基本不等式（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第03讲基本不等式

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................6

高频考点一：基本不等式的内容及辨析..............................6

高频考点二：利用基本不等式比较大小..............................8

高频考点三：利用基本不等式求最值...............................11

角度1：利用基本不等式求积最大值..............................11

角度2：利用基本不等式求和最小值.............................12

角度3：二次与二次（一次）的商式的最值.......................13

角度4：“1”的妙用求最值......................................15

角度5：条件等式求最值........................................16

高频考点四：基本不等式的恒成立问题.............................20

高频考点五：利用基本不等式解决实际问题.........................24

第四部分：典型易错题型............................................28

备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”.............28

第五部分：新定义题（解答题）......................................30

第一部分：基础知识

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果a>0,b>0,施工号,当且仅当a=b时，等号成立.

②其中J法叫做正数。，6的几何平均数；叫做正数"，〃的算数平均数.

2、两个重要的不等式

@a2+b2>2ab（a,beR）当且仅当a=b时，等号成立.

②a匕K（一了（a,beR）当且仅当a=b时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积盯等于定值p,那么当且仅当％=丁时，和％+y有最小值2工万；

V2

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值s,那么当且仅当时，积孙有最大值?一；

-4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧一一凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数）

）、代（1的代入）、解（整体解）.

（X）凑：凑项，例：x-------=x—aH--------Fa22+a=3（x>a）；

x-ax-a

—2x）〈y2x+l-2x

凑系数，例：x（l-2x）=0<x<—I；

22

x2V—4+4c4c4

②拆：例:----=------------=%+2H--------=%一2H------+4>2^+4=8（x>2）；

x—2x—2x-2x—3

2x

<1（X>O）

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知a>0力>0,a+b=l,求工+工的最小值.

ab

解析：—I—二（—I—）（6z+Z?）=2+—+—>4.

ababab

⑤整体解：例：已知a,2是正数，且ab=a+Z?+3,求Q+Z?的最小值.

2

a+ba+bi9

解析：ab<Na+Z?+3即:（〃+/?）—（Q+/?）—320,解得

22

a+b>6（a+b<-2舍去）.

第二部分：高考真题回顾

1.(2022,全国•(甲卷文))已知9m=10,a=l(F-ll,6=8"-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=bg910>l,再利用基本不等式，换底公式

可得加>lgll,log89>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:(指对数函数性质)

由9"=10可得”=1唱10=需>1,而lg91gli(世答［=［詈卜l=(lgl0)2,所以需>悬，

即加>lgll,所以。=10"—11>10*—11=0.

又坨8坨10<(38产。)=［等)<(坨9)2,所以翳'即1崎9>相，

所以/,=8"—9<81°曲9—9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9m=10,可得加=log910e(l,L5).

根据的形式构造函数/(x)=x"-x-l(x>l),则广。)=加7-1,

令广。)=。，解得%=沉占,由加fogglOe(1,1.5)知天€(0,1).

Ax)在(1,口)上单调递增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9Mo-10=0,所以。>。〉匕.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。/的形式构造函数/(x)=--x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

2.(2022・全国•(甲卷文理))已知二ABC中，点。在边5C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当，

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】6-1/T+6

2

【分析】设CD=2BD=2%>0,利用余弦定理表示出轰4C后，结合基本不等式即可得解.

【详解】［方法一］:余弦定理

设CD=2&)=2m>0,

则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m,

2222

在4ACD中，AC=CD+AD-2CD-ADcosZADC=4m+4-4m,

AC2_4m2+4—4m4(加2+4+2〃?)-12(1+7W)12

=4-；-------------

所以商"—加？+4+2加m2+4+2m

(m+l)+------

'7m+1

12

>4--------=4一26

3

2M+1)，

m+1

3

当且仅当机+1=一。即m=百-1时，等号成立,

m+1

AT

所以当商取最小值时，呐百-1.

