量子力学：11-氢原子

1量子力学

氢原子碱金属原子2目录一、中心力场问题回顾二、氢原子三、碱金属原子的价电子3H的本征方程1.哈密顿算符xz球坐标ry此式使用了L2

的表达式：（一）中心力场下的能量本征方程问题回顾4（2）分离变量求解方程()yymmErVrLrrrr=úûùêëé++¶¶¶¶-222222ˆ)(2h5角向方程的解中心力场问题可以分离变量简化为两个方程，一个是角向方程，另一个是径向方程。下面来分别讨论

角向方程就是角动量平方算符的本征值方程,它的解已得到了.于是中心力场问题归结为求解径向方程：显然，对于不同的值，有不同的径向方程。先求得方程的通解，再考虑波函数标准条件，即可得到能级和波函数。一般讲，能级和径向波函数：它们都与两个量子数n和l有关。6波函数的统计解释对波函数渐进行为的要求

_波函数平方可积7一、中心力场的守恒量-角动量二、中心力场能级简并

角动量算符的对易关系三、中心力场力学量完全集四、无限深球方势阱五、三维各向同性谐振子势8原子的稳定性问题

原子塌陷与氢原子光谱

按经典理论，如果采用卢瑟福的原子有核模型，电子绕核做加速运动，因而以连续谱的形式向外辐射能量，并最终因能量耗尽而掉到原子核里，原子的寿命约为1ns。实验观测到:氢原子光谱是彼此分裂的线状光谱，每一条谱线具有确定的波长（或频率）玻尔的假设?9二、氢原子 量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。氢原子中一个电子在库伦势中相对于核运动的波函数

(r)所满足的方程，相对运动能量E就是氢原子的能级。10二、氢原子(1)11二、氢原子(2)12二、氢原子(3)我们只讨论束缚态E<013二、氢原子(4)14二、氢原子(5)15二、氢原子(6)5、氢原子能级图Bohr半径主量子数Lyman线系Balmer线系Paschen线系连续谱16二、氢原子(7)17下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式：对于氢原子Z=118二、氢原子(8)19二、氢原子(9)20二、氢原子(10)21（1）能级和波函数（2）能级简并性能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,,m有关，故能级存在简并。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（三）小结22能级En

是n2度简并(不考虑自旋).当n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非简并态。当n确定后，

=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：2324（4）简并度与力场对称性

由上面求解过程可以知道，由于中心力场是球对称的，所以径向方程与

m无关，而与

有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量E不仅与径量子数

nr有关，而且与

有关，即

E=Enl，简并度就为

(2+1)

度。

但是对于库仑场

-Ze2/r

这种特殊情况，得到的能量只与

n=nr++1有关，所以又出现了对

的简并度。这是由于库仑场具有比一般中心力场

有更高的对称性的表现。

25n=1的态是基态，E1=-(e4/22)，当n→∞时，E∞=0，则电离能为：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.（1）能级1.基态及电离能2.氢原子谱线线状光谱！26（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布1.氢原子的径向波函数272.径向几率分布例如：对于基态电子在(r,θ,)点附近体积元d=r2sindrdd

内的几率在半径rr+dr球壳内找到电子的几率考虑球谐函数的归一化28二、氢原子(11)29二、氢原子(12)30二、氢原子(13)31二、氢原子(14)323.几率密度随角度变化Rnl(r)已归一电子在(θ,)附近立体角d

内的几率下面图示出了各种,m态下，Wm()关于的函数关系，由于它与角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。该几率与角无关例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。xyz33例2.=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在

=π/2时，有最大值。在

=0沿极轴方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0时，W1,0()={3/4π}cos2。正好与例2相反，在

=0时，最大；在

=π/2时，等于零。zzyxxyZxz球坐标ry34m=-2m=+2m=+1m=-1m=0

=235二、氢原子(15)36（1）原子中的电流密度电子在原子内部运动形成了电流，其电流密度1.由于ψnlm的径向波函数Rnl(r)和与有关的函数部分Plm(cos)都是实函数，所以代入上式后必然有：（四）原子中的电流和磁矩372.绕z轴的环电流密度j

是上式电流密度的向分量：最后得：38（2）轨道磁矩则总磁矩（沿z轴方向）是：j

是绕z轴的旋转对称的,通过截面d

的电流元对磁矩的贡献是圆面积S=(rsin)2波函数已归一rsindjxzyor39几点讨论：1.由上式可以看出，磁矩与m有关，这就是把m称为磁量子数的理由。2.对s态，(=0)，磁矩MZ=0，这是由于电流为零的缘故。3