第4章用概率分布描述随机变量

第4章用概率分布描述随机变量数学定律不能百分百确切地用在现实生活里；能百分百确切地用数学定理描述的，就不是现实生活。

——AlbertEinstein户数比重(%)252015105按纯收入分组(元)1000500←15002000250030003500400045005000→4.1度量事件发生的可能性

—概率probability明天降雨的可能性有多大？你买彩票中奖的可能性有多大？你购买一只股票周一上涨的可能性有多大？这些对事件发生可能性大小的度量就是概率什么是概率？

(probability)概率是对事件发生的可能性大小的度量你购买一只股票明天上涨的可能性有多大明天降水的概率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量一个介于0和1之间的一个值事件A的概率记为P(A)怎样获得概率？重复试验获得概率当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为

用类似的比例来逼近一家餐馆将生存5年的概率，可以用已经生存了5年的类似餐馆所占的比例作为所求概率一个近似值主观概率有人投掷一枚硬币，随着投掷次数n的增大，出现正面（或反面）的频率稳定在1/2左右。试验的次数1.000.000.250.500.750255075100125正面/试验次数利用概率知识帮助判案在瑞典的一次庭审中，管理泊车的警察作证说他记录了一辆车某一边的两个轮胎气阀的位置。后来等他重新回到该处时，气阀还在原来的位置。（这个警察的做法是把气阀的位置记成最接近的“钟点”位置。例如在下图中，气阀是在“10:00”和“3:00”。）在这种情况下他开了一张超时泊车的罚单。但是车主却声称他已经在其间用过车子，只不过停回到了原来的泊车位。概率的基本性质1.P(Φ)=0，P(Ω)=12.有限可加性：当n个事件A1，A2，A3…，An两两互不相容时，P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)。3.对于任意一个事件A：P(A)=1－P(非A)4.当事件A，B满足A包含于B时：P(B－A)=P(B)－P(A)，P(A)≤P(B)。5.对于任意一个事件A，有0≤P(A)≤1。6.对任意两个事件A和B，P(B－A)=P(B)－P(AB)．7.加法公式：对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)。当事件A和B互不相容时P(A∪B)=P(A)+P(B)这里：事件（AB）表示A和B同时发生。若A和B相互独立：P(AB)=P(A)·P(B)【例题】

：据经验统计，甲运动员投篮命中（A）概率为80%，乙运动员投篮命中（B）概率为90%，若两人各独立投一次，有下列结果：

1）两人都投中的概率：P(AB)=P(A)·P(B)=80%×90%=72%2）两人都投不中的概率P(非A非B)=（1－P(A))(1－P(B)）=20%＊10% 3）甲投中乙投不中的概率P(A)·(1－P(B))=80%×10%=8%4）乙投中而甲投不中的概率(1－P(A))·P(B)=20%×90%=18%5)甲乙至少有一人投中的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=80%+90%－72%=98%4.2随机变量的概率分布随机变量是变量数值具有随机性的变量。离散型随机变量只能取有限多个数值.连续型随机变量可以取某一区间范围内的任意值。4.2.1随机变量(randomvariables)事先不知道会出现什么结果投掷两枚硬币出现正面的数量一座写字楼，每平方米的出租价格一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好一般用X，Y，Z来表示根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量

(discreterandomvariables)随机变量X

取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来x1,x2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为1连续型随机变量(continuousrandomvariables)可以取一个或多个区间中任何值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X00

X100X0离散型随机变量的期望值(expectedvalue)描述离散型随机变量取值的集中程度离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和记为或E(X)计算公式为离散型随机变量的方差(variance)随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为2或D(X)描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为方差的平方根称为标准差，记为或D(X)连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望值方差例如根据人口普查数据，我国的出生婴儿男、女性比重如表婴儿的性别情况表

