微积分课件 92 二重积分的计算(二)-

第二节二重积分的计算(二)二重积分的计算（一）在直角坐标系下计算二重积分（累次积分）或yxdcX-型Y-型复习yxab例

计算其中xyo因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数的特点,选择不同的坐标系来计算二重积分是一个重要的问题.第二节二重积分的计算解(一)二重积分在极坐标系下的计算(二)无界区域的的反常二重积分第二节二重积分的计算(二)极轴X极点Orxy

如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，原点Ox轴二、二重积分在极坐标下的计算用以极点O为中心的一族同心圆,

设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点，把区域D分成n个小区域，在极坐标系下，以及从极点出发的一族射线,在直角坐标系下在极坐标系下极坐标系下的面积微元二、二重积分在极坐标下的计算则得故面积微元为这样二重积分在极坐标系下的表达式为二、二重积分在极坐标下的计算

直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式

如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算二重积分在极坐标系下的表达式为二、二重积分在极坐标下的计算要解决两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算二、二重积分在极坐标下的计算

极坐标系下化二重积分为二次积分(1)若极点O在区域D

之外则有

(2)极点O在区域D的边界线上则有xoxoDD（只研究先对r后对θ的积分次序）下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论型区域(3)若极点O在区域D的内部则有xoDo特殊地DD:x二、二重积分在极坐标下的计算或被积函数为f(x2+y2)、利用极坐标计算二重积分积分特征利用极坐标常能简化计算.如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，等形式，要点与步骤:用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算;(2)画区域图,列出型区域,写成极坐标下的二次积分.二、二重积分在极坐标下的计算极坐标下二重积分计算的基本步骤

(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.①将

代入被积函数,

②将区域D

的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.

将面积元素dxdy换为

.(2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.(3)计算二次积分.则解二、二重积分在极坐标下的计算例2

计算其中解故

注：由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.xyo在极坐标系下二、二重积分在极坐标下的计算xy例3解二、二重积分在极坐标下的计算例4

计算积分积分域是圆环，xyo解D：二、二重积分在极坐标下的计算P36713（3）

例5

计算二重积分

其中区域D为由x=0及

x2+y2=2y围成的第一象限内的区域.解D的边界曲线为x2+y2=2y，此时D可以表示为xyo其极坐标表达式二、二重积分在极坐标下的计算解故例6二、二重积分在极坐标下的计算例7解二、二重积分在极坐标下的计算利用区域的对称性和函数奇偶性计算二重积分二、二重积分在极坐标下的计算解二、二重积分在极坐标下的计算例7解二、二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标下的计算

当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，

一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，

选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.而被积函数中含有

项时,选择坐标系选择积分次序二重积分计算过程通常选择在直角坐标系下计算.下的计算方法往往比较简便.二重积分计算方法总结：化为累次积分计算累次积分二重积分可在两种坐标系下计算.采用极坐标系三、无界区域上的广义二重积分先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.例9

求广义积分(正态分布）基本解法：解因为被积函数为偶函数,例9

求广义积分所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。(正态分布）又因为被积函数的原函数不是初等函数,D令利用极坐标计算H，二、二重积分在极坐标下的计算令利用极坐标计算H，所以D正态分布二、无界区域上的广义二重积分基本解法：

先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.解

先考虑圆域二、无界区域上的广义二重积分二.二重积分在极坐标系中的计算一.二重积分在直角坐标系中计算小结选择坐标系选择积分次序化为累次积分计算累次积分第二节二重积分的计算作业：P36611（1），12（3），13（3）14

下次课内容第九章

二重积分习题课第十章微分方程三.广义二重积分基本解法

先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.1.二重积分在极坐标下的计算（在积分中注意使用对称性）小结2.广义二重积分基本解法：

先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.第二节二重积分的计算(二)解答思考题练习题练习题答案由区域的对称性和函数的奇偶性可得oxyD解例7二重积分在极坐标下的计算oxy11D解例8二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标系下