第二章资金的时间价值

（三）名义利率和实际利率一般利率不特别说明，都是指年利率；计息期与利率的时间单位不一致时，产生名义利率和实际利率；名义利率：计息期少于1年时，每一计息期的实际利率乘以一年中的计息期数，即I=ni，类似单利；实际利率：考虑“利生利”

I=（1+i）n-1，类似复利。例：在年利率6%情况下，现在300元等值于8年末的478.2元。同一利率下不同时间的货币等值300元在8年末为：

300×(1+0.06)8=300[F/P,6%,8]=300×1.594=478.2元

317254680年300元i=6%317254680年478.2元例如上例：第7年第一个现金流量值是:300[F/P,6%,7]＝451

第二个现金流量值478.2[P/F,6%,1]=451第10年第一个现金流量值300[F/P,6%,10]＝537第二个现金流量值478.2[F/P,6%,2]=537（二）资金等值计算公式

A、一次支付类型

31n-12nPFF与P是等值的1、一次支付的终值公式（已知现值求终值）F＝P(1+i)nF—终值；P—现值；i—折现率；n—时间周期数;(1+i)n—一次支付终值系数或复利终值系数，也可表示为(F/P,i,n)例1：某企业为开发新产品，向银行借款100万元，年利率10%，借期五年，问五年后一次归还银行的本利和是多少？解：F=P（1+I）n=100(1+0.1)5=100×1.611=161.1(万元)2、一次支付现值公式（已知终值求现值）P＝F／(1+i)n=F(1+i)-n(1+i)-n称一次支付现值系数可记为(P/F，i，n)例1：如果某项目报酬率为12%，为在5年后获得10000元款项，现应投入多少？解：P=F（1+I）-5=10000(1+0.12)-5=5674(元)B、等额分付类型

在相同的时间间隔收到或支出等额的资金称为年金。1、等额分付终值公式（已知年金求终值）

——等额分付终值系数，记作(F/P，i，n)

31n-12nF0A例：某人从30岁起每年末向银行存入8000元，连续10年，若银行利率为8%，10年后本利和是多少？（假定按复利计）

先付年金与后付年金的区别：先付年金（年初付款）终值计算公式为：

2、等额分付偿债基金公式（已知终值求年金）

——等额分付偿债基金系数，记作(A/F，i，n)

例：某厂欲积累一笔福利基金用于3年后建造职工俱乐部，此项投资总额为200万元，银行利率12%，问每年年末至少要存款多少？利用(F/A，i，n)和(A/F，i，n)二个公式时，应注意这两个公式适用于下图

31n-12nF0A3、等额分付现值公式（已知年金求现值）

记作（P/A，i，n）

31n-12nF0PA如果年仅为定期等额收付期限为无穷大，则称为永续年金，其计算公式：永续年金现值

P＝每期等额收付金额／折现率＝A/i例：某企业拟设立一笔奖学基金，每年提取利息8万元作为奖金，如年利率为10%，则该笔基金的数额为？

P=80000÷10%=800000元，即80万元上述现值计算公式只适用于年金从一开始（即未来第一年年末）就发生的情况。假定计算期（或分析期）为从现在开始至最后一年年末，共为m+n年，前m年不发生年金，后n年发生年金为A，则n年内的年金现值和为：例：某工程技术项目经过四年建设后投产使用，从投产第一年开始每年年末支付经营费30万元，年折算率为20%，项目使用寿命为46年，试求项目全部适用期的经营费用的现值（即开始施工时的价值，亦称第0年价值）

=30[(P/A，20%，50)-(P/A，20%，4)]=30[4.999-2.589]=72.3万元

4、等额分付资本回收公式（已知现值求年金）

，记作(A/P，i，n)

例：某项目贷款200万元，银行4年内等额收回全部贷款i=10%，那么项目每年净收益不应少于多少万元？解：A＝P(A/P，10%，4)=200×0.31547=630940元

项目每年净收益至少应为63.094万元。

如：某工程项目的全部投资期初价值（即第0年末价值）经施工期m年后，从m+1年才从项目的收益中得到回收，共回收n年才能全部回收，这种情况下，可以应用下式计算回收期内平均每年应回收的金额：

m—项目建设期限，在此期限内不回收资金；n—回收资金的期限，从m+1年起至m+n年止共n年。

C、等差序列现金流的等值计算

等差序列现金流量是在一定的基础数值上逐期等差增加或逐期减少的现金流量。

1、等差序列终值公式

FA1＝A1(F/A，i，n)

式中：为等差序列终值系数，可用(F/G，i，n)表示。所以FA2＝G(F/G，i，n)如图123n-2n0n-1A1A1+GA1+2GA1+(n-3)GA1+(n-1)GA1+(n-2)G2、等差收付现值公式