故答案为：A/3-1.

【方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，0C为X轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,回，B(-t,0)

,AC2_⑵-吁+3_4=一4f+4

==4——>4-2.73

"(/+1)2+3产+2f+43

(，+1)+-----

t+\

当且仅当f+1=73,即BO=道-1时等号成立o

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2%°°°

?「.2c+b—12+,

=4+4厂-4x

c2=x2+4+2x°°°

no,「.2c+b=12+6x,

fe2=4+4x-4x

AT

令商“则2，+…+6~

、

12+6/12+6/2

...厂+2==6>6-2^3,

c~x~+2x+4（X+1）H——^―

'7X+lJ

r2>4-273,

3

当且仅当x+l=ITT即x=6+i时等号成立•

3.（2。22•全国•（新高考I卷））记ABC的内角4”的对边分别为已知需r品

⑴若C后27r，求昆

⑵求匚乏的最小值.

C

【答案】⑴"；

6

（2）4V2-5.

【分析】（D根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将其高=言之化成cos（A+8）=sm8,再

jr

结合o<5<一,即可求出;

2

⑵由⑴知，C/+B'A=5-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将—化成—含-5,

然后利用基本不等式即可解出.

cosAsin2B2sinBcosBsin5

【详解】（1）因为,即

1+sinA1+cos2B2cos2Bcos3

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=g,

而。弓，所以B哈

兀71

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

而sin3=-cosC=sinlC--1-1,

717i37r

所以。=工+8,即有4=工一28,所以Be0,£,Ce

2214E'T

匚口、i〃2+02sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一z—=--------z---------=-------------Z-----------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)+1—cos2B

=4COS2B+^—-5>2A/8-5=4>/2-5-

cos2Bcos"B

当且仅当cos'Bu孝时取等号，所以直产的最小值为40-5.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：基本不等式的内容及辨析

典型例题

例题1.（2024上•陕西安康•高一校考期末）下列不等式一定成立的是（）

A.x2+1>2x（x>0）B.sinxd——-—之2（xw左"，左6Z）

sinx

C.>l（xeR）D.Z+-^>2（/>0）

【答案】D

【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.

【详解】对于A,当％=1时，f+i=2x,A不正确；

对于B,当xwfcr,女EZ时，一iWsinxWl,且sinxwO,若一lWsinx<0,贝ijsinxd■-—<0,B不正确；

sin%

对于C,VXGR,X2+1>1,贝lj0<——<1,即C不正确；

x+1

对于D,当t>0时，由均值不等式得f+成立，当且仅当/=1时取等号，则D正确.

t

故选：D

例题2.（多选）（2024•全国•高三专题练习）任取多组正数兄4c,通过大量计算得出结论："|±£3曲,

当且仅当a=8=c时，等号成立.若0<〃，<3,根据上述结论判断机2（3-加）的值可能是（）

A.717B.V15C.5D.3

【答案】BD

【分析】利用已知结论求出病（3-7”）的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值.

（11.Y

II—m+—m+3-m

【详】根据题意可得苏（3-利）=4*耳加乂5小（3-m）W4----'-------=4,

当且仅当g根=3-m，即m=2时，等号成立.故根之（3-根）的最大值为4.

从而AC不可能，BD可以取.

故选：BD.

练透核心考点

1.（2024・全国•高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（）

2

A.J/+5+/：22B.%+2+^—>2

，f+5X2+2

21cD•⑶+3+»

C.xH——N2

x

【答案】C

【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.

了二二2,当且仅当

【详解】解：对于A,因为正+5>。,所以G+5+j25

=即f=-4,故等号不成立，故A不符合;

对于B,因为犬+2>0,所以丁+2+」一>2」一=2，当且仅当炉+2=一■三，即/=一1,

2

/+2尤2+2X+2

故等号不成立，故B不符合；

对于C,因为/>0,所以=当且仅当炉=勺，即了=±1时取等号，故C符合；

x2Vx2x

对于D,因为冈+3>0,所以国+3+向上2.忖+3）.同g=2,当且仅当忖+3=曲，即禺=一2,故

等号不成立，故D不符合.

