数值计算方法51

第五章常微分方程数值解计算机数值方法1第五章常微分方程数值解5.1引言(基本求解公式)5.2Runge-Kutta法5.3微分方程组和高阶方程解法简介2本章要点：本章作业本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有线性单步法中的Euler方法、Simpson方法、Runge-Kutta方法高阶微分方程和微分方程组的数值解法P208.1.3.4.7.8.10.11.12.3本章应用题:驱逐舰在浓雾中搜索潜艇，其时发现潜艇在3英里的海面上，但潜艇立即下潜，驱逐舰速度两倍于潜艇，且已知潜艇下潜后即以全速朝某一未知方向直线前进，问驱逐舰应采取什么路线才能保证它会开过潜艇的上方以投放深水炸弹？提示取极坐标，并以发现潜艇时潜艇的位置为原点———反潜45.1引言(基本求解公式)在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)5-----------(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题-----------(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件6定理1.

对于问题(1),要求它的数值解7-----------(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过8一、基于数值微分的常微分方程数值解法-----------(1)对于初值问题(1)在下列子区间上分别应用两点数值微分公式为了讨论方便,假设以下节点为等距节点9--------(5)(一)Euler公式10由(5)式每组的前一半可得--------(6)--------(7)记其中(6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项11由(5)式每组的后一半可得记其中--------(8)--------(9)(8)和(9)式称为求解初值问题(1)的后退Euler公式和误差项12从(6)或(8)式不难看出,这种类型的方法称为单步格式或单步法Euler方法的几何体现:前进Euler公式后退Euler公式13Euler1.m例1.解:由前进Euler公式14得依此类推,有01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.784815由于后退Euler公式是隐形公式,计算例1将很麻烦事实上大多数情况下用后退Euler公式都较困难就可得到新的Euler公式--------(10)此方法称为预测—校正系统16用Euler公式的预测——校正系统求解例1.例2.解:由(10)式,有Euler1.m17依此类推,得01.00000.10001.09180.20001.17630.30001.25460.40001.32780.50001.39640.60001.46090.70001.52160.80001.57860.90001.63211.00001.6819比较不同的结果18(二)常微分方程数值解的截断误差评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度而在求解公式中误差项19定义1.因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义2.定义3.2021Euler公式的局部截断误差为具有1阶精度后退Euler公式的局部截断误差为也具有1阶精度显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高因此有必要找寻精度更高的求解公式22二、基于数值积分的常微分方程数值解法-----------(1)对于初值问题-----------(11)23矩形求积公式梯形求积公式,误差为Simpson求积公式,误差为将以上求积公式代入(11)式,并加以处理就可得到相对应的求解公式24(一)矩形求解公式由可得令-----------(12)(12)式称为矩形公式(矩形法)实际上就是Euler求解公式25(二)梯形求解公式由可得令------(13)称(13)式为梯形求解公式(梯形法)注意:(13)式是隐形公式26则梯形公式第k步的截断误差为显然梯形法具有二阶精度由于梯形公式为隐形公式,一般情况下不易显化27------(14)以上公式称为改进的Euler求解公式(改进Euler法),即------(15)28例3.用Euler公式、梯形公式和改进Euler公式求解初值问题,并比较结果的精度解:(1)Euler公式29(2)梯形公式3031(3)改进Euler公式xy01.00000.10.90500.20.81900.30.74120.40.67080.50.6071使用MATLAB软件Euler2.m结果为320.90500.81900.74120.67080.6071Euler公式梯形公式改进Euler公式结果比较Euler法的精度不如梯形公式3334(三)Simpson求解公式将Simpson求积公式代入（11）简化后,得------(16)35由Simpson求积公式