新高考数学重难点专题突破31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差

专题31利用均值和方差的性质求解新的均值和方差一、单选题1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.【详解】设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，故选：B.【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.【详解】设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，被忘记登分的同学的分数为，则所以，，方差，①因为②将①代入到②得：故故选：A【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）A．6.1毫米 B．32.6毫米 C．61毫米 D．610毫米【答案】C【分析】利用标准差公式即可求解.【详解】设这7天降雨量分别为，，，，，，则因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，平均值为=265，所以标准差变为.故选：C【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.4．设随机变量，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.【详解】，，由方差的性质可得.故选：B.【点睛】本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，所以．故选:A．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.【详解】解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，∴，，…，的平均数为：，标准差为：．故选：C．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．4和10 B．5和11 C．5和21 D．5和20【答案】D【分析】利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，所以，，…，的平均数为，方差为故选：D【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120【答案】D【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.【详解】设该同学次罚篮，命中次数为，则，所以，，所以该同学得分的期望为，方差为.故选：D【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【解析】由表格可求，故，故选A．10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可.【详解】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据题意可得，求出列出分布列，利用期望公式计算.【详解】，列出分布列，利用期望公式计算.记的所有可能取值为0，1，2012故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解.13．已知的分布列为1234Pm设，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件算出，然后算出，然后可算出答案.【详解】由分布列的性质可得：，解得所以因为，所以故选：C【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.14．随机变量的分布列如表所示，若，则（）-101A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：，则，，即：，解得：，，，则，.故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.15．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均不变 B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差不变【答案】D【分析】考查平均数和方差的性质，基础题．【详解】设这一组数据为，由，，故选：D．【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.16．设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：-11-11则当在内增大时（）A．减小，增大 B．减小，减小C．增大，增大 D．增大，减小【答案】D【分析】求出，，从而，，，从而，由此得到当在内增大时，增大，减小．【详解】解：，，，，，，，当在内增大时，增大，减小，故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．17．若样本数据的方差为8，则数据的方差为（）A．31 B．15 C．32 D．16【答案】B【分析】本题根据已知直接求方差即可.【详解】解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为：，故选：B.【点睛】本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题18．已知数据的方差为，若，则新数据的方差为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据方差的性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据的方差为：.故选：.【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.19．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）A．3和4 B．3和2 C．2和4 D．2和2【答案】D【分析】先由随机变量服从两点分布求出和，再根据性质求出和的值.【详解】随机变量服从两点分布，且，，，，，.故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，84.4 B．78.8，4.4 C．81.2，4.4 D．78.8，75.6【答案】C【分析】原来数据的平均数为,方差不改变，得到答案.【详解】原来数据的平均数为,方差不改变为.故选：C.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（）A． B． C． D．二、多选题【答案】D【分析】设数据、、、的平均数为，计算出数据、、、的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论.【详解】解法一：设，由题意可得，数据、、、的平均数为，因此，数据、、、的方差为.解法二：由，根据方差的性质得.故选：D.【点睛】本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题.22．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.【答案】BD【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．【详解】A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.C:由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.D:根据题意可得,设则，得，即解得或（舍）所以事件发生的概率为，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.23．设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，所以，，∴，，故选：BD．【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.24．下列说法中正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布，则B．已知随机变量X服从正态分布且，则C．；D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大【答案】ABD【分析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.【详解】对于选项设随机变量，则，所以选项A正确；对于选项因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是，因为，所以，所以，所以选项B正确；对于选项，，故选项C不正确；对于选项由题意可知，，，由一次函数和二次函数的性质知，当时，随着x的增大而减小，随着x的增大而增大，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．下列说法正确的有（）A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B．若复数满足，则的最大值为6C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法【答案】ABD【分析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确【详解】解：对于A，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以A正确；对于B，因为，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以B正确；对于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C错误；对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，D正确，故选：ABD【点睛】此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题26．设随机变量的分布列为，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、、，进而可确定选项的正误.【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，∴，A选项正确；，即有，B选项正确；，C选项正确，D选项不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养.27．已知随机变量的分布列是－101随机变量的分布列是123则当在内增大时，下列选项中正确的是（）A． B．C．增大 D．先增大后减小【答案】BC【分析】由，根据期望和方差的性质可得，；求出，，根据函数的性质即可判断．【详解】解：对于，，，故错误；对于，，，故正确；对于，，当在内增大时，增大，故正确；对于，，，当在内增大时，单调递增，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．28．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（）A．a=7 B．a=11 C．b=12 D．b=9【答案】BD【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.【详解】的平均值为7，方差为4，设，，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，的平均值为a，方差为b，a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，b=D(3X+2)=9D(X)=9.故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.三、填空题29．已知一组数据的方差为5，则数据的方差为___．【答案】45【分析】依据计算即可.【详解】由题意可得，数据的方差为：．故答案为：45.30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.【答案】200【分析】设没有发芽的种子数为，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解.【详解】设没有发芽的种子数为，则有，由题意可知服从二项分布，即,则，所以.故答案为：200.31．已知随机变量的分布列为012若，则______．【答案】【分析】根据变量间的关系计算新的均值．【详解】由概率分布列知．．【点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．32．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________.【答案】【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.【详解】由于离散型随机变量，，又因为随机变量，由期望的性质可得.故答案为：.【点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题.33．随机变量的分布如下表，则_______.0240.40.30.3【答案】13【分析】根据表格中的数据计算出，然后可得的值.【详解】因为所以故答案为：13【点睛】本题考查的是期望的算法和性质，较简单.34．设随机变量的分布列为，为常数，则________．【答案】3【分析】根据，由解得a，再利用期望公式结合性质求解.【详解】因为，所以，所以，故．故答案为：3【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.35．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.【答案】7【分析】利用平均数计算公式求解.【详解】∵数据，，…，的平均数为均值，则样本数据，，…，的均值为：.故答案为：7.【点睛】此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.36．设离散型随机变量可能取的值为，.又的均值，则______.【答案】【分析】由概率之和为1得到一个方程，由得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果.【详解】离散随机变量可能取的值为1,2,3，，故的数学期望，而且，联立方程组，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式.四、双空题37．已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.X012P【答案】2【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得，进而可得，结合方差的性质即可得解.【详解】当时，；在p的变化过程中，，则，所以当时，，所以.故答案为：；2.38．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____.【答案】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求出，化简即得解.【详解】（1）由题得；（2）由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：01234，因为，所以.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.39．已知随机变量服从二项分布，，则________，________.【答案】96【分析】由二项分布的期望公式求出．，再由数据变换间的关系求得新期望和方差．【详解】∵随机变量服从二项分布，，则．故答案为9；6．【点睛】本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．五、解答题40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的