数学分析第二曲面积分

第二类曲面积分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分之间的联系对面积的曲面积分的定义性质特别，复习计算法则三代：二换：一投：则三代：二换：一投：则三代：二换：一投：注意：这里曲面方程均是单值函数。一、对坐标的曲面积分的概念与性质观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.上侧下侧外侧决定了侧的曲面称为有向曲面.内侧上侧下侧左侧右侧前侧后侧•曲面分类

双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带设连通曲面S上处处有连续设M0为曲面S上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向.

L为S上任一经过点M0且不超出S边界的闭曲线.设点M从M0出发，沿L连续移动，M在M0点与M0变动的切平面（或法线）曲面在M0点的一个法线有相同的法线方向，当点M连续移动时，其法线方向也连续变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0点的法线方向一致，则称此曲面S为双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S为单侧曲面曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.则单位时间内流经小曲面Si的流量近似地等于其中ΔSi为小曲面Si的面积.记它们是Si的一侧分别在坐标面面积的近似值，于是单位时间

yz,zx和xy上投影区域内流经小曲面Si的流量也近似地等于3、求和单位时间内由曲面Σ

的一侧流向另一侧的总流量三、第二类曲面积分的定义向量函数v=(P,Q,R)设P,Q,R为定义在双侧曲面Σ

上的函数，在Σ

所指定的一侧作分割T，把Σ分为n个小曲面S1,S2...,Sn,记

分别表示Si在三个坐标轴上的投影区域的面积,在Si

上任取一点若存在，则称此极限为向量函数v=(P,Q,R)在曲面Σ

所指定一侧上的第二类曲面积分，也称为对坐标的曲面积分或记作常简记为若令则第二类曲面积分也记作向量形式：由第二类曲面积分的定义，流体以速度从曲面的一侧流向另一侧的总流量称为P在有向曲面Σ上对坐标y,z的曲面积分;称为Q在有向曲面Σ上对坐标z,x的曲面积分;称为R在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分;若以-Σ表示Σ的另一侧，则由定义可得存在条件:组合形式:物理意义:性质:四、计算法说明:如果积分曲面S取下侧,则若曲面Σ是母线平行于z轴的柱面（垂直于xy

坐标)则三定号：二代：一投：三定号：二代：一投：注意：曲面方程均是单值函数.三定号：二代：一投：特别地，在上恒有，注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解解例2计算其中是长方体表面的外侧.于是，于是，同样，同样，于是，例3.

计算

其中Σ是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面的外侧.解:

设取上侧

S2是Σ的底部，取下侧在xoy坐标面上的投影区域为Dxy

先计算积分由对称性例4计算积分

因此,

因此,

因此,

综上,

五、两类曲面积分之间的联系如果取上侧，则曲面Σ的法向量的方向余弦为又因此，两类曲面积分之间的联系向量形式内容小结1.定义2.性质3.计算设上正下负注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.两类曲面积分的联系:解六、小结1、物理意义2、计算时应注意以