第五章线性系统的频域分析法

30/4/200906/ec/C180/黄山学院信息工程学院自动控制第五章频率分析法第五章频率分析法

在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。

频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计控制系统的性能。第一节频率特性

频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法第五章频率分析法G(S)R(s)C(s)

系统结构图如图:

一频率特性的定义设系统传递函数为第一节频率特性特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ω2ωr(t)=Asinωt·=(s-s1)(s-s2)···(s-sn)U(s)As2+ω2ω=A1s+jBis–si∑ni=1+ωA2s-j+ω拉氏反变换得:c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi系统的稳态响应为cs(t)=limc(t)

t→∞e-jtωejtω+A2=A1求待定系数:A1=G(s)(s+js=-jAs2+ω2ωω)ω=G(-j-2jAω)同理:-jG(jω)G(-jω)=|G(jω)|e根据-2j-jG(jω)A|G(jω)|e==2jA|G(jω)|ejG(jω)G(j2jAω)A2=-2jcs(t)=A|G(jej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+ω)|[G(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sinω)]

系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位差为∠G(jω)。

系统输入输出曲线r(t)t0c(t)AAG(jω)r(t)=AsinωtG(jωt+cs(t)=A|G(jω)|sin[ω)]G(jω)定义频率特性为:)G(jωjG(jω)=|G(jω)|e)ejφ(ω)=A(ω幅频特性：)=|G(jω)|A(ω相频特性：G(jω)φ(ω)=

频率特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。第一节频率特性例求图所示RC电路的频率特性，并求该电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解:传递函数为G(s)=Ts+11T=RC频率特性电路的稳态输出:+-ucur+-CiRur(t)=AsinωtT+11)=G(jωjω=1+(ωT)2-j1ω1+(T)2TωωT)t-tg-1

Asin(cs(t)=

ω1+(T)2ω√幅频特性和相频特性)=|G(jω)|A(ω=1+(T)21ω√G(jω)φ(ω)=ωT=-tg-1

第一节频率特性ω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTTRC电路的频率特性曲线

ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTT

频率特性可表示为：)G(jω)ejφ(ω)=A(ω=P(ω)+jQ(ω))=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ+Q2(√)=A(ωP2(ω)ω)第一节频率特性0Reω∞Imωω=0二频率特性的几何表示法

频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下两种。

1．幅相频率特性曲线

幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线

幅相频率特性曲线

也称极坐标图第一节频率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω2．对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德图.

对数幅频特性十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为：dB

L(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec为方便只表示ωL(ω)=20lgA(ω)单位为dB斜率

对数相频特性)

(ωφ第一节频率特性第五章频率分析法第二节典型环节与系统频率特性

频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.一、典型环节及其频率特性二、控制系统开环频率特性三、传递函数的频域实验确定第二节典型环节与系统的频率特性一、典型环节及其频率特性1．典型环节（1）最小相位系统环节1）比例环节2）惯性环节3）一阶微分环节4）振荡环节5）二阶微分环节6）积分环节7）微分环节第二节典型环节与系统的频率特性（2）非最小相位系统环节1）比例环节2）惯性环节3）一阶微分环节4）振荡环节5）二阶微分环节

除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。

由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，

即

第二节典型环节与系统的频率特性设典型环节的频率特性为则系统开环频率特性为系统开环对数幅频特性为结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简单的形式。2.典型环节的频率特性1)．比例环节0KReIm(1)奈氏图

G(s)=K第二节典型环节与系统的频率特性=K)G(jωK)=A(ω0oφ(ω)=(2)伯德图

对数幅频特性：=20lgKL(ω)=20lgA(ω)20lgK010.1ωdB

L(ω)对数相频特性：=0o)=tg-1(ωQ(P(ω)ω)φ010.1ω)

(ωφ2)．积分环节

(1)

奈氏图ReIm0ω=0∞G(s)=1s1j)=G(jωω1ω)=A(ω-90oφ(ω)=(2)