性别X0（男)1（女)概率P0.5170.4834.2.2离散型随机变量概率分布一般地，假定随机变量的所有取值为x1，x2，……，xk，对应发生的概率分别为p(x1)p(x2)……p(xk)，可以以下列分布列表示。离散型随机变量概率分布的表格形式

Xx1x2……xk……p（X=xi）p(x1)p(x2)……(xk)……【实例】姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？1.投进零个球———0分2.投进一个球———1分3.投进两个球———2分4.投进三个球———3分结果可用得分数这个随机变量X进行描述，X的取值为0，1，2，3。其分布列可表示为：X0123p（X）p1p2p3p4【实例】每次抛两个硬币，记录正、反面结果。结果可记录为：1.硬币1正面朝上，硬币2正面朝上：2个正面2.硬币1正面朝上，硬币2反面朝上：1个正面3.硬币1反面朝上，硬币2正面朝上：1个正面4.硬币1反面朝上，硬币2反面朝上：0个正面在此，正面数是一个随机变量，记为X，我们通常对X的每个取值的概率感兴趣。X的取值为0、1、2。其分布列可表示为：X012p（X）0.250.50.25离散型随机变量分布的性质(1)(2)掌握随机变量概率分布的好处：只要确知一个离散随机变量的概率分布并用一定的公式表达出来，就能根据这一分布计算随机变量取任一值的概率二项试验

(伯努利试验)

二项分布与伯努利试验有关贝努里试验满足下列条件一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”“成功”是指我们感兴趣的某种特征一次试验“成功”的概率为p，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的

试验是相互独立的，并可以重复进行n次

在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X

二项分布

(Binomialdistribution)重复进行

n次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p)设X为n次重复试验中出现成功的次数，X取x的概率为二项分布

(期望值和方差)期望值

=E(X)=np方差2

=D(X)=npq0.00.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.50.20.40.6012345XP(X)n=5p=0.1二项分布

(例题分析)【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中(1)没有次品的概率是多少？(2)恰好有1个次品的概率是多少？(3)有3个以下次品的概率是多少？二项分布

(用Excel计算概率)第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格第2步：在Excel工作表中，直接点击【fx】(粘贴函数)命令第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，在“函数名”中点击【BINOMDIST】选项，然后确定第4步：在【Number_s】后填入试验成功次数(本例为1)在【Trials】后填入总试验次数(本例为5)在【Probability_s】后填入试验的成功概率(本例为0.04)在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)

用Excel计算概率Excel二项分布函数BINOMDIST

一个推销员打了六个电话，每次推销成功的概率是0.3，建立推销成功次数的概率分布图表。泊松分布

(Poissondistribution)1837年法国数学家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数

泊松分布

(概率分布函数)—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e=2.71828x—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数泊松分布

(期望值和方差)期望值

E(X)=方差

D(X)=

0.00.20.40.6012345XP(X)0.00.20.40.60246810XP(X)l

=6l

=0.5泊松分布

(例题分析)【例】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数

泊松分布

(用Excel计算概率)第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格第2步：在Excel表格界面中，直接点击【f(x)】命令第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，并在“函数名”中点击【POISSON】选项，然后【确定】第4步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6)在【Means】后填入泊松分布的均值(本例为7)在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)

用Excel计算概率超几何分布

(hypergeometricdistribution)采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布概率分布函数为超几何分布

(例题分析)【例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求(1)有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？(2)3支可获利的股票中有2支被你选中的概率有多大？

解：设N=10，M=3，n=4超几何分布

(用Excel计算概率)第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格第2步：在Excel工作表中，直接点击【f(x)】(插入函数)命令第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，并在“函数名”中点击【HYPGEOMDIST】选项，然后【确定】第4步：在【Sample_s】后填入样本中成功的次数x(本例为3)

在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4)

在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例为3)

在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N

(本例为10)

