2018届数学二轮复习3个大题（17、18、19）保分练（一）-（三）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE17学必求其心得，业必贵于专精3个大题（17、18、19）保分练(一)（限时：35分钟满分：36分)17．已知数列{an｝的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.（1）求证:数列{an｝为等比数列;(2）设函数f(x）＝logeq\f（1,3)x，bn＝f(a1）＋f(a2）＋…＋f（an),求Tn＝eq\f(1,b1）＋eq\f(1,b2)＋eq\f（1,b3)＋…＋eq\f（1，bn)。解：(1)证明:∵数列｛an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得a1＝eq\f(1，3).n≥2时，an－1＝1－2Sn－1,可得an－an－1＝－2an。∴an＝eq\f(1,3）an－1.∴数列{an｝是首项和公比均为eq\f(1，3)的等比数列．(2）由（1)可知an＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3））)n，则f（an)＝logeq\f（1，3)an＝n.∴bn＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1，2）。∴eq\f（1,bn)＝2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，n)－\f（1，n＋1）））。∴Tn＝eq\f（1,b1）＋eq\f（1,b2)＋eq\f(1,b3)＋…＋eq\f(1,bn）＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2））)＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)－\f(1，3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，n）－\f（1，n＋1)））)）＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，n＋1)))＝eq\f（2n,n＋1).18.如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形,AD＝DE＝2AB＝2,F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2）求A到平面BCE的距离．解：（1）证明:取CE的中点G，连接FG，BG。∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE。∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB，又AB＝eq\f(1，2)DE,∴GF＝AB。∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG。∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE,∴AF∥平面BCE.（2)设A到平面BCE的距离为h.过C作CH⊥AD，交AD于H，连接AE，易知CH⊥平面ABE。∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AF，又AF⊥CD，DE∩CD＝D，∴AF⊥平面CDE，∴BG⊥平面CDE，∴BG⊥CE，又G为CE的中点，∴在△BCE中，BC＝BE＝eq\r(5)，CE＝2eq\r（2），∴S△BCE＝eq\f(1,2）×2eq\r(2）×eq\r（3）＝eq\r(6），又CH＝eq\r(3），S△ABE＝eq\f(1,2）×1×2＝1，∴VA­BCE＝VC。ABE,即eq\f（1,3）h·S△BCE＝eq\f(1,3）CH·S△ABE，∴h＝eq\f（\r（2）,2）,即点A到平面BCE的距离为eq\f（\r(2)，2)。19．（2017·成都第一次诊断性检测）某省2017年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等;分数在［70，85）内,记为B等；分数在［60,70)内，记为C等；60分以下,记为D等．同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在［50,100］内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照［50，60),［60，70)，[70，80),［80，90)，［90,100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示,乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．(1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．解：(1）由题意,可知10x＋0。012×10＋0.056×10＋0。018×10＋0。010×10＝1，解得x＝0。004，∴甲学校的合格率为(1－10×0。004)×100％＝0.96×100%＝96％。而乙学校的合格率为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（2，50）))×100％＝0。96×100％＝96%。∴甲、乙两校的合格率均为96％.(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C，D的6名学生分别记为C1,C2,C3，C4,D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有｛C1，C2},{C1，C3}，｛C1，C4}，｛C1，D1}，｛C1，D2}，｛C2，C3｝，{C2，C4}，｛C2，D1｝，｛C2,D2｝，｛C3，C4｝，｛C3，D1}，{C3，D2｝，｛C4,D1｝，{C4，D2}，{D1,D2｝,共15个基本事件．其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含｛C1，D1｝，｛C1，D2｝,{C2，D1｝，｛C2，D2｝，｛C3，D1},{C3，D2}，｛C4，D1},{C4，D2｝，{D1，D2｝，共9个基本事件．∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率P＝eq\f（9,15)＝eq\f(3，5).3个大题（17、18、19)保分练(二)(限时：35分钟满分:36分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,a＋eq\f（1，a）＝4cosC，b＝1.(1）若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为eq\f（\r(3)，2），求a,c。解:(1)∵b＝1,∴a＋eq\f(1，a)＝4cosC＝4×eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f（2a2＋1－c2,a)，∴2c2＝a2又A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝eq\r(2)，a＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f（1，2)bcsinA＝eq\f(1,2）bc＝eq\f(1,2）×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2），2).（2）∵S△ABC＝eq\f（1,2)absinC＝eq\f（1,2)asinC＝eq\f（\r（3）,2)，∴sinC＝eq\f(\r（3）,a)，∵a＋eq\f（1,a）＝4cosC,sinC＝eq\f（\r（3），a），∴eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a））））)2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3)，a)))2＝1，化简得（a2－7)2＝0,∴a＝eq\r(7)，又∵a＋eq\f(1，a)＝4cosC,∴cosC＝eq\f（2\r(7），7）。