人口增长预测(12,8,5)

裴丽芳中国人口增长预测A题：中国人口增长预测

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附录1《国家人口发展战略研究报告》

附录2人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明1-1中国人口现状概览人口基数大人口老龄化性别比例失衡城镇化问题数学建模解决实际问题对现状进行分析研究12人口预测和人口策略所掌握的数据资料2001~2005年的人口总数（参考中国统计年鉴2006）各年人口市、镇、乡比例各年人口年龄比例及性别比例各年的育龄妇女年龄别生育率各年的人口出生性别比数学建模的任务即在此基础上分析我国人口现状，预测未来的人口发展趋势以及研究人口计划的措施。模型分析

人口模型是一个永恒的话题。目前，对近期的预测已可达到相当的精度，但对作出较精确的中长期的预测还难以实现。由于人口增长的机理还是比较清楚的，而且本题要求作出较长期的预测，因此可选择确定性系统的数学模型，建立一个描述随时间演化过程的微分方程或差分方程，有些同学采用灰色系统模型，或一些统计模型，这对确定参数及人口的近期预测是比较有效的，但难以对人口中长期的变化作出预测。经典人口模型1、指数增长模型（P9）2、阻滞增长（Logistic）模型(P11)3、偏微分方程模型(P162)4、Leslie迭代矩阵模型(P216)(姜启源，《数学模型》)数据分析模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化人口的自然增长率＝出生率－死亡率；出生率＝育龄妇女的生育率×育龄妇女在总人口中所占的比例城乡差异（城，镇，乡三级；或者城镇，乡两级）男女性别差异城镇化老龄化，不同年龄段生育率不同（体现年龄差异）偏微分方程模型：

含年龄结构，连续模型，（求解时需离散化）

Leslie迭代矩阵模型：以年龄移算为基础的离散建模在一定的程度上可以反映人口结构的变化并且预测结果比较精确均忽略：城乡差异，性别差异，人口迁移（城镇化），可将此类因素综合考虑在新的模型内。

模型建立优秀论文选讲梁腾飞黄文超张程硕（郑州大学，获全国一等奖）中国人口预测及综合评估模型【摘要】改进的Leslie矩阵模型，差分方程建模，灰色系统模型GM（1，1）预测参数，Logistic模型对城市化函数进行预测，Weibull分布确定了妇女的生育模式函数，推算得在2015年末，我国总人口将达到13.30亿，城市化率达到53.8%左右的水平。【关键词】：Leslie矩阵预测模型灰色GM(1,1)模型Logistic模型生育模式函数Weibull分布1.问题重述2.问题分析从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。

人口模型是研究较多的数学模型之一，其理论也非常丰富,从指数增长（马尔萨斯）模型到Logistic阻滞增长模型（连续偏微分方程），著名Leslie矩阵人口离散模型都可以对人口的发展趋势进行预测。但由中国独特国情决定(老龄化进程加速、出生人口性别比持续偏高，以及乡村人口城镇化等)，经分析以上几种模型都不能充分合理地反应现阶段中国人口的发展趋势。考虑到Leslie矩阵人口模型是以年龄移算为基础的离散建模，在一定的程度上可以反映人口结构的变化并且预测结果比较精确。但由于Leslie模型忽略了性别差异，在我国国情环境下偏差较大，考虑对Leslie模型进行改进，考虑男女性生育及迁移的交叉性，建立多转移矩阵离散模型，则可将此类因素综合考虑在内。

考虑到Leslie矩阵人口模型是以年龄移算为基础的离散建模，在一定的程度上可以反映人口结构的变化并且预测结果比较精确。但由于Leslie模型忽略了性别差异，在我国国情环境下偏差较大，考虑对Leslie模型进行改进，考虑男女性生育及迁移的交叉性，建立多转移矩阵离散模型，则可将此类因素综合考虑在内。

3-1基本假设（1）假设所有妇女均正常婚配，均在育龄生育，不考虑多胎；（2）假设所有人口都是自然死亡，不考虑其余因素（自然灾害、战争、事故等）；（3）假设在短期内，城乡各年龄男女的自然死亡率相对稳定；（4）不考虑地区、民族政策等额外因素带来的影响；（5）认为所有的出生、死亡都在每年年初进行；（6）只考虑0~90岁的人口状况，90岁的人一年后自然死亡；（7）假设国家对人口的宏观调控是有效的；（8）不考虑国际人口迁移；（9）假设所给数据真实可信。（个别异常数据酌情处理）3-2符号说明k 年份i 人口年龄i0,i1 育龄妇女的育期起止年龄（15-49）P

人口d 死亡率 s=1-d 存活率b 年龄别生育率=总生育数÷该年龄段妇女总数B0 总和生育率r 性别比（r0

人口出生性别比=活女婴÷总）

g 净人口迁移数，迁入为正M 城镇化率3-2符号说明**例如：

P(k)为k年总人口，P(i,k)为k年i龄总人口，Pm(k)为k年男性总人口，Pmc(i,k)为k年i龄的城市男性人口。 下标m代表男性，f代表女性，c代表城市，t代表城镇，v代表农村 其余符号系统采取同样的格式。●m,f 性别标识符，作后缀，m-男性，f-女●c,t,v 城乡标识符，c-城市，t-城镇，v-乡村；建模前的准备人口基数（数据）

