利用导数证明不等式（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点05利用导数证明不等式【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1直接法证明不等式】...................................................................2

【题型2移项构造函数证明不等式】............................................................3

【题型3分拆函数法证明不等式】...............................................................4

【题型4分析法证明不等式】...................................................................5

【题型5放缩法证明不等式】...................................................................6

【题型6指对同构】...........................................................................8

【题型7隐零点法】...........................................................................9

【题型8双变量不等式的证明】................................................................10

【题型9函数与数列不等式综合证明问题】......................................................11

【题型10导数新定义的不等式证明问题】......................................................12

►命题规律

1、利用导数证明不等式

导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、

数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目,

灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的不等式证明的解题策略】

1.导数中的不等式证明的解题策略

(1)一般地，要证於)>g(x)在区间(0,6)上成立，需构造辅助函数尸(x)=/(x)—g(x),通过分析F(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若尸(a)=0,只需证明F(x)在(a,6)上单调递增即可；若尸(6)=0,只需证明F(x)

在(a,田上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用

导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3.分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以

传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处gCOminBVOmax恒成立，从而於)W

g(x)恒成立.

(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，e，与Inx要分离，常构造x"与hw,x"与e*的

积、商形式.便于求导后找到极值点.

4.放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式

e^x+1,1-qWlnxWx—1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利

用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.

【知识点2指对同构】

1.指对同构证明不等式

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单

调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的

速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

xe工==ex-'nr,-^=elnx~x,x+Inx=ln(xex),x-lnx=lny.

►举一反三

【题型1直接法证明不等式】

【例1】(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(%)=e汽一g/一%.

(1)求函数f(%)在第=1处的切线方程.

(2)证明:VxGQ+oo),/(x)>sin%.

【变式1-1](2024•河北保定•三模)已知函数/(%)=d一+Ex,%=1为/(%)的极值点.

⑴求。；

(2)证明：/(%)<2x2—4x.

【变式1-21(23・24高三下•云南昆明•阶段练习)已知函数/(%)=产一In%,a>0.

⑴求/(%)的最小值g(a)；

(2)证明：g(a)<a+——1.

【变式1-3](2024•江苏徐州•模拟预测)已知函数f(%)=2/+%一]n(%+m),mER.

(1)当m=0时,求曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线方程;

(2)当77141时，证明：f(x)>0.

【题型2移项构造函数证明不等式】

[例2](2024・广西•模拟预测)设函数/(%)=Inx+ax+b,曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线方程为y=

6%—3.

(1)求a,b的值；

(2)证明：/(x)>-£-1.

【变式2-1](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(%)=£,g(%)=In%.

(1)求f(%)的极值;

(2)证明：xgQx)+2>ex/(x)-1.

【变式2-2](2024•陕西榆林•三模)已知函数/(%)=minx+%2-%,/(%)的导函数为/'(%).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)当772=1时，证明：f(%+1)<-^=++%—1.

【变式2-3](2024•上海松江•二模)已知函数y=%•In%+Q(。为常数)，记y=/(%)=X•g(%).

(1)若函数y=g(%)在％=1处的切线过原点，求实数a的值；

(2)对于正实数3求证：/(%)+f(t-%)>f(t)-tln2+a；

(3)当a=1时，求证：g(%)+cosx<亍.

【题型3分拆函数法证明不等式】

【例3】(23-24高三上•广东•阶段练习)已知函数/(%)=a%e%(aH0).

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)当a>9时'证明：—(%+l)lnx>0.

【变式3-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=a%-ln%,aER.

(1)若函数F(%)=/(%)-/有两个极值点，求a的取值范围；

(2)若曲线y=/(%)在点R/g))处的切线与y轴垂直，求证：/(%)<ex+

【变式3・2】(2024•广西柳州•三模)已知函数/(%)=三千.

(1)求函数/(%)在点(1)(%))处的切线方程；

(2)求函数/(久)的单调区间；

(3)若/(%)为f(%)的导函数，设g(%)=(x2+%)/(%).证明：对任意%>0,g(x)<1+e-2.