伯德图对数幅频特性：

=-20lgωL(ω)=20lgA(ω)

对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=-20lg1=0dBω=0.1L(ω)=-20lg0.1=20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20第二节典型环节与系统的频率特性3)．微分环节

(1)

奈氏图

G(s)=sω)=A(ω90oφ(ω)=j)=G(jωωReIm0ω=0∞(2)伯德图

对数幅频特性：

L(ω)=20lgA(ω)=20lgω

对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90oφ(ω)=ωωω=1L(ω)=20lg1=0dBω=0.1L(ω)=20lg0.1=-20dB)

(ωφdB

L(ω)020-20090第二节典型环节与系统的频率特性4)．惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jωωT)211+(ω)=A(ωωT-tg-1

φ(ω)=(1)

奈氏图

根据幅频特性和相频特性求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：ω=0)=1A(ω0oφ(ω)=ω=∞-90oφ(ω)=-0)=A(ω1ω=T)=0.707A(ω-45oφ(ω)=绘制奈氏图近似方法:

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可以证明：

惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：

转折频率-20dB/decT110TωdB

L(ω)T)211+(ω)=20lgL(ω<<ω1T(ωT)2<<1=0dB20lg1~~L(ω)ω<1/T频段,可用0dB渐近线近似代替-20020ω1T

>>(ωT)2>>120lgT1~~L(ω)ω=-20lgωT

ω>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两渐近线相交点的为转折频率ω=1/T。渐近线渐近线渐近线产生的最大误差值为：21L=20lg=-3.03dB精确曲线为精确曲线相频特性曲线：ωT-tg-1

φ(ω)=ω0-45-90)

(ωφω=00oφ(ω)=1ω=T-90oφ(ω)=--45oφ(ω)=ω→∞第二节典型环节与系统的频率特性5)．一阶微分环节G(s)=1+Ts(1)

奈氏图1∞ω=0ω=∞1)=A(ω0oφ(ω)=∞)=A(ω90oφ(ω)=T)21+(ω)=A(ωωTtg-1

φ(ω)=T+1j)=G(jωωReIm0ω=0第二节典型环节与系统的频率特性(2)

伯德图

一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴。20dB/decT110TωdB

L(ω)-20020ω)

(ωφ对数幅频特性：

T)21+(ω)=20lgL(ω渐近线相频特性曲线：ωTtg-1

φ(ω)=45090ω=00oφ(ω)=1ω=T45oφ(ω)=90oφ(ω)=ω→∞第二节典型环节与系统的频率特性6)．振荡环节

n=(1-ωω2ω1)222n)2+(ζωG(s)=ωnωnζs2+2s+ωn22ωnωnζωωn22)=G(jωω-2+j2)2(ωnωnζωωn22)=A(ωω-2)2+(2(1)

奈氏图1ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ReIm0-90oφ(ω)=21)=A(ωζω=ωnω=∞0)=A(ω-180oφ(ω)=ω=0ω∞ω=ωn

将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。ζ=0.4

幅相频率特性曲线因ζ值的不同而异。ζ=0.6ζ=0.8ωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图

对数幅频特性：)2(ωnωnζωωn22ω-2)2+(2)=20lgL(ωωn<<ωω

>>ωn=0dBL(ω)≈20lg1ωdB

L(ω)ωn(ω2L(ω)≈20lg)ωnω=-40lgωn-20020-40ωn10

精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。ωd=0)dA(ω可求得Mr=11-

ζ22

ζωrω=1-2

ζ2n谐振频率谐振峰值精确曲线ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5相频特性曲线：ω0-90-180)

(ωφωnζωωn22ω-2φ(ω)=-tg-1ω=00oφ(ω)=-90oφ(ω)=ω=ωnω=∞-180oφ(ω)=ζ不同，相频特性曲线的形状有所不同：ζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7第二节典型环节与系统的频率特性第二节典型环节与系统的频率特性因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。第二节典型环节与系统的频率特性注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常用的半对数坐标系中的直线方程为：其中和为直线上的两点，为直线斜率。7)．时滞环节奈氏图是一单位圆(1)

