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文档简介

双曲线中的斜率和（积）问题例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．求的斜率.（2）若，求的面积．解法1：（设点解点）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，.所以直线的斜率为解法2：设，由点都在双曲线上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，从而，即的斜率为.解法3：（设而不求）将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故.方法4.（同构双斜率）设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.方法5（齐次化联立）双曲线方程为，设，∵AP,AQ的斜率之和为0，∴，故将双曲线方程为变形为：，且设直线，由式有：,（两边同除以），即，而是此方程的两根.∴，故直线斜率为−1.方法6：（曲线系）点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为.又因为双曲线过这些交点，比较的系数得.又由，所以.这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握.但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法2和方法4也是不错的选择.方法5,6就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解，一些传统的几何问题正变着花样出现，比如2020年山东卷22题.给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱.把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足：，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足，求直线与直线的斜率之和.解析：（1）因为，所以，轨迹是以点，为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，

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