数表中，可查得各年中国人口1%调查数据，量少，只用求比例，引用中国统计年鉴网[1]上面发布2001~2005全国人口总数，推算各年的市、镇、乡男女人口基数人口基数Leslie矩阵预测模型人口的年际变迁符合如下年龄移算差分方程组：

(1)-第k+1年0岁人口=∑总人口×妇女比例×出生率(2)-第k+1年i岁人口=第k年i-1岁存活Leslie矩阵模型：P(k+1)=LP(k)不能体现城乡差异城乡的迁移现象无法用此模型得到一个完整的描述。只适用于所有人口混合考虑的年际变化；对于人口性别比例的因素无法研究；（不体现性别差异）

因此，为了适应与我国国情，能够细致地考虑到各种因素的影响，必须对Leslie模型进行改进。Leslie矩阵模型的局限性

将城，镇，乡分开讨论：以城市人口为例，人口的年际变迁符合如下年龄移算差分方程组：(1)-第k+1年0岁城市人口=∑总人口×妇女比例×出生率+迁入的0岁人口(2)-第k+1年i岁人口=第k年i-1岁存活+迁入5改进的模型Leslie矩阵模型：Pc(k+1)=APc(k)+gc5改进的模型现将男女人口分开讨论，模型更正如下：对女性人口：Pf(k+1)=APf(k)+rfg(A为转移矩阵)

即：假设迁移人口的性别比与目标地的性别比相当，而且出生的女婴数=生育数×人口出生性别比，其余沿用原模型的假设。对男性人口：Pm(k+1)=B1Pm(k)+B2Pf(k)+(1-rf)g

即：第k+1年的男婴数由第k年的女性人数Pf(k)确定，其余年龄的均由第k年的男性人数Pm(k)确定。因此，只要系数确定，则可由前一年的人口状况预测下一年的情况。(存活率（死亡率），年龄别生育率，出生人口性别比，迁入（出）人口四组参数)改进的Leslie矩阵预测模型建立的关键是存活率（死亡率），年龄别生育率，出生人口性别比，迁入（出）人口四组参数的确立，其精度直接影响人口模型的好坏参数确定根据已有数据来确定参数:从实际数据出发，基于一定的机理，通过一定的拟合方式来确定参数拟合方式：曲线拟合，最小二乘，回归分析，神经网络，灰色GM（1,1），支持向量机等；一些重要参数的拟合函数还可在文献中查到对于中短期模型，死亡率，年龄别生育率都认为是五年来的平均，这是可以由概率理论保证的。由于出生人口性别比的波动性和影响其因素的复杂，其内部机理难以分析。因此对短期的出生人口性别比的估计，可用灰色GM(1,1)模型预测。迁入（出）人口可以由城镇化率间接得到，通过近年来中国城镇化的发展趋势和国家城镇化部署结合事物的普遍发展规律建立了城镇化Logistic模型，且有很好的拟合优度。这样既可对中短期的模型进行matlab求解。 而对于长期模型，固定的参数不可能长期生效，而应该根据人口现状积极进行有利的调整。因此可以对参数进行函数化，令政策的影响体现在参数中，根据长期的预测的结果来评估政策的效果，这是长期政策的方向与作用短期模型参数的确定存活率（死亡率）的估计：经过观察，发现5年间各类人口的死亡率相对固定，认为短期内死亡率不变，均为5年的均值：存活率（死亡率）的估计 假设短期内国家医疗水平不变化，2001-2005年存活率参数应该有一个相对稳定的值。自然死亡X是一个随机事件，可以看作是概率为d(i)的两点分布(假设死亡为1，存活为0)，d(i)的极大似然估计即是某年i龄人群死亡人数的样本均值，实际统计数据即是据此得到的。根据中心极限定理[3]P206，可证明此样本的均值服从均值为m

，方差为的正态分布。则在方差未知的条件下，n年内各年死亡率的均值则服从自由度为n-1的t分布[3]P276。可以认为统计样本足够大，那么可以用死亡率5年的均值的估计d(i)值（方差暂不考虑）作为短期内各年龄死亡率的估计值：

年龄别生育率的估计

同样的原因，取5年的年龄别生育率之均值作为实际年龄别生育率的估计，并假设短期不变。出生人口性别比的估计

数据给出了1994年到2005年的出生人口性别比，但数据呈现较大的随机波动，其内部机理难以分析，因此采用灰色GM(1,1)模型预测：灰色GM(1,1)模型预测步骤：先对数据进行累加：相应的白化微分方程为：引入记号：用最小二乘法求解：5.则其时间响应序列为：6.还原值（预测值）为：GM（1，1）模型同时，在预测一个新的数据的时候舍弃掉最旧的数据，利用Matlab求解，得到如下结果：求解与分析 用此模型计算1995~2005年的城市出生男女比，并与实际数据作误差检验，最大相对误差为2001年的2.37%（详细的误差检验表见附表3），并计算模拟数据与实际数据的绝对关联度=0.9931，符合二级精度等级检验，发展系数a=-0.0026，a<0.3，则1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，模型可以用于中短期预测。GM（1，1）模型的有效性