用Excel计算概率4.2.3连续型概率分布4.2随机变量的概率分布调查某市150户家庭，获得家庭人均收入数据如下（上组限不在内）：

：上表数据的直方图如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。

可采用一个函数拟合这一光滑曲线。这种函数称为概率密度函数。

户数比重(%)252015105按纯收入分组(元)1000500←15002000250030003500400045005000→连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述常用连续型概率分布正态分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础xf(x)概率密度函数

f(x)=随机变量X的频数

=正态随机变量X的均值

=正态随机变量X的方差

=3.1415926;e=2.71828

x=随机变量的取值(-<x<+)正态分布函数的性质图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1

和对正态曲线的影响xf(x)CAB=1/212=1正态分布的概率概率是曲线下的面积!abxf(x)标准正态分布

(standardizenormaldistribution)标准正态分布的概率密度函数随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布标准正态分布的分布函数标准正态分布Xms一般正态分布=1Z标准正态分布正态分布

(用Excel计算概率)第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格第2步：在Excel表格界面中，直接点击【f(x)】(粘贴函数)命令第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，并在“函数名”中点击【NORMDIST】选项，然后【确定】第4步：在【X】后填入正态分布函数计算的区间点(本例为40)在【Mean】后填入正态分布的均值(本例为50)

在【PStandard_dev】后填入标准差

(本例为10)

在【Cumulative】后填入1（或TRUE）表示计算事件出现次数小于或等于指定数值的累积概率值正态分布

(例题分析)【例】计算以下概率(1)

X～N(50,102)，求和(2)

Z～N(0,1)，求和(3)正态分布概率为0.05时，求标准正态累积分布函数的反函数值z

用Excel的统计函数计算概率

数据正态性的评估对数据画出频数分布的直方图或茎叶图若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似求出样本数据的四分位差Qd和标准差s，然后计算比值Qd/s。若数据近似服从正态分布，则有

Qd/s1.3绘制正态概率图正态概率图的绘制

(normalprobabilityplots)正态概率图可以在概率纸上绘制，也可以在普通纸上绘制。在普通纸上绘制正态概率图的步骤第1步：将样本观察值从小到大排列第2步：求出样本观察值的标准正态分数zi。标准正态分数满足第3步：将zi作为纵轴，xi作为横轴，绘制图形，即为标准正态概率图正态概率图的绘制

(例题分析)【例】一家电脑公司连续10天的销售额(单位：万元)分表为176，191，214,，220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率图，判断该组数据是否服从正态分布用SPSS绘制正态概率图

用SPSS绘制正态概率图第1步：选择【Graphs】下拉菜单，并选择【Q-Q】选项进入主对话框第2步：在主对话框中将变量选入【Variables】，点击【OK】正态概率图的绘制

(例题分析)电脑公司销售额的正态概率图

正态概率图的绘制

(SPSS绘制的例2.3的正态概率图)正态概率图的分析

(normalprobabilityplots)正态概率图有时也称为分位数—分位数图，或称Q-Q图实际应用中，只有样本数据较多时正态概率图的效果才比较好。当然也可以用于小样本，但此时可能会出现与正态性有较大偏差的情况在分析正态概率图时，最好不要用严格的标准去衡量数据点是否在一条直线上，只要近似在一条直线上即可对于样本点中数值最大或最小的点也可以不用太关注，除非这些点偏离直线特别远，因为这些点通常会与直线有偏离。如果某个点偏离直线特别远，而其他点又基本上在直线上时，这个点可能是离群点，可不必考虑Excel正态分布函数

NORMDIST已知某国男性的身高X～N(170,2^2)，请问：身高为166至174的男性占男性的比率有多大？=NORMDIST(166,170,2,1)

—

=NORMDIST(174,170,2,1)

=NORMDIST(65,50,10,1)

=NORMDIST(65,60,4,1)

由甲地到乙地有两条路线可供选择。第一条路线路程较短，但交通拥挤，所需时间X～N(50,10^2)；另一条路线路程较长，但较通畅，所需时间Y～N(60,4^2)（单位min）。如果要求在65分钟内从甲地到达乙地，应走哪条路线？解：由于而故从走概率较大而保险的角度看，应该走第一条路线。4.3由正态分布导出的几个重要分布