故选：C.

2.（多选）（2024上•河南漂河•高一潺河高中校考阶段练习）下列命题中正确的是（）

12+5

A.的最小值是2

V%+4

B.当x>l时，XH---^的最小值是3

x-1

C.当0<x<10时，”（10-元）的最大值是5

D.若正数%丫满足2+^=3,则2x+y的最小值为3

xy

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，/=]；+l=J%2+4+722Jx2+4•/==29,

&+4+4Vx+4VJr+4

所以①等号不成立，所以A选项错误.

B选项，当x〉l时，x-l>0,

XH——--二x-ld——-——Fl>2.(x-lY--——Fl=3,

x-1x-1vX-1

当且仅当X-1=工,1=2时等号成立，所以B选项正确.

x-1

C选项，当OvxvlO时，10—芯>0,

所以#（10_尤）"+『=5,

当且仅当％=1。-羽％=5时等号成立，所以C选项正确.

D选项，羽>是正数，2x+y=§（2x+y）[—■l—]

斗+4马当.2、尸卜3,

31x\xy）

2y_2x

xy

当且仅当，x=y=i时等号成立，所以D选项正确.

—I—=3

1％y

故选：BCD

高频考点二：利用基本不等式比较大小

典型例题

例题1.（2024・全国•高三专题练习）对于任意〃，b£R,下列不等式一定成立的是（）

a+b/_1___ba、>b,a,

A.------>4abB.a+—22C.-+->2D.|t-|t+|-|>2

2〃abab

【答案】D

b

【分析】当a<0,6<0时，可判断A；当a<0时，可判断B；当一<0时，可判断C；利用均值不等式，可判

断D.

【详解】选项A：当a<0力<0时，与<0,而>0,皆<痣，不成立，故A错误；

选项B：当〃<0时，OH—<0,ciH—<2,不成立，故B错误；

aa

选项c：当2<。时，y<o,y<2,不成立，故c错误；

aabab

选项D：由|4,四有意义，故被0,30,因止匕自>0,|9|>0

abab

由均值不等式，|-|+|-|>2.1-11-1=2,当且仅当|々=|"即时等号成立

ab\abab

故D正确

故选：D

例题2.（2024下•福建•高一校联考开学考试）杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科

技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用"机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的

焦点.已知购买x台“机器狗”的总成本为〃力=4/+苫+20（万元）.

（1）若使每台"机器狗”的平均成本最低，问应买多少台？

（2）现安排标明"汪1"、"汪2"、"汪3"的3台"机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米.3台"机

器狗"所用时间（单位:秒）分别为4，心，心."汪1"有一半的时间以速度（单位:米/秒）匕奔跑，另一半

的时间以速度匕奔跑；"汪2"全程以速度收"奔跑；"汪3"有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以

速度匕奔跑，其中匕>。，匕>。，且匕*匕则哪台机器狗用的时间最少？请说明理由.

【答案】⑴40

（2广汪1"用的时间最少，理由见解析

【分析】（1）平均成本为y=/区，利用比较不等式，即可求解函数的最值；

X

（2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解刀，T2,T3,再根据不等式，比较时间大小，即可求解.

【详解】（1）由题意，购买了台"机器狗"的总成本为〃”=上炉+》+20,

则每台机器狗的平均成本为y="^='x+型+122因①+i=i+i=2,

x80xV80x

当且仅当白1X=320时，即x=40时，等号成立，

80x

所以，若使每台"机器狗"的平均成本最低，应买40台.

