将会产生如下正的现金流：

-$3+$2.25+$31=$30.25

将这笔现金流按无风险利率进行投资时，在3个月后，这个现金流增加为：$30.25e0.1x0.25=$31.02

如果在期权到期日股票的价格高于$30，将执行看涨期权。如果股价低于$30，看跌期权的空头将被执行。在任何一种情况下，投资者均按$30购买一股股票。该股票可用来平仓原空头股票。因此净利为：$31.02-$30.00=$1.02292023/2/6股票期权的性质(2)c+Ke-rt＞p+S0

假定股票价格S0=$31,执行价格K=$30。无风险年利率r=10%，3个月期的欧式看涨期权价格为c=$3，3个月期的欧式看跌期权的价格p=$1。

组合A：c+Ke-rt=$3+$30e-0.1x3/12=$32.26

组合C：p+S0=$1+$31=$32.00

相对于组合C来说，组合A被高估了。正确的套利策略是买入组合C中的证券并卖空组合A中的证券。这一策略的初始投资为：$31+$1-$3=$29以无风险利率借入资金时，3个月后须偿付$29e0.1x0.25=$29.73，

此时无论是执行看涨期权还是看跌期权都将会使股票以$30.00的价格售出,因此净利为：$30.00-$29.73=$0.27

书中表10-3（p159）总结了这两种情况，同时在业界案例10.1中说明了公司的债权人和股东可以利用期权和该平价关系分析他们的头寸情况。302023/2/6股票期权的性质312023/2/6股票期权的性质10.4.2基于不受红利影响的美式期权322023/2/6股票期权的性质

看涨与看跌期权之间的平价关系仅适用于欧式期权。但也可以推导出不付红利股票的美式期权之间的某种关系。即:

（10.7）

例10-3（p160）10.5提前行使期权：无股息股票的看涨期权

观点：提前行使无股息股票的美式看涨期权是不明智的。

举例：考虑一个不付股息股票的美式看涨期权，距到期日还有一个月，股票价格为$70，执行价格为$40。期权的实值程度很大，期权的持有者可能很想马上行使期权。然而，如果投资者计划持有该股票超过一个月，那么提前执行就不是最优的策略。更好的方案是持有期权，并在期权的到期日执行它。332023/2/6股票期权的性质

原因：

①投资者可获得本金为$40、期限为一个月的利息。

②股票价格在这一个月内还有可能（无论可能性多小）会低于$40。结论：如果投资者计划在期权的有效期内持有股票（在本例中为一个月）,则提前执行期权没有好处。

如果投资者认为股票现在被高估，是否应该执行期权并卖出股票呢？在这种情况下，投资者最好是出售该期权而不是执行它。那些想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是一定存在的。否则股票的现价就不会是$70。由于上述提到的原因，收取的期权费将大于期权的$30的内在价值。342023/2/6股票期权的性质

为了得出一般结论，我们用等式（10.4）

由于美式看涨期权的持有者包含有相应的欧式看涨期权的所有执行机会，因此C≥c，因此由于r>0，所以。在到期之前，期权价格C总是大于其内在价值。（如果提前执行是最优的，那么C应该等于S0-K）。所以我们的结论是：提前执行是不最优的。

352023/2/6股票期权的性质无股息股票的看涨期权上下限2023/2/6股票期权的性质36没有股息时美式看涨期权不会被执行，因此C=cBoundsforEuropeanorAmericanCallOptions(NoDividends)372023/2/6股票期权的性质38

关于看涨期权价格随股价S0变化的一般情形可用书中图10.4（p161）表示。该图表明了看涨期权的价值总是高于其内在价值，即高于max（S0-K,0）。随着r、T或波动率的增加，看涨期权的价格按箭头所示方向变动。2023/2/6股票期权的性质总结：

美式看涨期权不应该提前执行的原因之一是由于期权提供了保险。另一个原因是货币时间价值有关。从持有者的角度来看，支付执行价格越晚越好。392023/2/6股票期权的性质10.6提前执行：不付股利股票的看跌期权

观点：提前行使无股息股票的看跌期权可能是最优的。

举例：假定执行价格为$10，而股票价格接近0。通过立即执行期权，投资者可以立即获利$10。如果投资者选择等待，则执行期权的盈利可能低于$10,但是由于股票价格不可能为负值，所以盈利不会超过$10。另外，现在收到$10比将来收到$10要好。这说明该期权应立即执行。402023/2/6股票期权的性质为了得出更一般的结论，回忆公式（10.5）对于价格为P的无股息股票的美式看跌期权来说，由于可以立即执行，因此更为严格的条件是：无股息股票的美式看跌期权的上下限为412023/2/6股票期权的性质BoundsforEuropeanandAmericanPutOptions(NoDividends)42S0S02023/2/6股票期权的性质43

美式看跌期权的价格随着S0的变化关系可用书中图10.6（p162）表示，在r>0的条件下，当股票的价格足够低时，立即执行美式看跌期权是非常明智的。并且当S0很小时，代表看跌期权价值的曲线与看跌期权的内在价值K-S0重合在一起。在图10.6中，这个很小的股票价值S0如A点所示。当r减少、波动率增加、T增加时，看跌期权的价值按箭头所示的方向变化。2023/2/6股票期权的性质44

在某些情况下，提前执行美式看跌期权是最优的，因此，美式看跌期权的价值通常高于相应的欧式看跌期权的价值。由于美式期权的价值有时等于其内在价值（图10.6），因此欧式看跌期权的价值有时低于其内在价值。图9.5显示了欧式看跌期权的价格随股票价格的变化。（注意：10.7图中的B点，在B点上期权的价格等于期内在