信号与系统第5章连续的域分析

第五章连续系统的s变一、 变换 变二、收敛三、(单边 变三、系统的s四、电路的s第五章连续系统的s有些重要信号不存 变换，如对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在 域来解决这些问本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本 变一、 变 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的 Fb(+j)=ℱ[f(t)e-

f(t)etejtdt

f(t)e(j)td相应 逆变换- F(j)ejtf(t)

2 bf(t)b

F(j)e(j)t

令sj,d=ds/jFb(s)

双边拉普拉斯变换f(t双边拉普拉斯变换f(t) jF(s)estd 二、收敛变例1因果信号f1(t)=et(t)，求 变换

e(s

[1lime()tejtF1b(s)

et

std

(s)

(s

Re[s]s

收敛边

σ收敛变例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求 变换解F2b(s)

0etestdt

e(s

[1lime()tejt(s

(s

t Re[s]. 不 (s

变例3双边信号求 变换etf3(t)f1(t)f2(t)

t求 变换

t解其双 变换<Re[s]<的一个带

变例4求下列信号的双边拉f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(– f(t)

(s)

Re[s]=>– s sf(t)

(s)

Re[s]=<– s sf(t)

(s)

s s

–3<<–F(s)

f(t)estd称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定Re[s]>，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换三、单边拉F

f(t)estd

简记为f(t)=£-def

f(t)

2

F(s)eds(t)

f(t)←→变四、常见函数 变1、(t)1，2、(t)或11/s，

>-Re[ss s0cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→s0

sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j

0s204、周期信号TFT(s)T

f(t)estdT f(t)estdtT

f(t)estdt.....

f(t)estd

T1T1

令tt

eT0T

fT(t)estdt

fT(t)estd

1特例：T(t)1/(1e-变五、单边拉氏变换 变换的关 stF(s) f(t) d F(j)

f(t)ejtd要讨论其关系，f(t)必须为因果信号根据收敛坐标0的值可分为以下三种情 F(j)=F(s)s=j如f(t)=e-2t(t)F(s)=1/(s+2),>-F(j)=1/(变（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴F(j)limF(s)如f(t)=F(j)

0

0

0

=()+（3）0>0，F(j)不存例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2； 换不存一、线性若 Re[s]>1, 则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)f(t)(t)(t)←→11/s二、尺度若f(t)F(sRe[s]>0，且有实数a>0则f(at) 1F(s

拉普拉斯变换性s例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=es

sesy(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×28e

s1012t

(1e2s

2se2s 2s

(1e2s

2se2s

三、时移（延时）若f(t)>F(s)Re[s]>0且有实常数t0>0101t与101t t0

s

e F a例1:求如图信号的单边拉氏变101解：f1(t)(t)(t-1)，f2(t101F(s)=1(1es F2(s)= 拉普拉斯变换性101t例2:已知f101t求f2(tf2(t)f1(0.5t)f10.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-

f2(t)←→2F1(2s)(1–e-

-例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(tF(s)=?四、复频移（s域平移）特若f(t)←→F(s)Re[s]>0且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a例1:已知因果信号f(t)的象函数求e-tf(3t-2)的象函

s2

s(s1)2

2(e例2:f(t)=cos(2t–π/4F(s2解cos(2t–π/4=cos(2t)cos(π/4sin(2t)sin2F(s)

s22s2 22

s2

s2五、时域的微分特性（微分定理若f(t)F(s则f’(t)sF(sf(0-f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-f(n)(t)←→snF(s) sn1mf(m)(0若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→例1:(n)(t)例

d[cos2t(t)]d

例

d[cos2t]?dt六、时域积分特性（积分定理若f(t)F(sRe[s]>0

f(x)dx

1F tf(1)(t)t

f(x)dxs1F(s)s1f(1)(0例1:

t(x)dxt0 2 t

(x)dx

0x(x)dx

t(t)3 32例2:已知因果信号f(t)如图,求2解：对f(t)求导得f’(t)tf'(x)dxf(t)f(0t

102102由于f(t)为因果信ttf(t)

f'(x)d

(-f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→FF

1(1e2s)e2ssF(s) s

结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→f(t)七、卷积时域卷积定若因果函数f1(t)←→F1(s), f2(t)←→F2(s),则f1(t)*f2(t)复频域（s域）卷积定cf(t)f(t) F()F(sc 例1：tε(t例2：已知

2s

(t)*

(t2n)