11

（2）由题意，"汪1"满足］方匕+万工乂二口。，可得「+匕，

.120

〃汪2〃满足（^^=120,可得L而

T/_^6―0■60—_—120

"汪3"满足3匕匕啦,

匕+匕

2乂匕w2匕匕=闻7,乂*匕，

匕+%一2麻

所以毁<麻-

因为乂>0,匕>0,且用力匕，

所以可得"么>际

V+K

则七」>0,

所以所以"汪1"用的时间最少.

练透核心考点

1.（多选）（2024上•湖南常德•高三统考期末）已知a>6>0,则下列不等式一定成立的是（）

ab2abla2+b1

A.---->----

。+1Z7+1V^

C.〃+/?+ln（〃Z?）>2

1+lna1+lnZ?

【答案】AB

【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB,利用特值法判断CD.

・、4kn、,„.1.1口ri八Q+1Z?+1ab^

【详解】•「a>5>0,1H—<1+—即。<----<―--,.0.----〉----，A正确;

ababQ+1P+1

由基本不等式知：~—~7~i==»当且仅当Q=6时等号成立

JLa2+b2>2abf2^a2+/?2j>[a+b^

：.P*23（上匚即色电4甲F,当且仅当a=6时等号成立；

242-V2

已知a>人>0,故也<匕忙,B正确；

a+b\2

令a=l,b=Ltz+/?+ln（4zZ?）=l+—+ln—=—<2,C错误；

eeee

令W，l+lnb=l+m：=。，分母为零无意义，D错误.

故选：AB.

2.（多选）（2024•全国•高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用表示不等号，并逐

渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为a

和伏记两速度的算术平均值为匕，全程的平均速度为匕，则下列选项正确的是（）

ClbI~~—/52+-2

A.v=----B.a<v<yjabC.^ab<v,<J------D.

2a+b2V2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.

【详解】设一楼到五楼的距离为巴

_a+b_2s_lab

由题知匕=亍'%="7=不，A错误；

ab

当lab2b

a+ba+b

2b2b2ab

且0vav〃，所以。+b<»,所以-->1,---l>0,所以一

a+ba+ba+b

又因为〃+,(因为〃b,所以取不到等号)，所以~</—=,B正确;

a+b24ab

对C,因为出b,所以痣〈?，

2

a+b(a+Z?)a?+//+M+2ab—2ab(a-b?„

又因为

{2J2444

对D,因为(a+b)?-4ab=(a-b)2>0,

所以（a+6）2>4M,即怒，D正确;

故选:BCD.

高频考点三：利用基本不等式求最值

角度1:利用基本不等式求积最大值

典型例题

例题1.（2024上・安徽•高一校联考期末）若正数羽y满足4+24=26，则芍的最大值为（）

93

A.6B.9C.-D.一

42

【答案】C

【分析】由基本不等式求解即可.

【详解】解：因为4+=2622J2A,

所以8瓜^<12,7^<1,xy<^.

当且仅当x=3,y=［时取等号.

故选：C.

例题2.（2024下•重庆•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,向量a=（x,y）,0=（2,l）,a-方=l,

则孙的最大值为.

【答案】1/0.125

O

【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得2x+y=l,结合题意利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知.=（尤,=（2,1）,〃为=1,故2x+y=l,

又x>0,y>0,所以l=2x+yN2^2xy,

故孙当且仅当2x=y,结合2x+y=l,即2x=y=:时取等号，

o2

故冲的最大值为:，

O

故答案为：—

O

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例题

例题L（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）若实数苍>满足冲=1,则Y+2y2的最小值为（）

A.1B.y/2C.2D.2a

【答案】D

【分析】通过冲=i求出y,代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.

【详解】由冲=1可知无工0,则y=L代入尤2+2y2得：尤2+2丫2=尤2+3.22&,

Xx

当/=后时等号成立，即当x=±&时，V+2y2取得最小值2VL

故选：D.

例题2.（2024上•广西•高一校联考期末）已知"+廿=疑+4,则。+匕的最大值为（）

A.2B.4C.8D.2夜

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得关于。+人的一元二次不等式，解不等式即可.