奈氏图1ω=0G(s)=e-τsjG(jωω)=e-τωτφ(ω)=-1)=A(ωReIm0ω=01)=A(ω0oφ(ω)=ω=∞1)=A(ω-φ(ω)=∞(2)伯德图L(ω)=20lg1=0dBωdB

L(ω)020ωτφ(ω)=-ω)

(ωφ0-100-200-300第二节典型环节与系统的频率特性

8．非最小相位环节最小相位环节:

最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。

开环传递函数中没有s右半平面上的极点和零点。

开环传递函数中含有s右半平面上的极点或零点。非最小相位环节:第二节典型环节与系统的频率特性环节传递函数

斜率dB/dec

特殊点φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡常用典型环节伯德图特征表

00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs第二节典型环节与系统的频率特性二、控制系统开环频率特性

频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能,这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第二节典型环节与系统的频率特性1．系统开环幅相频率特性曲线

系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：积分环节的个数时间常数系统的阶次开环增益n>m幅频特性:相频特性:

近似绘制系统的奈氏图:先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1υKΠi=1Πn-υυυ90o+m∑n-j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

imG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二节典型环节与系统的频率特性第二节典型环节与系统的频率特性

绘制概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率特性的三个重要因素：（1）确定开环幅相曲线的起点和终点（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点或为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为（3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。

(1)0型系统υ=0特殊点:系统起点和终点Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj)21+(ω)=A(ωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πnm∑nj=1∑i=1φ(ω)=ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0)=KA(ω0oφ(ω)=ω=∞0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=ω=0ω=∞幅频和相频特性:第二节典型环节与系统的频率特性(2)

Ｉ型系统υ=1系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞Tj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτmj=1KΠi=1Πn-190o+m∑n-1j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

iReIm0ω=0ω=∞幅频和相频特性:υ=1特殊点:ω=0)=∞A(ω-90oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二节典型环节与系统的频率特性(3)II型系统υ=2n-m=2n-m=1n-m=3系统起点和终点ω=0ω=∞mTj)21+(ω)=A(ωωi)21+(ωτj=12KΠi=1Πn-2180o+m∑n-2j=1∑i=1φ(ω)=-ωτ

tg-1

ωTj

tg-1

i幅频和相频特性:ReIm0ω=0ω=∞υ=2特殊点:)=∞A(ω-180oφ(ω)=0)=A(ω-(n-m)90oφ(ω)=第二节典型环节与系统的频率特性

开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:υ=1υ=0υ=3υ=2奈氏曲线的起点

奈氏曲线的终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0ω=∞第二节典型环节与系统的频率特性

例1试绘制系统的奈氏图系统的奈氏图解：n-m=2I型系统G(s)=Ks(Ts+1)特殊点:ω=0ω=∞T)2K1+(ω)=A(ωωωTφ(ω)=-90o-tg-1ReIm0ω=0ω=∞)=∞A(ω-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=0)=A(ω第二节典型环节与系统的频率特性

例2已知系统的开环传递函数,试画出该系统的开环幅相特性曲线。解：

1)

τ>Tω=0ω>0ω=∞K0型，n=mG(s)=K(1+1+Tsτs)T)21+(ω)=A(ω)21+(ωτKφ(ω)=ωτ

tg-1

ωTtg-1

ReIm00oφ(ω)=)=KA(ω)>KA(ω0oφ(ω)>)=A(ωKTτ

KTτ

0oφ(ω)=ω=0ω=∞

1)

