第四章一阶系统

第四章一阶系统4.1概述

一个系统阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。

一个复杂的高阶的系统从结构上可分解成若干的低阶子系统。

复杂系统的特性并不等于组成它的简单子系统的特性之和。

一个复杂系统的行为往往是由某些主回路和某些主要的变量决定的

复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路或主要变量。

4.2一阶系统的重要参数4.2.1指数增长及其参数（1）指数增长方程式

LLEV.K=LEV.J＋DT*（RT.JK）由此式可以改写为：（LEV.K-LEV.J）/DT=RT.JK脱去DYNAMO的符号，并令DT趋于0，则可得微分方程式：

dLEV(t)/dt=RT(t)

假定RT(t)=CONST*LEV(t)CONST为比例常数所以

dLEV(t)/dt=CONST*LEV(t)

可解的：

式中：

LEV(t)——状态在t时刻的值；

LEV(0)——状态的初始值；

CONST——比例常数；

e——自然对数基。(2)时间常数T

时间常数定义为CONST的倒数，即T=1/CONST，T具有时间的量纲。

P91时间常数的物理意义。

时间常数T决定正反馈系统中的增长或减少的速度。当时间常数大时（或CONST小），相应的LEV（t）为较平缓的增长曲线。反之，LEV（t）为较陡峭的变化曲线。（3）倍增时间Td

倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的初始值所需要的时间。

Td=0.69*T

倍增时间约等于70％的时间常数T。即每经过一段时间Td，LEV的值将较前增加一倍。

P92的图5.2表示了倍增时间常数与时间常数的关系。一阶负反馈系统的重要参数(1)方程式的基本形式方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

RRT.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K同理解得：（2）时间常数TP93（3）减半时间常数（或半衰期）ThTh=0.69T4.3正反馈系统

工资-物价增长系统的应关系图4.2.1正反馈的一般结构

LLEV.K-LEV.J+DT*RT.JKNLEV=1RRT.KL=CONST*LEV.KCCONST=0.2CDT=1计算步骤如P954.2.2正反馈过程的特征

（1）指数增长

（2）指数崩溃（3）超指数增长P98（4）指数增长的特点P97t≥15Td之后，状态变量的值猛然暴涨。时间变量变量变量0指数增长和指数崩溃曲线4.4负反馈系统

负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它具有跟随目标（寻的）的特性。4.4.1负反馈结构的因果与相互关系图、流图与方程式

负反馈结构的因果关系图包含四个基本单元——期望状态（目标）、偏差、校正量（速率）、系统状态（水平）。方程式：

LLEV.K=LEV.J+DT*RT.JK

NLEV=0

RRT.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.1

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100式中：

LEV——状态（单位）

RT——速率（单位/时间）

CONST——常数（1/时间）

DISC——偏差（单位）

GL——目标值（单位）4.4.2负反馈系统的特性过渡区稳定区时间LEV

状态

状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。

在过渡区段，LEV值与目标值GL不相等。此时LEV具有寻的与瞬变的特点；在稳定区，LEV值接近或近似地达到目标值，稳定不变。RT也最终近似地达到“0”。

4.4.3寻的负反馈系统的行为的三种模式（1）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)<0；（2）GL>0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)>0；（3）GL＝0，LEV>0。

模式3如教材P105图5.25所示

模式3称为零目标结构。目标值GL为“0”，状态值由LEV（0）指数衰减至“0”。时间GLLEV模式2模式14.5负反馈系统的补偿特性

负反馈系统具有当其状态变量受外生输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为补偿特性。系统的方程式如下：

LLEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK)

RRT1.KL=CONST*DISC.K

ADISC.K=GL-LEV.K

CGL=100

RRT2=CRT

CCRT=8

NTRT——纯速率（单位/时间）

RNTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK

X=CONST*DISC.K+CRT

X=CONST*(GL-LEV.K)+CRT

根据RT1.KL、RT2.KL和NTRT.KL，可绘制系统的速率—状态曲线图：P107下面求新的目标值：假定NTRT=0，则可得：

CRT=-CONST(GL-LEV)

=-CONST*GL+LEV*CONST

LEV=CRT/CONST+GL

LEV=NGL=CRT/CONST+GL

NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180

由此可见，系统新的平衡值较期望的目标值GL增加了T*CRT，即为时间常数T与不变的输入速率CRT（或RT2）的乘积。

综上所述，负反馈系统的补偿功能，当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。其差值与与系统的时间常数及外生速率有关。

例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。P108方程式：

LINV.K=INV.J+DT*(OR.KL－SR.KL)

NINV=DINV

ROR.KL=CONST*DISC.K

CCONST=0.5

ADISC.K=DINV-INV.K

CDINV=200

RSR.K=STEP(20，4)如P108如5.29所示。求新的目标值NGL：方法1：

200×20％＝40GL=DINV=200NGL=200-40=160方法2：

NGL=GL+T*SR=