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=1e2x+(a-2)ex-2ax.

(1)若曲线y=/(%)在(0,a-号处的切线方程为4a%+2y+1=0,求a的值及f(%)的单调区间.

(2)若/(%)的极大值为/Qn2),求a的取值范围.

(3)当a=0时，求证：/(x)+5ex—|>|x2+xlnx.

【题型4分析法证明不等式】

【例4】(2024•吉林•模拟预测)已知函数/(%)=(/一一a)e%.

(1)当a=0时，求函数/(%)的极值；

(2)求证：当0<aV1,%>0时，/(%)>

【变式4-1](2024•西藏•模拟预测)已知函数/(%)=xln(x+1)-%2+ax(^aER).

(1)若/(%)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；

(2)若/(%)有两个极值点%1，%2，求证：%1+x2>0.

【变式4-2](2024•河北•模拟预测)已知函数/(%)=aln%-

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)<-1.

【变式4-3](2024•宁夏吴忠・模拟预测)已知函数/(久)=aex-x-|(aeR).

(1)讨论/(久)的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(%)>2Ina—a2.

【题型5放缩法证明不等式】

【例5】(2024•山东•模拟预测)已知函数/O)=—胃久+生岁±B，其中爪大0.

(1)求曲线y=/(x)在点(2)(2))处切线的倾斜角；

(2)若函数/(%)的极小值小于0,求实数机的取值范围；

(3)证明：2e%—2(%+l)lnx-%>0.

【变式5-1](2024•山东•模拟预测)已知函数f(x)=G+a)lnx+：-2,其中QGR.

(1)当a>1时，判断/(%)的单调性;

(2)若/(%)存在两个极值点%1，%2(第2>>0).

(i)证明：%2—+2>/;

(ii)证明：x£(1,+8)时，f(%)—~2~—2.

【变式5-2](2024•辽宁•二模)已知函数/(%)=In%+a/+(a+2)X+1,(aER,a斐0).

⑴讨论函数/(%)的单调性;

(2)若a=-2,证明：ex—%2+2%—%/(%)>1.

【变式5・31(23・24高三上•湖北•阶段练习)已知函数/(%)=%ln%.

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)若两个不相等的正实数a,b满足f(a)=/(b),求证：a+b<l；

(3)若:<a<p求证：/(cosa)<f(sina).

【题型6指对同构】

【例6】(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(X)=Imr+a久+1,aeR.

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)当aW2时，证明：^<e2x.

【变式6-1](2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知函数/(久)=In久+：—a(>+l)(aeR).

(1)当a=-1时，讨论f(%)的单调性;

(2)若%V%2)是/(%)的两个极值点，证明：/(%2)-

【变式6-2](2024•陕西安康•模拟预测)己知函数/(%)=e%—eT—2a%(aCR).

(1)当a=2时，求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程；

(1,%=0,_

(2)若函数gO)=卜-erX去0，求证：1<g(久)W土x皆x.

【2x'

【变式6-3](2024・湖北荆州•三模)已知函数/(%)=%e%—a(ln%+%),其中e是自然对数的底数.

(1)当a=1时，求曲线y=/(%)在点处的切线的斜截式方程；

(2)当a=e时，求出函数f(%)的所有零点；

(3)证明：x2ex>(%+2)lnx+2sinx.

【题型7隐零点法】

【例7】⑵-24高三下•河南•阶段练习)已知函数f(x)=xe，_3ex.

(1)求/(久)的极值；

(2)若g(x)=/'(久)一x+Inx在t,1]上的最大值为力,求证：-6e-3</(A)<-7e-4.

【变式7-1](23-24高三下•青海海南•开学考试)已知函数/(>)=aexT—x—l.

(1)讨论/(久)的单调性；

(2)证明:当a21时，/(x)+x-\nx>.

【变式7-2](2024・甘肃•--模)已知函数/(x)=ax-(a+l)ln久一§+2(aeR).