τ<Tω=0ω>0ω=∞0oφ(ω)=)=KA(ω)<KA(ω0oφ(ω)<)=A(ωKTτ

0oφ(ω)=Kω=0KTτ

ω=∞第二节典型环节与系统的频率特性2．系统开环对数频率特性

系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：开环系统的频率特性：

G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…Gn(s)=ΠGi(s)ni=1对数幅频特性：对数相频特性：n)=ΠGi(ji=1G(jωω)=ΠAi(ni=1)ejφi(ω)ω)=20lgΠAi(ni=1L(ωω)=Σ20lgAi(ni=1ω)=ΣLi(ni=1ω))=Σφ(ωφi(ni=1ω)

将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。第二节典型环节与系统的频率特性

绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1)

将开环传递函数化成典型环节的乘积。3)将各环节的对数幅频、相频曲线相加。2）画出各典型环节的对数幅频和对数相频特性曲线；第二节典型环节与系统的频率特性

例已知开环传递函数，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解：G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)画出各环节的对数频率特性曲线G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11

各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。dB

L(ω)-20dB/dec)

(ωφ可知：

低频段幅频特性可近似表示为：)≈A(ωυωKυ)=20lgK-20lgL(ωω低频段曲线的斜率-20υdB/dec低频段曲线的高度L(1)=20lgK第二节典型环节与系统的频率特性

根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。实际的作图过程可简化为：1)

将开环传递函数标准化；2)在坐标中标出各环节的转折频率；3)过ω=1，L(ω)=20lgK这点，作斜率为-20υdB/dec的低频渐近线；4)每到某一环节的转折频率处，根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。5)画出对数相频特性的近似曲线。第二节典型环节与系统的频率特性

例试画出系统的伯德图

解：G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)将式子标准化各转折频率为：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：ω=0ω=∞dB

L(ω))

(ωφω1=1ω2=2ω3=20-90oφ(ω)=-180oφ(ω)=第二节典型环节与系统的频率特性三、传递函数的频域实验确定

频率特性具有明确的物理意义，可用实验的方法来确定它.这对于难以列写其微分方程的元件或系统来说,具有很重要的实际意义。1、用实验法确定系统的伯德图2、根据伯德图确定传递函数第二节典型环节与系统的频率特性1、用实验法确定系统的伯德图

给系统加不同频率的正弦信号，测量出系统的对数幅频特性和相频特性曲线。2.

用标准斜率的直线近似被测对数幅频特性曲线，得曲线的渐近线。ωω-20020400-180-90-270dB

L(ω))

(ωφ2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二节典型环节与系统的频率特性2、根据伯德图确定传递函数系统传递函数的一般表达式为：

根据伯得图确定传递函数主要是确定增益K，转折频率及相应的时间常数等参数则可从图上直接确定。mG(s)=sj=1υ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)Π第二节典型环节与系统的频率特性1.υ=0低频渐近线为系统的伯德图：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=χK=1020χ即ωdB

L(ω)ωcL(ω)=20lgA(ω)A(ω)=Kω1ω2χ第二节典型环节与系统的频率特性0ωdB

L(ω)1-20dB/dec-40dB/dec低频段的曲线与横轴相交点的频率为:

2.

υ=120lgKω=1系统的伯德图：因为故ω1ωcL(ω)=20lgKω0lg20lgK=20ω0-lg120lgK=20lgω0K=0ω第二节典型环节与系统的频率特性

-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13.

υ=2系统的伯德图：ω=120lgK低频段的曲线与横轴相交点的频率为:因为故ωdB

L(ω)0ω1ωcω2L(ω)=20lgKω0lg20lgK=40ω0-lg120lgK=40lgω02K=0ω第二节典型环节与系统的频率特性ωrω=1-2

ζ2n例由实测数据作出系统的伯德图如图所示，试求系统的传递函数。0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBω0-180-90-270解:由图可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：根据0≤ζ≤0.707得dB

L(ω))

(ωφ=11-

ζ22

ζω01=±0.92ζ2=±0.38ζ=0.38ζ由频率曲线得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=100ω2K==2nω2Tζ=0.381)2