【详解】a2+b2=ab+4,则有（a+b）2=3"+44+如+4,

可得（。+6）2416,即a+Z?W4,当且仅当a=6=2时，等号成立.

所以的最大值为4.

故选：B

例题3.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知尤>1,则X+不二的最小值为___________

22x-l

【答案】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于1>7,所以％-7>0,2%—1>。，

22

1111

所以％+=X---F------------1—

2x-l22x-l2

当且仅当=铝时等号成立'

所以X+乙的最小值为;+&.

故答案为：;+亚

角度3:二次与二次（一次）的商式的最值

典型例题

例题1.（2024・全国•高三专题练习）函数/（x）=2r+x+3a<0）的最大值为

X

【答案】1-25/6/-2^/6+1

【分析】首先化简可得〃X）=2X2+X+3=2X+』+I=_（_2X+』）+1,由-x>0则可以利用基本不等式求最

XX-X

值即可.

【详解】因为x<0,则-x>0,

所以尤)=2厂+x+3=2x+&+]=_(_2x+巨)+1

XX-x

+1=1-2n

当且仅当-2x=二，即x=-Y5时等号成立,

-x2

所以的最大值为1-2#.

故答案为：1-26.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）函数y的最小值为.

【答案】11

【分析】将函数化为y=x-2+三9+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.

x-2

.,系七刀1i+t（尤—2）2+5（x—2）+9-9vT7c八

【详解】由y=-----------------=x-2+----+5,又%—2＞。，

x-2x-2

所以＞22）（无-2＞—2—+5=11,当且仅当》-2=二，即x=5时等号成立，

Vx-2x-2

所以原函数的最小值为11.

故答案为：11

3九一3

例题3.（2024・全国•高三专题练习）函数/（犬尸；^——;在（1,+8）上的最大值为____________

2x-x+1

【答案】|3

【分析】令x-l=r,则t>0,则/⑺，利用基本不等式计算可得.

zr+3H—

t

3九一3

【详解】解：因为/(%)=力——XG(1,+O)),令％—1=/，贝卜〉0,

2%-1+1

„/\3t3t3,33

则八J2«+1)2-«+1)+12/+3/+22r+3+--2i3+375

2

当且仅当力=±,/=1即％=2时，等号成立.

t

3

故/（%）的最大值为

3

故答案为：—

角度4：“1”的妙用求最值

典型例题

81

例题1.（2024上•安徽•高一校联考期末）已知正数x,y满足—+—=1,则x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【答案】D

【分析】将所求的式子乘以"甘，然后利用基本不等式求解即可.

Q1

【详解】因为正数叫,满足一+—=1,

%y

贝Ux+2y=（x+2y）[刍+L]=10+®+2N10+2^?Z^=18,

当且仅当巫=2,即x=12,y=3时等号成立.

xy

故选：D

例题2.（多选）（2024上•福建漳州•高一统考期末）已知a>0,b>0,且。+2b=2,贝|（）

A.必的最大值为;1B.▲I+7[的最小值为9:

4ab2

c.4+4/的最小值为2D.（a+2）仅+2）的最大值为8

【答案】BC

【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式"1"的妙用求出最值；C选项,

。+26=2两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到（。+2乂6+2）=8-2从<8,D错误.

【详解】A选项，因为。>0,6>0,由基本不等式得a+26N20^,

即abv1,故A错误；

B选项，因为a>0,〃>。，

匕匚…12（12Va,I1cab[a~b9

以—I—=—I——Fb=—F2H1—N-F2/------=一,

ab\ab）\2）2ba2vAba2

当且仅当即。=匕=3时，等号成立，

ba3

故上1+]7的最小值为9：，B正确；

ab2

C选项，。+2/?=2两边平方得4+4"+462=4,

4ab=4-[a2+4b2）,其中

当且仅当。=»,即。=1,6==时，等号成立，

2

i^4-（a2+4b2）<a2+4b2,解得4+4^22,

1+462的最小值为2,C正确；

D选项，因为a+2b=2,a>0,b>0,

所以（a+2）（6+2）=（2—»+2）（匕+2）=8—02<8,

故D错误.

