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10.双曲线的切线问题T8联考16题的推广及高考应用昨天考的T8联考16题以双曲线切线为背景，考察了一类特殊的中心三角形，即该切线与渐近线的交点和坐标原点围成的三角形面积，其实是一个定值，本文对其做一般的推广，并介绍相关结论在高考试题中的应用.对于双曲线比较独特的结论，我们应该多加留意.一．典例分析（T8联考16题）已知双曲线的左、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为________；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_________.解析：第一个空较简单，.下面看第二个空的证明；双曲线的两条渐近线方程我们可以用来表示，设切线与两条渐近线的交点分别为，由，可得，同理，所以三角形的面积为，再将代入，得，证毕.这样的话，由于且，可解得：双曲线方程为：.二．高考应用（2014年福建卷）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）因为双曲线的渐近线分别为，所以，所以，故，从而双曲线的离心率（2）由（1）知，双曲线的方程为，设直线与轴相交于点，当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以，因此，解得，此时双曲线的方程为，若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件.设直线的方程为，依题意，得或，则，记由得，同理得，由得，，即由得，，因为，所以，又因为，所以，即与双曲

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