设每年金额均发生在年末，等差值为G，第一年年末收付为零，第二年年末收入是G，依此类推，第n年末收付是(n-1)G。

123n-2nG2G(n-3)G(n-1)G0n-1(n-2)G利用等比数列求和公式得：

式中：称为等差收付现值系数，用(P/G，i，n)表示，则上边公式表示为：P=G(P/G，i，n)3、等差收付年值公式

利用等差收付现值公式和等额收入资金回收公式，即P=G(P/G，i，n)和A＝P(A/P，i，n)先把等差收入折算为现值，再将现值折算为年值。A＝G(P/G，i，n)(A/P，i，n)；整理后得：称为等差收入年值系数。可表示为：A＝G(A/G，i，n)例：某设备期初投资为700万元，每期末纯收入分别为300万元、260万元、220万元……每期递减40万元，设备寿命为6年，6年末无残值i=12%，求其净收益的现值和等年值。

解：P=300(P/A，12%，6)-40(P/A，12%，6)-700=300×4.111-40×8.93-700=176万元A=176(A/P，12%，6)=42.8万元资金等值计算的基本要点①计息周期与复利率周期一致。②本期末即下期初。③P发生在第一期初（0期）。④F发生在n期末。⑤各期的等额系列A发生在每期末，计算期数为A的发生次数。⑥各期的等额递增系列发生在从第二期起的每期末，计算期数为递增支付量发生数加1。⑦当问题包括P与A时，P发生在第一个A的前一期，当问题包括F与A时，F的发生与最后一个A同期。⑧当F与G时，F与最后一个G同期发生；P与G时，P发生在第一个G的前两期；当A与G时，第1个A发生在第一个G的前一期，最后一个A与最后一个G同期。课堂练习1、天海公司欲购置1台自动化设备，需资金10万元，可使用10年，期满无残值，估计该设备每年可为企业增加收益2万元。若购置设备由银行借入，银行借款年复利率14%，试问此项购置方案是否可行？1、参考答案解：根据题意，本题为等额支付系列情形中已知A求P，现金流量图为：

首先计算10年总收益折成现值究竟是多少，然后再拿它与原投资额比较。其计算公式为：P=A（P/A,i,n）=2(P/A,12%,10)查复利系数表得（P/A，14%，10）=5.650则P=2×5.650=11.30万元由此可见，10年的总收益现值为11.30万元，大于原投资，故此投资方案是可行的。2、大通公司一投资方案，款项需由银行借入，第10年末全部建成，借款本利和为5000万元人民币，如果年复利率为5%，那么从现在起，每年末公司应筹集多少钱作为偿还基金？2、参考答案

解：根据题意，本题为等额支付情形中已知F求A，现金流量图为：

计算公式为：A=F（A/F,i,n）=5000(A/F,5%,10)查复利系数表得（A/F，5%，10）=0.0795则A=5000×0.0795=397.5万元答：该公司每年末需筹集397.5万元才能如期偿还债务。

3、某企业租凭机器，每一年付出租金4万元，以后每年递增2万元，共租赁5年，年利率i=8%。问：1）若采用一次付款的方式，第一年初应一次性付出多少租金？2）若改为第5年末一次付清，应付多少？3、参考答案解：根据题意：

1）若第一年初一次付清，则P=A（P/A,i,n）+G(P/G,,i,n)=4(P/A,8%,5)+2(P/G,8%,5)=4×3.9927+2×7.372=30.714万元2）若最后一年末一次付清，则F=P（F/P,i,n）=30.7148(F/P,8%,5)=30.7148×1.469=45.12万元4、若复利率为年利率8%，要使自今后第三年末可提取5000元，第八年末可提取10000元，第十年末可提取9000元，三次将本利和提取完毕，问：1）应一次存入多少元？2）若改为前五年筹集这笔款项，每年末应等额存入多少元？

4、参考答案解：绘出现金流量图，如下图：

1）P=5000（P/F,8%,3）+10000(P/F,8%,8)+9000(P/F,8%,10)=(5000×0.7938+10000×0.5403+9000×0.4632)=13540.8元应一次存入13540.8元；2）A=P·（A/P,i,n）=13540.8(A/P,8%,5)元=（13540.8×0.02505）=3392元前五年每年末应存入3392元。5、某公司购置了一台机器投资12000元，残值2000元，年操作费用800元。每五年大修一次，花费2800元。若此机器寿命为20年，年利率10%。问使用此机器每年等额成本是多少？5、参考答案解：操作费用为一项每年等额值，因此只需将投资、大修费、残值换算成每年等额值与之相加即得：

A=-800-[12000+2800（P/F,10%,5）+2800(P/F,10%,10)+2800(P/F,10%,15)](A/P,10%,20)+2000(A/F,10%,20)=-800-（12000+2800×0.6209+