(1)讨论函数/(比)单调性;

(2)当a=—2时，求证：/(x)<ex—2x—\

【变式7-3](2024•广东广州•模拟预测)已知函数/Xx)=xe。，(a>0).

⑴求f(x)在区间上的最大值与最小值;

(2)当a21时，求证：/(x)>Inx+x+1.

【题型8双变量不等式的证明】

[例8](2024•安徽合肥•模拟预测)已知函数/(%)=a(l-21nx)+4x6(aeR).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若%1，%2(X1W第2)为函数9(%)=kx2+1一In%的两个零点，求证：(%I%2)4>12e4.

【变式8-1](2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(%)=詈一犯％£(0m).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若%1<%2，满足/(%1)=/(%2)=0.

(i)求m的取值范围；

(ii)证明：+%2V兀

【变式8-2](2024•广东佛山•二模)已知/■(>)=一片2工+41-£1%—5.

(1)当a=3时，求/(%)的单调区间;

(2)若/(%)有两个极值点%1，%2，证明：/(%1)+/(%2)+%1+%2Vo・

【变式8-3](2024•安徽阜阳•一模)已知函数/(%)=31n%-a%.

⑴讨论f(%)的单调性.

(2)已知小,％2是函数/(%)的两个零点(%1<%2)・

(i)求实数Q的取值范围.

(ii)Ae(0,3，/6)是/0)的导函数.证明：/Uxi+(1-A)x2]<0.

【题型9函数与数列不等式综合证明问题】

【例9】(2024•山东淄博•一模)已知函数/(>)=lnx+4G—x)(4eR).

(1)当%>1时，不等式/(%)<o恒成立，求a的最小值；

(2)设数列％=L(neN*),其前n项和为%,证明：S2n—S”+子>ln2.

714

【变式9-1](2024・河南•模拟预测)已知函数/'(x)=InW(%K0)-

⑴证明：士>f(x)；

(2)若正项数列｛时｝满足0n=/(0n+D，且国€(0,1),记｛%｝的前联项和为Sn，证明：Sn>^(n>2).

【变式9-2](2024・重庆・二模)已知函数/(久)=总5

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当0<久<1.时，/(%)>~zv+a,求实数a的取值范围;

111

(3)已知数列｛册｝辆足：的="且册=/(册+力.证明：谷口<ctn<—.

【变式9-3](2024,河南•模拟预测)已知函数g(无)=Inx+mx+1.

(1)当m<0时，求gO)的单调区间；

(2)当m=1时，设正项数列满足：x1=1,xn+1=g(xn),

①求证：岛W1；

②求证：器21n(1+/<1.

【题型10导数新定义的不等式证明问题】

【例10](2024・福建厦门•三模)帕德近似是法国数学家亨禾小帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方

法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数/(久)在x=0处的[仍出阶帕德近似定义为：/?(%)=

a且满足：/(0)=R(0),f'(0)=R'(0),#2)(O)=R(2)(0),,/S+n)(0)=R(M+皿)(0).其中

f(2)(x)="⑶(x)=[产2)(久)]:..,/6+”)(久)=[/(m+n-l)(x)[已知/⑴=ln(x+1)在久=0处的[2,2]

阶帕德近似为R(x)=上丝

1+x+o^x2

(1)求实数a,6的值；

(2)设九(%)=/(%)-/?(%),证明：x/i(x)>0；

(3)已知是方程lnx=4(x-3的三个不等实根，求实数4的取值范围，并证明：生产>[-1.

【变式10-1］(23-24高三下•重庆・期中)若函数八久)在定义域内存在两个不同的数打,久2,同时满足/(%1)=

/(町)，且人乃在点(打,/(/)),(冷，/(久2))处的切线斜率相同，则称/O)为“切合函数”

(1)证明：/(x)=%3-2%为"切合函数"；

(2)若g(x)=x\nx-x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为利,比2・

(i)求证：久2<-；

2_xx

(ii)求证：(a+1)X1X2Vi2<

【变式10-2］(2024•山西•三模)微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律

的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：

如果函数f(x)在闭区间［a,6］上连续，在开区间(a,b)可导，导数为f'(x),那么在开区间(a,6)内至少存在一点

c，使得/''(c)=叫f(%其中c叫做/(%)在［a,句上的“拉格朗日中值点”.已知函数"X)=+b\x-

4)e。%—y%3+(9V%2.

