学习性问题专题讲师版

学习性问题专题（浙江学生 授课日期教师 授长知识知识知识梳理1知识梳理.函数知识梳理.三角知识梳理.数列6平面向量与复数知识梳理.解析几何知识梳理8.立体几何.概率统计例题精x(xx※y=y(xy，若|m－1|※m=|m－1|，m【答案】m2#对应知识梳理（a,bcdPf1,2,3,4123410。设uvxyPfuvx,y39和fu,yxv66，则有序数组uvx,y【答案】【解析】uxyv【解析】uxyv

ux9,yv3x7,yv15 #对应知识梳理 #对应知识梳理23532252 下列一组不等式：24542352 22

225222【答案】amnbmnambnanbma,b0abmn#对应知识梳理 1(4x9【解析】设两数为x、y，即4x＋9y=60，又 1(134x9y)11312)54x9y 4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4#对应知识梳理1 量为f(x)

11为W1=1×f（a）1a2又如果用a单位量的 1次，残留

2a2

1

(a2

1(a2

2

1(a2

(4a2 a2(a2 1 (4a2 量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种 方式效果相同；当a<2 时，把a单位量的水一次，残留的量较少．#对应知识梳理【题目】fx的定义D，若满足：①fx在D内是单调函数；②存在a,ba(ba,fx在ab上的值域为abyfx是定义域为D的“成功函数”。gxloga2xta0,a1是定义域为R的“成功函数”，则的取值范围为a

B.

C.0,1

D.0,1 4 4 4 4

#对应知识梳理【题目】对函数f:0,10,1定义f1(x)f ,fn(x)f(fn1(x)),n1, .2x,0x11 f(x)xx0,1f的一个nf(x1 2

x f2 ，问f的n周期点的个数 #对应知识梳理y2x1，y x

，yxy2x1y

2yx

x2x

的交点坐标为（00（1，1）y 2

5，1 525

1，0（0，－1）IIIbf(a)，afa＝byx若a<b且f(x)是增函数时，有f(b)f(a)，从而有b<a，；若b<a且f(x)f(a)f(ba<bfxf(b)f(aa<bfxfx的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线yx上；fxfx#对应知识梳理 fxa2x1x3,x2,2,a为正常数2

ab（当且仅当ab时取等号2若fx 在0,2上恒成立，且函数fx的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测yfx的单调性（无需证明）对满足（2）a，设xx1时，fxDxx2,且x4k2kN上的gx，使x2,2时，gx当xD时，gx取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列

f 【解析】（1）若a、b、cRabc 3

33（当且仅当abc时取等号（2）fxa2x1x321x20在0,2上恒成立，即a21x2在x ∵1x20,2，∴a22，即a 233 2 12 12

x2a2 x2a2 x2 2a2fxxa2x

2x

3x2a21x2x2

6639

3 63

f

26a31a39

2 22

a 62x

636

6 综上，得a 6fx是奇函数x

3

6366 6 6故猜测：x2, a

a,2fx单调递减；x

663a3af66

x4k2,4k2kN，x4k2,2，此gxgx4kfx4k，即gxa2x4k1x4k3x4k2,4k2kN2#对应知识梳理y2x1，y

x

，yxy2x1与其反函数y 2 y 与其反函数yx21，(x0)的交点坐标为（1 5

1515 0（（III证明：设点（a，b）fx的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与且有bf(a)，af(b)a＝byx上若a<b且f(x)是增函数时，有f(b)f(a)，从而有b<a，；若b<a且f(x)f(a)f(byxfxfx的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上#对应知识梳理b,a

数f(x)sinxcosx的值域 2【答案】 22#对应知识梳理1 f(x) g(x) (a, (,【题目】定义：关于的两个不等 和ba则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x243xcos222x24xsin210为对偶不等式，且(0,)，则