T2=(=0.25nω第二节典型环节与系统的频率特性例已知采用积分控制液位系统的结构和对数频率特性曲线,试求系统的传递函数。K1sTs+1-hr(t)h(t)解:将测得的对数曲线近似成渐近线:1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1ω-2000-180-90ωdB

L(ω))

(ωφ第二节典型环节与系统的频率特性第三节频率域稳定判据第五章线性系统的频域分析法

1932年，乃奎斯特(Nyquist)提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为乃奎斯特稳定判据，简称乃氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。

第三节频率域稳定判据一、奈氏判据的数学基础1、辐角原理

设有一复变函数为

式中，s＝σ+jω为复变量，F(s)为复变函数,记F(s)=U+jV。

如果在s平面画一条封闭曲线,并使其不通过F(s)的任一零、极点,则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线,如图所示。图：s平面与F(s)平面的映射关系第三节频率域稳定判据第三节频率域稳定判据

若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的,则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的,也可能是逆时针的,这取决于F(s)函数的特性。我们感兴趣的不是映射曲线的形状,而是它包围坐标原点的次数和运动方向,因为这两者与系统的稳定性密切相关。根据式(1)，复变函数F(s)的相角可表示为

第三节频率域稳定判据图：封闭曲线包围z1时的映射情况

同理：若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。幅角原理

设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点,则当复变量s

沿封闭曲线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点(P-Z)周。第三节频率域稳定判据第三节频率域稳定判据2、复变函数F(s)的选择设系统的开环传递函数为

m≤n

则系统的特征方程为

结论：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点辅助函数的极点是开环传递函数的极点（2）辅助函数的零、极点个数相同（3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系第三节频率域稳定判据

为了判断闭环系统的稳定性,需要检验F(s)是否有位于s平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线,通常称为奈奎斯特回线,

简称奈氏回线,如图所示。3、s平面闭合曲线的选择

图奈氏回线

第三节频率域稳定判据Γ可取下图所示的两种形式图：G(s)H(s)无虚轴上的极点

图：G(s)H(s)无虚轴上的极点

第三节频率域稳定判据4、G(s)H(s)闭合曲线的绘制第三节频率域稳定判据5)、闭合曲线包围原点圈数R的计算根据半闭合曲线可获得包围原点的圈数R。设N为穿越点左侧负实轴的次数，表示正穿越的次数和（从上向下穿越），表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则第三节频率域稳定判据（图a）（图b）（图c）（图d）（图e）二、奈氏判据第三节频率域稳定判据

如果在s平面上,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线ΓF围绕坐标原点按逆时针方向旋转圈数R=P-Z=0周（P为开环传函位于s平面右半部极点的个数，Z为闭环极点个数）时,则系统是稳定的。根据系统闭环特征方程：G(s)H(s)=F(s)-1F(s)的映射曲线ΓF围绕原点运动的情况,相当于系统开环传函G(s)H(s)的封闭曲线ΓGH围绕着(－1,j0)点的运动情况,结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=P-R=0，即R=P。即：ΓGH逆时针包围（-1,j0）点的圈数=右半s平面开环极点数。第三节频率域稳定判据例5－8已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解:如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为，第三节频率域稳定判据系统开环传函由题设条件知，和当取时若令，可得对应的K值对应地，分别取和时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按补作虚圆弧得半闭合曲线。第三节频率域稳定判据根据曲线计算包围次数，并判断系统闭环稳定性：闭环系统稳定；闭环系统不稳定；闭环系统稳定；闭环系统不稳定。综上可得,系统闭环稳定时的K值范围为和。当K等于和20时，穿过临界点，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定。第三节频率域稳定判据第三节频率域稳定判据三、对数频率稳定判据可以推广运用奈氏判据，其关键问题是需要根据半对数坐标下的曲线确定穿越次数或和开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。的确定取决于穿越负实轴的次数，建立如下对应关系：时（1）穿越点确定设时为截止频率。