(1)若a=—lfb=0,求函数f(%)在［1,7］上的“拉格朗日中值点“o；

(2)若a=-1,b=1,求证:函数/(%)在区间(0,+8)图象上任意两点A,B连线的斜率不大于18-e~6；

(3)若a=1"=一1,且第1<%2<%3，求证:"亚)-"一)>"%2).

\4/久2一11X3—X2

【变式10-3］(2024・浙江绍兴•二模)帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数

1

的方法.给定两个正整数科n，函数/(%)在x=0处的［犯n］阶帕德近似定义为：R(x)=且满

治XID不1XI:,,,［ID丁^riX：

足：/(0)=R(0),f'(0)=R(0),f"(0)=R"(0),…，/(i(O)=R(m+")(0).已知/(久)=M在%=0处的［1,1］

阶帕德近似为R(x)=震f-注：f"(x)=［八久)］，=［/"(X)］1=，"'(久)［1产5)(久)-［y(4)(x)］,

(1)求实数%6的值；

(2)当xe(0,1)时，试比较f(x)与R(x)的大小，并证明；

a

(3淀义数列｛%｝：的=ane丽+i=e"-1,求证:<an<盍.

►过关测试

一、单选题

1.（2024映西安康・模拟预测）已知。=定方=:儿=3S则（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

2.（2024・陕西安康•模拟预测）若0V/<犯<1，贝1J（）

X1%2X1

A.e%2+ln%i>e+lnx2B.e+\nxr<e+lnx2

e%1X2X1X2

C.x2>x1eD.x2e<x1e

3.（2024•河北衡水•模拟预测）已知函数/（%）=In%+1-a%有两个零点％i，%2，且汽i<%2，则下列命题正

确的是（）

2

A.a>1B.%1+%2V1

1

C.D.x2—xr>--1

4.（2024•河南郑州•三模）设％1，皿€（°，+8）,且e%i+ln%2=l，则（）

A.若％1=%2，则％1GB.若为1%2=1，则％1存在且不唯一

C.乙+X2>1D.x1+lnx2>0

5.（2024•安徽•三模）已知实数Xi/2,比3满足F=e:1则（）

Z-yjI+X3+I20

A.Xr<X2<%3B.<%3<%2

x

C.X2<x3<X1D.%2<V3

6.（2024・山东•模拟预测）已知Q>o,6>0,且a+b=ab,则下列不等式成立的是（）

A.a+b<4B.log2a+log2h>2

C.blna>1D.+VF>3

7.(2024・四川南充•模拟预测)设a>06>0,且a+b=l,则下列结论正确的个数为()

①log2a+log2bN_2②2a+2h>2企③a+Inb<0④sinasinb<-

4

A.1B.2C.3D.4

8.（2024•四川泸州•三模）已知%>0,ex+lny=1,给出下列不等式

①％+Iny<0；②e%+y>2；③In%+ey<0；④久+y>1

其中一定成立的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.（2024•浙江温州•模拟预测）已知4（十+1）=匕+1）,a,be/?,a<b则以下正确的是（）

A.a—Ina=h+e-hB.a+h>1

C.b=eaD.ab<-

e

10.（2024•江苏南通•三模）已知2a=logza,log2b=贝U（）

A.a+2a=b+2-bB.a+b^2b+2-a

11

C.26+1>eaD.2a>e1-6

11.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=久+In(久一2),g(x)=xlirr.若/'(久。=2+31nt,g(%2)=/，

则下列结论中正确的是()

A.VxE(2,+oo),f(x)<g(x)B./—2=lnx2

1

c.3x0£