与不等式 【答案】 #对应知识梳理g(xTf(x是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设f(x)单调递增，f(0)0,f(T)4.验证h(xxsinx是以63设ab，证明对任意cf(a),f(bx0[a,bf(x0cu0为方程cosf(x)在[0,T上的解”的充要条件是“u0+Tcosf(x)在[T2T上的解”，并证明x[0,T都有f(xTf(xf(T#对应知识梳理【解析】(Ⅰ)11.221111.221124 设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1q＝2q＝1时，A≠0，∴SmSm＋2Sm＋1不成等差数列.#对应知识梳理 的各数A口，从B口得到输出的数列an，结果表明：①从A口输入n1时，1B口得a ；②当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果a是将前一结果 先 以自然数列n中的第n1个奇数，再除以自然数列an中的n1个奇数。A23时，从B1

【解析（1）a2a115 a3a237（2）先用累乖法得

(nN*)(2n1)(2n1) 得 (21001)(2100 #对应知识梳理已知a,aRaa1，求证a2a21 f(x)xa1)2xaf(x)2x22(aa)xa2a22x22xa2a因为对一切

48(a21 Rf(x≥0从而得a2a21

a) 若a1,a2anRa1a2an1【解析】（1）若a1a2anRa1a2an1，a2a2a21 (nx22(aaa)xa2a2 nx22xa2a2 xRf(x≥044n(a2a2a2 a2a2a21 #对应知识梳理【题目】已知数列a1a2a30，其中a1a2a10是首项为1，公差为1a10a11a20是公差为da20a21a30是公差为d2的等差数列（d0（1）若a2040，求d试写出a30关于d的关系式，并求a30续写已知数列，使得a30a31a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能 a201010d40,d（2）a30a2010d2101dd2(d0) 1 34a3010d 42当d

0)(

a307.5,所给数列可推广为无穷数列an，其中a1a2a1011的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n1,a10n1是公差为dn的等差数列.a10n1关于d的关系式，并求a10n1的取值范围 研究的结论可以是：由 10d3101dd2d3

1dn1 101 10d

d当d0a10(n1的取值范围为(10,等#对应知识梳理设数列{an是公方差为p的等方差数列，求anan1(n2，nN的关系式若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列设数列{an是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a1，a2，a3a10这种顺 证法一：∵{an是等差数列，设公差为d，则anan1an1an又{aa2a2a2 ∴(anan1)(anan1)(an1an)(an1即d(a a)2d2 证法二：∵{an是等差数列，设公差为d，则anan1d1又{a是等方差数列，设公方差为p，则a2a2p2 12d22danp0……3 p0……4两式相减得：即2d(a )2d20 d0，即{an是常数12由1、2得出：若d0，则{an是常数 若d0，则an2 ∴d0 {an}是常数

aa

∴an

2n2，或an2n2即该的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两确定方法，当每个数确定下来时，就确定了，即确定的方法数是29512种，故，这种共512种．#对应知识梳理an，规定anananan1an(nN对自然数 ，规定ka为an的 阶差分数列，其nk

k1an1

(k1an已知数列an的通项公式an2n(nN，试判断an，2a 若数列an首项a11，且满足2an

an2n(nN，求数列an对（2）中数列a，是否存在等差数列b，使得bC1bC2bCn 1 2 n 对一切自然nN都成立？若存在，求数列bn的通项公式；若不存在，则请说明理由【解（1）anan1ann12n1n2n2n2an是首2an2n122n2n2a是首2，公差为0的等差数列；也是首2，公比为1的等比n（2）2a a2n，即 a a2n， an

2n，∴an12ana11a24221a12322a32423，猜想： ann证明：ⅰ）当n1a11120；ⅱ）假设nkakk2k1nk1时，ak12ak∴由ⅰ、ⅱ）ann

k2k2kk12k11（3）bC1bC2bCna，即bC1bC2bCnn1 2 n 1 2 n∵1C12C23C3nCn C2Cn1n ∴存在等差数列b，bn，使得bC1bC2bCna nN#对应知识梳理