故选：BC

角度5：条件等式求最值

典型例题

例题1.（2024下•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）对于正数。力，有（2"+l）（a+b）=6",则

的取值范围是（）

A.（0,1]B.[1,V3]C.[1,2]D.[2,+回

【答案】C

a\b=6ab<3_______3

【分析】根据题意可得利用基本不等式可得“~2ab+l~―一（a+b\—,再结合二次函数不等式求解

2.^------^+1

4

方法即可求解.

6ab

【详解】由题可知:a+b=

2ab+l

因为d》都是正数，所以MW[等（当且仅当a=b时取等），

〃+Z?=3-----------K3---------------z----

所以2ab+l(a+bY(当且仅当〃=力时取等)，

2-1-----^-+1

4

化简可得（。+8）2—3（。+6）+240,m<a+b<2,故C正确.

故选：C.

1221

例题2.（多选）（2024上•安徽合肥・高一合肥一中校考期末）已知正数〃）满足北一+:力之一+不，则（）

abab

A.ab>3B.(a+b)2>12

c11>2^11c

J------1-----\-----------D.-+-<2

ab3ab

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性质可判定A项，结合基本不等式可判定B项，利用特殊值可判定C项，根据条件

放缩得出。即可得出。>1,6>1判定D项.

ab

【详解】对于A,a>—+—,b>—+—,a>O,b>O,.\a+b>—+—=+,

ababababab

所以H23,A选项正确；

对于B,由题(〃+。)之(—F—+=3|2+—H—]N3X

\ab)\ba)

当且仅当〃=。=指等号成立，故B选项正确；

对于C,可取特殊值。=b=2满足题意，则工+：1=1<班，故C选项错误;

ab3

122111

对于D,aN—I—力之—I—,a>0,Z?>0,.，.〃>—,b>—a?>1,>1,

ababab

即则工+：<2,故D正确.

ab

故选：ABD

练透核心考点

1.（2024上•福建龙岩•高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知尤>Ly>l,且x+y-孙=g,则2x+y

的最小值是（）

A.2A/2B.4C.40D.5

【答案】D

【分析】由已知可得=再根据基本不等式求解即可.

［详解］由x+y—孙=g,得——l）=g,

因为所以

3

当且仅当2（x—l）=（y—1）,即x=§,y=2时，等号成立，

所以2x+y的最小值是5.

故选：D.

2.（多选）（2024下•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知a>0,6>0,若a+劝=1,则

(）

A.a+b>一B.a+b<l

C.必的最大值为:1D.2士+1；的最小值为8

4ab

【答案】ABD

【分析】对于AB：根据题意消去。，结合6的取值范围分析求解；对于C：根据基本不等式运算求解；对于

D：根据"1"的灵活应用结合基本不等式分析求解.

【详角星】因为a>0,〃>0,a+2b=1,则a=l—2Z?>0,可得力金[。,/],

对于选项AB：因为Q+〃=1—2Z?+〃=1—〃，

所以a+b>5，a-\-b<1,故AB正确;

对于选项C：因为必=，々（2»<工*y±犯=、

2v7248

当且仅当〃=2力=：时，等号成立，

所以"的最大值为:，故C错误；

O

对于选项D：因为2+J_=（a+26）[2+J_]=4+竺+@24+2/生・0=8,

ab\ab）ab\ab

当且仅当4Z?空a即。=26=1:时，等号成立，

ab2

21

所以—'的最小值为8,故D正确；

ab

故选：ABD.

3.（多选）（2023上•安徽合肥•高一合肥市第六中学校考阶段练习）已知，>。,。>。，且