城镇迁移人口的确定据了解，我国人口城镇化正处于高速发展的阶段，每年有大量的农村人口迁移到城镇。从发达国家的发展历程，可以发现其内在规律：国家的城镇化一般从低水平慢速发展，在一定条件下经历一个高速发展的阶段后逐渐减缓，最终达到一个相对稳定的水平。用来描述这个S形的发展趋势，Logistic模型应当是合适的，下面即用Logistic曲线建立模型：城镇化的Logistic模型据文献了解，在2010年前后，中国城镇化水平将接近45%，2020年超过50%，2050年将达到70%左右，初步完成中国城镇化战略。并且发达国家的城镇化水平一般为75%左右。可以由此确定Logistic模型的参数：其中，M(t)为t年的城镇化率，m0为2010年的城镇化率m0=

M(t0)=0.45，k0为中国城镇化的理想极限值，参照发达国家的城镇化水平，取k0=0.75。于是得到：如图示，我国现正处城镇化高速发展阶段，作为短期预测，取该段的线性化函数作为近似：并且，认为转到市的人口与转到镇的人口比例为3:7，男女均等。短期模型的求解取2005年的人口数据作为初值，和上面求得的参数代入改进Leslie矩阵模型，利用Matlab求解，可以得到2006~2015年的中国人口状况短期预测值：表4人口概况预测（单位：百万）：人口年龄结构预测1、平均年龄R(k)：

2、平均寿命L(k)：一个婴儿存活时间的期望3、老龄化指数n(k)：平均年龄与平均寿命的比值，比值越大说明老龄化越严重先给出几个重要指标的定义4、抚养比：非劳动年龄（15-64岁）人口数与劳动年龄人口数之比，表明平均每个人平均扶养的人数求得各项参数的结果：表52006∽2015年我国人口年龄结构预测表62006∽2015年我国人口城市化结构预测图62006-2015我国人口预测概况短期预测结果的分析与说明1人口基数： 10年之内，全国总人口仍然持续增长，但增幅有所减缓。结果表明，前一阶段的计划生育是有成效的。2城镇化： 未来10年内，市、镇、乡人口由于城乡迁移的原因，农村人口变化与总人口发展趋势有所不同，总的来说，市、镇人口高速增长，而乡村人口则反而减少。全国人口城镇化速度非常快，大量的农村人口涌入城镇，对于这一现象必须两面考虑，城镇化是国家发展程度的指标，但最终决定于生产力。作为国家，除了推动镇化进程外，更应当理智的分析当前经济格局，农村是否有足够的生产力保障农业；城镇是否有足够的能力容纳大量的农村人口；如何采取宏观调控使得迁移人口取得一个合适的平衡值，这些都值得深思。短期预测结果的分析与说明3年龄比率： 10年内我国老龄化程度日益加重，但其影响在短期内不明显，按常理分析，老龄化问题凸显的时候，应该是实行计划生育后一个生育周期(约为24年)之后才会出现；4性别比率： 对于现有人口整体性别比例来说，但由于生理特征，高年龄段女性死亡率比男性低，女性比例会较大。低年龄段男性却明显偏多。 而对于出生的性别比，波动较大，但基本呈上升趋势，这是一个不好的趋势，会破坏人口婚配平衡，从而影响到社会稳定等，国家对此现象的控制只能从政策上保证男女平等，并从科学上克服生理不平衡，才能解决问题。模型的长期预测模型参数的改进（死亡率，年龄别生育率，出生人口性别比，人口迁移）1、死亡率仍然假设其死亡率不变，现有的死亡率仍然被沿用在长期模型中（由于医疗水平在一定时期内难有提高，而且效果也难以明确）2、生育率由图3的生育率曲线可以看出，女性的生育模式具有很强的规律性，并且在不同的条件下呈现出变化；观察生育率曲线，可以定义一个特定的生育模式函数，函数的各个系数有明显的意义，不同的政策可以体现在这个生育模式函数中。经过相关文献[7]的提示以及对曲线的实际观察，认为引入Weibull分布描述比较合适。2、生育率

引入Weibull分布函数来描述育龄妇女的年龄别生育率，即生育模式函数B(i)：B0为总和生育率，影响生育模式函数的幅度；a和b为Weibull分布的参数，决定生育模式函数的形状，i0为最低生育年龄。生育模式函数的形状固定，a和b的参数也固定，以城镇为例，可以通过拟合得出：a=0.0001791， b=3.482最后得到的生育模式函数由两个可变参量i0和B0决定，其中i0为强制晚婚年龄，B0为总和生育率。因此只需要关于此两个参量的政策决定，即可求得实际的年龄别生育率。这样一来，所采取的人口政策即可以反映到模型中，在此基础上进行预测，可以预测政策的实际效应并进行分析讨论。在短期预测中，采用了Logistic曲线的局部线性化函数，而在长期预测中，实际的变化应该由整个Logistic曲线确定，即：3、城镇迁移：4、人口出