称第三节频率域稳定判据对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率时第三节频率域稳定判据对应地，需从对数相频特性曲线点起向上补作的虚直线至处，曲线和补作的虚直线构成（3）穿越次数计算正穿越负穿越半次正穿越半次负穿越第三节频率域稳定判据对数频率稳定判据设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是和时，曲线穿越线的次数

满足对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在于前者在的频率范围内依曲线确定穿越次数N。第三节频率域稳定判据已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。第三节频率域稳定判据解：绘制系统开环对数频率特性如图。

由开环传递函数可知P=0。所以闭环稳定第三节频率域稳定判据已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。第三节频率域稳定判据解：绘制系统开环对数频率特性如图在处振荡环节的对数幅频值为闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为第三节频率域稳定判据第五章线性系统的频域分析法

第四节、稳定裕度

——衡量闭环系统稳定程度的指标。一、相角裕度系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称幅值穿越频率或截止频率，记为，即定义相位裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。第四节稳定裕度二、幅值裕度系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为相位穿越频率，记为，即定义幅值裕度为幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍则系统将处于临界稳定状态。对数坐标下，幅值裕度按下式定义：

第四节稳定裕度第四节稳定裕度例5－12已知单位反馈系统设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。解：

可得K=4时第四节稳定裕度K=10时分别作出K=4和K=10的开环幅相曲线即闭合曲线，如图所示。由奈氏判据知：

K=4时，系统闭环稳定，；

K=10时，系统闭环不稳定，。

第四节稳定裕度例5－14

单位反馈系统的开环传递函数为

试确定系统开环增益K＝5和K＝20时的相位裕度和幅值裕度。解：由系统开环传递函数知，转折频率为，。按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为第四节稳定裕度本例的伯德图如左。第五节频率特性与系统性能的关系一、开环频率特性与系统性能的关系二、闭环频率特性与时域指标的关系第五章频率特性法

常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。一、开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段高频段中频段0第五节频率特性与系统性能的关系ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。1．低频段低频段由积分环节和比例环节构成：

G(s)=sKυ对数幅频特性为：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω)=)(jL(ω)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根据分析可得如图所示的结果：

可知：

曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。dB

L(ω)第五节频率特性与系统性能的关系2.中频段

穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。(1)穿越频率ωc与动态性能的关系

可近似认为整个曲线是一条斜率为

-20dB/dec的直线。设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

sK闭环传递函数为：ts≈3T穿越频率ωc

反映了系统响应的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc第五节频率特性与系统性能的关系(2)中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递函数：G(s)≈

s2K闭环传递函数为：处于临界稳定状态

中频段斜率为-40dB/dec

，所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。通常，取中频段斜率为-20dB/dec

。

可近似认为整个曲线是一条斜率为

-40dB/dec的直线。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc第五节频率特性与系统性能的关系例试分析中频段与相对稳定性的关系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲线如图对应的频率特性:γ=72o～54o设：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1第五节频率特性与系统性能的关系ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲线如图-40dB/dec对应的频率特性:同样的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2第五节频率特性与系统性能的关系(3)曲线如图ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec对应的频率特性:同样的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc

上述计算表明，中频段的斜率反映了系统的平稳性。第五节频率特性与系统性能的关系3．高频段

高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。一般即L(ω)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|第五节频率特性与系统性能的关系4．二阶系统开环频率特性与动态性能的关系开环传递函数：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平稳性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc第五节频率特性与系统性能的关系(1)相位裕量γ和超调量σ%之间的关系得0<ζ<0.707近似为0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越小；反之亦然。ζ与γ、σ%之间的关系曲线第五节频率特性与系统性能的关系根据：

调节时间

ts

与ωc以及γ有关。γ不变时，穿越频率ωc

越大，调节时间越短。得得(2)cω、γ与ts

之间的关系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根据：第五节频率特性与系统性能