由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝7＋1－2×eq\r(7）×1×eq\f(2\r(7)，7)＝4,从而c＝2.18．（2017·广州模拟）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况,随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195，210]内,则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．质量指标值频数(190，195］9（195,200]10(200，205]17(205，210]8(210,215］6表1：甲流水线样本的频数分布表图1:乙流水线样本的频率分布直方图（1）根据图1，估计乙流水线产品的该项质量指标值的中位数；(2）若将频率视为概率,某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0。15的前提下认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关"？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d），其中n＝a＋b＋c＋d。P（K2≥k0)0.150。100.050。0100.001k02.0722。7063.8416。63510.828解：（1）设乙流水线产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0。48＝（0.012＋0。032＋0.052)×5＜0.5＜（0。012＋0。032＋0.052＋0.076）×5＝0。86，所以0.48＋0。076×(x－205）＝0。5,解得x＝eq\f(3900,19)。(2)由甲、乙两条流水线各抽取50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为eq\f（15，50）＝eq\f(3,10），乙流水线生产的产品为不合格品的概率为（0。012＋0。028)×5＝eq\f(1，5）.所以某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5000×eq\f(3，10)＝1500，5000×eq\f(1，5）＝1000.(3）2×2列联表如下所示:甲流水线乙流水线总计合格品354075不合格品151025总计5050100则K2＝eq\f（100×35×10－40×152，50×50×75×25)＝eq\f(4，3）≈1。333，因为1.333＜2.072，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．19．（2018届高三·惠州调研)在正三棱柱ABC.A1B1C1中，点D为BC的中点．（1)求证：A1B∥平面AC1D；(2）若点E为AC1上的点，且满足eq\o(AE,\s\up7(→）)＝meq\o(EC1,\s\up7(→))，三棱锥E。ADC的体积与三棱柱ABC­A1B1C1的体积之比为1∶12,求实数m的值．解:（1）证明：连接A1C交AC1于点F，连接DF，则F为A1C因为D是BC的中点，所以在△A1BC中，A1B∥FD。A1B⊄平面AC1D，而FD⊂平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D。（2)因为eq\o(AE,\s\up7(→））＝meq\o（EC1,\s\up7（→）），所以AE＝mEC1.过点E作EM⊥AC于点M，则EM⊥平面ABC.设EM＝h，则eq\f（1,3)×eq\f（1,2）CD×AD×h＝eq\f(1，12）×eq\f(1,2)BC×AD×AA1,所以h＝eq\f（1,2)AA1，此时E为AC1的中点,故m＝1。3个大题(17、18、19)保分练(三）（限时：35分钟满分：36分）17．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3（1）求数列{an｝的通项公式;（2)设bn＝eq\f（n,a2n－1）,求数列{bn｝的前n项和Tn。解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1q5＝64,,a1q3＋a1q4＝6a1q2,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝2，,q＝2或q＝－3舍，）)所以an＝2n。（2)因为bn＝eq\f(n，a2n－1）＝eq\f（n,22n－1），所以Tn＝eq\f（1，2）＋eq\f(2，23)＋eq\f(3，25）＋eq\f（4，27)＋…＋eq\f（n,22n－1），eq\f（1，4)Tn＝eq\f（1，23）＋eq\f（2,25）＋eq\f（3,27）＋…＋eq\f（n－1,22n－1)＋eq\f(n,22n＋1),所以eq\f(3，4)Tn＝eq\f（1,2)＋eq\f（1,23）＋eq\f（1，25)＋eq\f（1，27）＋…＋eq\f(1,22n－1)－eq\f(n,22n＋1）＝eq\f(\f(1，2)\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,4n）)），1－\f(1,4))－eq\f（n,22n＋1）＝eq\f(2，3)－eq\f（4＋3n,3×22n＋1),故Tn＝eq\f（8,9)－eq\f（4＋3n,9×22n－1）。18．（2017·武汉调研）如图,在四棱锥S.ABCD中,AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2,CD＝SD＝1。（1)证明：SD⊥平面SAB;（2）求四棱锥S­ABCD的高．解：（1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE,DB,则四边形BCDE为矩形,∴DE＝CB＝2，∴AD＝BD＝eq\r（5）。∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2。又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2，∴∠DSA＝∠DSB＝90°,即SD⊥SA，SD⊥SB，又SA∩SB＝S,∴SD⊥平面SAB.(2）设四棱锥S.ABCD的高为h,则h也是三棱锥S.ABD的高．由(1）,知SD⊥平面SAB。由VS。ABD＝VD。SAB，得eq\f(1，3）S△ABD·h＝eq\f（1，3）S△SAB·SD，∴h＝eq\f(S△SAB·SD,S△ABD）。又S△ABD＝eq\f（1，2）AB·DE＝eq\f(1，2)×2×2＝2，S△SAB＝eq\f（\r(3)，4）AB2＝eq\f(\r（3）,4）×22＝eq\r（3），SD＝1，∴h＝eq\f（S△SAB·SD,S△ABD)＝eq\f(\r（3）×1，2)＝eq\f（\r(3）,2)。故四棱锥S。ABCD的高为eq\f（\r（3),2).19．（2017·云南模拟）某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试,按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般"统计，得到如下的2×2列联表：成绩优秀成绩一般总计对照班2090110翻转班4070110总计60160220(1)根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0。001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法"有关；(2)为了交流学习方法,从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样的方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽出3名交流学习方法，求至少抽到一名“对照班"学生的概率．附：K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d。P（K2≥k0）0。100