函数及其表示 课件

1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用.【考纲下载】第二知识块函数与导数第1讲函数及其表示1.映射：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，

对于集合

A中的

元素，在集合

B中都有

的元

素和它对应，那么，这样的对应（包括集合

A，B

，以及集合

A到集合

B的对应关系f）叫做

的映射，记作f:A→B。每一个

唯一集合A到B【思考】

映射与函数有什么区别？答案：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数(1)定义：设A，B是非空的数集，如果按某个确定对应关系f，

使对于集合

A中的

在集合

B中都

有

和它对应，称

f:A→B为从集合A

到集合B的一个函数.

叫做函数的定义域，

叫做函数的值域

(2)三要素：①

；②

；③

.

(3)表示方法：①

；②

；③

.任意一个数

定义域

对应关系

值域解析法

列表法

图象法x的取值范围

A唯一确定的数f（x）函数值的集合｛f(x)|x∈A｝【思考】

若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？试举例．答案：不一定．如函数y=x与y=x+1，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域都为R，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数．因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系．1.设

f:x→x2是集合

A到集合

B的映射，且

B中元素都有原象，如果

A={1,2}，则

A∩B等于(

)A．∅

B．{1}C．∅或{1,2} D．{1}或{1,2}解析：由题意知B＝{1,4}，∴A∩B＝{1}．答案：B2．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，如图所示，可能表示函数图象的是(

)

解析：选项A、B中，x取某些值时，y不存在与x对应的唯一的值，所以不是函数，从选项C中图象可以看出x取很多值都对应着两个不同的y值，所以不满足函数的定义．答案：D

3．设函数f(x)＝，则的值为(

)

解析：∵2>1，∴f(2)＝22＋2－2＝4，=

<1，

∴答案：A4．已知

＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：∵x≠0，∴令＝t，即x＝(t≠0)，

∴f(t)＝(t≠0)，故f(x)＝(x≠0)．答案：(x≠0)判断两个函数是否相同注意以下方面：1．定义域和对应法则都相同，则两个函数表示同一函数．2．定义域不同，则两个函数不表示同一函数．3．对应法则不同，则两个函数不表示同一函数．4．即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为定义域、值域不能唯一地确定函数的对应法则．5．两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关．

【例1】

试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝

，g(x)＝； (2)f(x)＝，g(x)＝x＋2； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1； (4)f(n)＝2n－1(n∈Z)，g(n)＝2n＋1(n∈Z)． 思维点拨：一看定义域，二看对应法则(即解析式)．解：(1)f(x)的定义域是{x|x≥0}，g(x)的定义域是{x|x≥0或

x≤－1}，f(x)与g(x)的定义域不同．

∴f(x)与g(x)不是同一函数．(2)f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．(3)f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、对应法则都相同，所以f(x)、g(t)表示同一函数．(4)f(n)、g(n)的对应法则不同，所以不是同一函数．解析：A项中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B项中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数定义域不同；C项中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，定义域不同；D项中，f(x)＝ ·(x＋1≥0且x－1≥0)．∴f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，∴定义域不同．答案：A变式1：下列各组函数中，表示同一函数的是(

) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝

，g(x)＝形如f{f[f(x)]}的分段函数求值，求解时应按从内到外的顺序，先求f(x)的值，设f(x)＝t，再求f(t)的值，以此类推，求f(x)时应按x的取值范围，寻找相应的解析式代入求值．【例2】

已知f(x)＝，求思维点拨：注意自变量的取值适合的范围．解：∵－≤－1，∴f＝－＋2＝，∴

＝2，∴f＝f(2)＝2.拓展2：若将本例的条件再加上“f(a)＝3”，求a的值． 解：当a≤－1，f(a)＝a＋2＝3，∴a＝1(舍去)； 当－1<a<2，f(a)＝4a＝3，∴a＝； 当a≥2，f(a)＝

＝3，∴a＝或－(舍去)． 故a＝或.求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消元法等，如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的范围；当已知表达式比较简单时，也可以用配方法；若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组，消元的方法求出解析式．【例3】

(1)已知f(x)是一次函数，且满足了3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17.不论x为何值都成立．∴

，解得a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(2)解法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f( ＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．变式3：(1)已知函数f(x)满足条件

f(x)＋2f

＝x，则f(x)＝________.解析：用代x得：

f

＋2f(x)＝. 联立方程组 解得f(x)＝. 答案：(2)(2010·山东模拟)若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(

)

A．－2 B．2 C．－

D.解析：f(4x)＝，依题意＝x，解得x＝.答案：D【方法规律】1．判断两个函数是否为相同的函数，抓住两点：

①定义域是否相同；②对应法则即解析式是否相同．2．用换元法解决问题时，应注意“新元”相应的取值范围．3．分段函数要注意每段自变量的取值范围及每段区间端点处的函数值.【高考真题】(2007·广东卷)如下图，客车从甲地以60km/h