2分布

t分布

F分布由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则y服从自由度为1的2分布，即对于n个正态随机变量y1，y2，yn，则随机变量称为具有n个自由度的2分布，记为4.3.1c2-分布(2-distribution)分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布c2-分布

(性质和特点)不同自由度的c2-分布c2n=1n=4n=10n=20c2-分布

(用Excel计算c2分布的概率)利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算c2分布右单尾的概率值语法：CHIDIST(x,degrees_freedom)

，其中df为自由度，x,是随机变量的取值利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值

语法：CHIINV(probability,degrees_freedom)

用Excel计算c2分布的概率4.3.3t-分布

(t-distribution)提出者是WilliamGosset，也被称为学生分布(student’st)

t分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)zt-分布

(用Excel生成t分布的临界值表)利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails)

利用【TINV】函数则可以计算给定概率和自由度时的相应

语法：TINV(probability,degrees_freedom)

用Excel生成t分布的临界值表为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher)

以其姓氏的第一个字母来命名则设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为4.3.3F-分布(F

distribution)不同自由度的F分布(图示)F(1,10)(5,10)(10,10)F-分布

(用Excel计算F分布的概率)利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应

语法：FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)

用Excel计算F分布的概率3.4样本统计量的抽样分布

3.4.1样本均值的抽样分布3.4.2其他统计量的抽样分布3.4.3统计量的标准误差第3章用概率分布描述随机变量样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取样本量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布

随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布

(samplingdistribution)3.4.1样本均值的抽样分布3.4样本统计量的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的期望值为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x中心极限定理

(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程3.4.2其他统计量的抽样分布3.4样本统计量的抽样分布总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

样本比例的抽样分布

(proportion)在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即

样本比例的抽样分布样本方差的分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)的2分布，即样本方差的分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)的2分布，即重要概率分布连续型随机变量正态分布

分布t分布F分布离散型随机变量二项分布泊松分布超几何分布μ不同时的正态分布

σ不同时的正态分布

正态概率密度曲线图性质1.关于x=μ对称2.在x=μ曲线最高3.在x=μ±σ处各有一个拐点4.曲线下面积（以x轴为界）为15.若σ固定，随μ值不同，曲线位置不同，故称μ为位置参数6.若μ固定，σ大时，曲线矮而胖；小时，曲线瘦而高，故称为形状参数正态分布表示方法若随机变量X服从均值为μ方差为的正态分布，记：X～N(μ,)标准正态分布Z～N(0,1)一般正态分布随机变量X可标准化为标准正态分布的随机变量Z：Z=(X-μ)/σ正态分布曲线下的面积若随机变量X～N(μ,)

密度曲线下的总面积为1（这是所有密度函数的性质）-Zα/21-aa/2Zα/2a/2μ正态分布置信度落在正态分布图尾部区域的X是小概率事件。其概率我们记为α。而称1-α为可信程度或置信度。通常置信度取90%，95%，99%正态分布曲线下的面积与临界值正态分布模型的概率计算当X～N（0，1）时，有其中Φ(x)是标准正态分布密度函数，取值可在Excel里得到。因为只给出X>0的结果，所以当X<0时，可用Φ(-x)=1-Φ(x)求出。若随机变量X～N(μ,)时，样本统计量的抽样分布样本均值的分布样本比例的分布样本方差的分布抽样分布正态或t分布Χ2分布正态或t分布样本均值的分布

设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N~(μ,σ2)的一个样本，则样本均值服从均值为μ方差为σ^2/n的正态分布。

设X1，X2，…，Xn是来自任总体的一个大（n>30）样本，则样本均值近似服从均值为μ方差为s^2/n的正态分布。样本均值的分布

设X1，X2，…，Xn是来自非正态总体的一个