1 2 n 【题目】对于任x，符号xx的整数部分x]是不超x的最大整数实数R（箭头向右）x]是在x左侧的第一个整数点，当x是整数时x]就x。这个函x]叫做“取整它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么[log21]log22]log23]log24]log21024]=（#对应知识梳理 项的数列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和” #对应知识梳理【题目】N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交后继的数。例如集合{1,2,4,6,99–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和5当集Nn=2时N={12}的所有非空子集为{1}{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 【答案】n#对应知识梳理nni(nN).记

n①若an2n1②若Tnn2(nN),则a n

n1,

1;n2,

(nn#对应知识梳理【题目】已知两个向量a(1log2x,log2x)，b(log2x, (x0)4

【解析】（1）由已知得log22x2log2xlog2x0或log2xx1x4（2）f(x)log22x(1t)log21 (1t) ②当log2x 即x22时，f(x)取得最小值 （写出值域为 可

③单调性：在(0,22]上递减，[22,)上递增；由对称性，在 2,0)上递增，

2

]#对应知识梳理

badbc，若复数x2i，y 3xi，则y 3 1ix#对应知识梳理 【题目】已知(1i)20101

i

3

i ikC2010（其中 (1)kC2k1 C2009 【答案】#对应知识梳理长度相同）P的斜坐标定义为：若OPxe1ye2（e1、e2分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R）P的斜坐标（xy）xoy中，若xoy60M(1,2到原点O的距离 #对应知识梳理 x、yxy1b2x2

1 （1）方程 1 0表示的曲线经过一点

2224

yb

23 11b0b23 y2

1b0

b2b2 y2

4 b2 x22y41

2y

y 4

4by4 2bb时，即b4时24

22ymax2bb2b2 b时，即0b4时4

2y

4 x2y

如再加条件xy0就可使x、y

221x，x #对应知识梳理【题目】如图：为保护河上古桥OABC，同时设立一个圆形保护区，规4， 3.4BCkBC=－tan∠BCO=－33 4设点B的坐标为(a,b)kBC=b04,kABb603.

a a 1504(x170)，即4x3y680(0d)OAM上任意一点的距离均不少于80m,6803dd≥

3|d03 dr

即

680 解得10d (60d)≥ 680故当d=10时,r 5解法二:(1)如图，延长OA,CBF.43

3

850,AFOFOA500 4 5==3径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).

680 ,所以r OF

3rd≥

6803dd≥ 解得10≤d (60d)≥ d=10时r6803d最大，即圆面积最大5#对应知识梳理①△ABC周长为C1：y2②△ABC面积为C2①△ABC周长为C1：y2②△ABC面积为C2：x2y24(y③△ABC中x2y2 C3： 1( 则满足条件①、②、③的轨迹方程分别 （用代号C1C2、C3填入【答案】#对应知识梳理x y 。 。类似地，对于双曲 x 类似地，对于双曲 a b21KAMKBM#对应知识梳理aaaaa aa SAABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D 63证明：SAABSAADAB、ADABCD内的交线SAF则 FGADCD，CDSAD，CDSA=AD,F是中点，AFAFSCD,EGSCD,面SEC所以二面角E-SC-D90DHSC SECSCD,DH6DH之长即为点DSEC的距离，126在RtSCD中，DHSDDC 2aa 答：点DSEC的距离为63#对应知识梳理为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,使P，Q，R，S四点重合，则需要 几何体，可以拼成一个棱长为12的正方体。#对应知识梳理【题目】从装有n1个球（n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球 CmC1Cm1C2Cm2 CkCmk 。(1kmnk 【答案】m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等k1类，故有Cm#对应知识梳理【题目】一个三位数abc称为“凹数如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不 #对应知识梳理 1【选项】8

B．

C．

8#对应知识梳理2 5 3f(x)x2，f(x)x3，f(x)sinx，f(x)cosx，f(2 5 3的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．5