(t拉普拉斯变换性质八、s域微分若f(t)F(sRe[s]>0(t)f(t)

ds

f(t)

dnF(s)dsnft

F例1：t2e-2t(t)e-2t(t)←→t2e-2t(t) d2 ) ds s (s例

sint(t)t1sint(t)1

s2sint(t)t

s2

darctan

arctansarctans s?例31e2t?t1

1 s1t

ss1s )ds1 s1 s1 s1 九、初值定理和终值初值定 f(0)limf(t)limsF 终值定若f(t)当t时存在f(t)F(s0<0，

f()limsF1F(s)

s22s

2sf(0)limsF(s)

ss

2s2sf()limsF(s)

2s2例2：F(s)

s0ssF(s)1

s22s2ss22s

2s2ssf(0)limsF(sss

2s

通常的方法（1）查表 结若象函数F(s)是s的有理分式，可写bsm

....bsF(s) sn

...as F(s)P(s)B0s48s325s231s 2s23sF(s)

s36s211s

s2

6s211s由于L1[1]=(t)L-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉下面主要讨论有理真部分分式展若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写 asm

....asF(s)

sn

...bs （或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点（1）F(s)为单极点（单根F(s)B(s)

....

... s siKi(spi)F(s)si

s1s

s]epit例

F(s)10(s2)(s5)已s(s1)(s已解：部分分解：部分分F(s)k1ss（mk1sFsss10(s2)(s5)(s1)(s3)

s

1003解：解：k (s1)F(ss10(s2)(s5)s(s3)20sk3k3(s3)F(s)s310(s2)(s5)s(s1)s3103Fs)100320s103(s3)f(t) 20 t3e例 5 9 例 5 9 已知F(s) (s1)(s2)解：长除 F(s ss23s s3s3

5s29s3s222s27s2s2６s４s解：分式分解法F解：分式分解法F(s)s2sk2sk1s1)

s(s(s1)(s2)k

ssss

F(s)s22s1sf(t)'(t)2(t)(2ete2t)(t)F(s)

B(s) D(s)[(s)22

B(s)D(s)(sj)(sj sj

K2sj

F2K1[(sj)F

sj

j|K1|

AjB

= | |ej F sj sj sj sjf1(t)=2|K1|e-若写为K1,2=A± f1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)]例 s2 已知F(s) 求其逆变(s22s5)(s2)s2解：F(s)

(s1j2)(s1j2)(ss1s1sp1, j (1,2)解解:其中k1(s1 j2)(s2)s1js1j5即 A jB,(A1 B 21,2 s０(s1 j2)(s1j2)s5解：F(s) 5 51j1js1j2s1j275(s A1 B 1,1,f(t) 2t cos(2t) 125575e例4：求象函数F(s)的原函数f(t)F(s)

s3s22ss(s1)(s21)(s22ss3,4=j1，s5,6=–1j1，故F(s)

K4

s s s s1 s1K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2 ,K4=K3*=(1/2)e-K=(s+1–

j2 s=- e2

2f(t)[2 cos(t )22

cos(t

4（2）F(s)有重极点（重根若A(s0在sp1处有rF(s)B(s)

(sp1 (sp1)r (sp1K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s1 1

dr

(sp)r1

s(r1)!dsr L[tn(t)]

sn1

(sp1

]1tnep1t(t)Fs)

s Fs)k11(sFs)k11(s1)3k12(s1)2k13(s1)k2s其中k11 F1(s其中k11 F1(ss1sss1

F(s)

ssk12

dsF1(s

sp s(s2)s

s解解：k1 1d2 dsF1(ssp124ssk sF(s

s s2(s1)3

s

F(s)３(s1)２(s1)２(s—sf(t)(3t2et2tet2et2复频域系统一、微分方程的变描述n阶系统的微分方程的一般形式 iay(i)(t)i

bj

(j) j系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)思路： 变换微分特y(i)(t)siY(s) si1py(p)(0若f(t)在t0时接入f(j(t)←→sj复频域分 [aisi]Y(s)a

(0)][b (0)][bs]Fj

jj jY(s)

ai[si1py(p)(0 n

bjjn

F(s)

M

B(s)Fai

ai 例1描述某LTI系统的微

y(t)，yx(t)，y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f已知初始状态y(01，y'(01，激励f(t)5cost(t)，复频域分Y(s)sy(0)y'(0)5y(0)2(s F(s)

F(s) s25s

s25s

s2 s(s2)(s

s2s2

若已知y'(0+)=

1

4

5ej

5ejs s s sy(t)=2e–2t(t)–e–3t -4e–2t(t)

syf 暂态分量yt 稳态分量ys复频域分Y(s)B(s)F 二、系统系统函数H(s)

defY H(s) F yf(t)=h(t)*fH(s)=L

Yf(s)=L复频域分yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程解H(s)Yf(s)

2(s

2sF (s2)(s s sh(t)=(4e-2t-2e-3t)

s25ss2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+取逆变换yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t)2f'(t8f微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)2f'(t8f复频域分三、系统的