量子力学：22-力学量本征值问题的代数解法

量子力学谐振子的薛定谔因式分解法角动量的本征值与本征态第23讲目录零、一维谐振子的分析解法（回顾）一、谐振子的薛定谔因式分解法二、角动量的本征值与本征态三、代数解法总结

四、例题

零、一维谐振子的分析解法（回顾）

一维谐振子的能量本征方程:(1)渐进行为和束缚态条件：

令：代入原方程零、一维谐振子的分析解法（回顾）（厄米方程）幂级数解法能量本征值能量本征态：厄米多项式

以上为分析解法，非常复杂。本讲将引入的薛定谔因式分解法（代数解法）处理该问题很简单。一、谐振子的薛定谔因式分解法（1）1、，和的引入一维谐振子的哈密顿量:

利用自然单位：

引入两个算符：和定义为：

对易关系：

逆变换：留作练习一、谐振子的薛定谔因式分解法（2）一维谐振子的哈密顿量用和表示为：注意：定义：因此，称为粒子数算符。

的性质：在任何量子态下：

为正定（线性代数）的厄米算符，正定厄米算符的本征值为非负实数。一、谐振子的薛定谔因式分解法（3）2、的本征值和本征态。设的本征值为，本征态为，即：

即：若令则有：，对比，可以看出就是算符属于本征值的本征态。一、谐振子的薛定谔因式分解法（4）

利用同样的方法，可得即：的本征态：的本征值：

为正定的厄米算符，其本征值为非负实数。肯定存在一个最小的本征值，相应的本征态为，则为的本征值为的本征态，即：一、谐振子的薛定谔因式分解法（5）3、利用确定一维谐振子的本征值即：，为的本征值，加上能量单位：；就是一维谐振子的属于本征值本征态。

以上求解一维谐振子能量本征值的方法，未涉及任何分析（微分，积分等）的方法，仅仅从代数（左乘，数乘等）的角度来求解的。一、谐振子的薛定谔因式分解法（6）4、的性质

因此就是算符属于本征值的本征态。同理：（）的本征态：的本征值：的本征值：一、谐振子的薛定谔因式分解法（7）：下降算符：上升算符固体物理：和称为声子的产生和消灭算符。量子电动力学（激光的全量子理论）：和称为光子的产生和消灭算符。一、谐振子的薛定谔因式分解法（8）5、一维谐振子的本征态

已证明就是一维谐振子的属于本征值本征态。但是具体的形式未给出。利用上升算符可证明：归一化的

即：

坐标表象中的表示：首先求的表示，取坐标表象：一、谐振子的薛定谔因式分解法（9）加上自然单位：归一化的基态波函数激发态波函数：，加上长度自然单位二、角动量的本征值与本征态

（1）1、角动量算符的定义设有三个标量算符，和，若它们满足下列对易式：则由这三个标量算符作为分量的矢量算符称为角动量算符，上述三个对易式称为角动量的基本对易式。这个三个对易式与三个标量算符是角动量算符分量互为充分必要条件。定义：为角动量平方算符，满足对易式：基本对易式合写为：二、角动量的本征值与本征态

（2）2、角动量算符本征值和本征态的代数解法

考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和消灭算符分别为：和满足对易式：定义正定厄米算符：设其本征值分别为和，分别声子的数目

和归一化共同本征态：二、角动量的本征值与本征态

（3）

定义以下算符（）：可以证明因此这三个算符，和可组成一个角动量算符：其中：二、角动量的本征值与本征态

（4）若的本征值可表示为则根据即角动量量子数只能取非负整数或半奇数

为和的共同本征态，将改记为的取值范围：二、角动量的本征值与本征态

（5）根据逆变换：角动量的本征值与本征态：三、代数解法总结

（1）代数解法的核心？对易关系代数变换

和为粒子数产生和消灭算符，粒子数算符。粒子数表象四、例题

第一题：证明由产生算符性质可知和为同一个态：

为一个常数，取它的模方取即四、例题

第二题：定义证明：由题可知：已知：，令根据：根据逆变换：有：角动量的共同本征函数―球谐函数角动