的分布列为下表。数学期望41234P1234P123314【解析】（1）f(xxf(xx3f(x)sinx C2 3C2 （2） C1 P(1) 3 P(2) 33 C1 C1C1 1C1 P(3) 323 P(4) 3213 C1C1 C1C1C1 12341234P12331 10123123341724#对应知识梳理

4习题演过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：①f(x)=sinx；②f(x)=π(x－1)2+3；③f(x)(1)x3

④f(x)log06x 【题目】已知a,b是实数，函数f(x)x3ax,g(x)x2 f(x)和g(x)f(xg(xf(x)g(x)0If(xg(x)在区间I上设a0f(xg(x)在区间[1,上单调性一致,求实数ba0,abf(xg(x在以ab|ab|3f(x)3x2a,g(x)2xf(x)g(x)0在[1,上恒成立，因为a0，故3x2a0，进而2xb0，即b2x在区间[1,)上恒成立，所以b2因此b的取值范围是[2,3令f(x)0,解得x ,若b0,由a0得0(a,3f(0)g(0)ab0,f(xg(x在(ab上不是单调性一致的．因此b0,现设b0.当x(,0)时,g(x)0；当x a)时,f(x)3因此，当x a)时,f(x)g(x)3333故由题设得a 且b ,从而 a0,于是 b3 因此|ab

1且当a3

1b0时等号成立3又当a1b0时,f(x)g(x)6x(x2 x1,0)时,f(x)g(x)0,f(xg(x在(1,0)上单调性一致 因此|ab|13入正整数m,n时，输出结果记为f(m,n)，且计算装置运算原理如下：Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。（1）f(m,1)的表达式(mN；（2）f(mn的表达式(mnN若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数nf(nn2005？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。【解析】（1）fm,13fm1,132fm2,13m1f1,1fm,nfm,n13fm,n232fm,13n13m13n（3）fn,n3n13n ，∵f7,736187472005f8,837212208f(nn输出结果不可能为2005Pyxc25c6在0,cQ为PQ的不等式。（2）xx1x2x30答案不唯一合理即可【解析】（1）yxc25c60,上是增函数，∴c25c60，即P,2又不等式

x1x2c

对任意xR恒成立，∴

2c11，即Q,0∴PQ,01,23, （2）PQ的不等式可以是xx1x2x30【题目】已知二fxx2axaxR同时满足：①不等fx0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0x1x2，使得不等式fx1fx2成立。设数列an的前nSnf求数列an的通项公式试构造一个数列bn，（写出bn的一个通项公式）满足：对任意的正整数nbn

，且limn

n设各项均不为零的数列cn中，所有满足cici10的正整数ic的变号数。令c1a（n为正整数，求数列c的变号a an （2）

2【解析（1）fx0a24a0a0或a4a0fxx2在0,上递增，故不存在0x1x2fx1fx2成立当a4fxx24x4在0,2上递减，故存在0x1x2fx1fx2成立n综上，得a4fxx24x4Sn24n4n要使limn

2，可构造数列

nk，∵对任意的正整数n都有

an∴当n2时，nk2n5恒成立，即n5k恒成立，即5k2k3又bn0，∴kN*，∴bn 解法一：由题设

3,n 12n5,n ∵n3时，cn1cn

2n 2n 2n52ncn∵

10，由13

2n

0n5，可知a4

只有1个变号c13,c25,c33，即c1c20,c2c30，∴此处变号数有2综上得数列cn共有3个变号数，即变号数为33,n解法二：由题设n

c 02n92n703n57n9n2或n4 2n52n c13,c25n1时也有c1c20。综上得数列cn共有3个变号数，即变号数为3。当ababa；当ababb2则函数f(x)(1x)·x(2x)x2，2的最大值等于 “”和“－”仍为通常的乘法和减法【选项】A. B. C. D.【题目】在公差为d(d0)的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则数列S10