（参考答案）直线、圆、椭圆基础强化训练（一）

直线、圆、椭圆基础强化训练（一）直线、圆、椭圆基础强化训练（一）直线1.已知直线经过点A，求：（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程；

解：（1）若直线的截距为，则直线方程为；若直线的截距不为零，则可设直线方程为：，由题设有，所以直线方程为：，综上，所求直线的方程为。（2）设直线方程为：，，而面积，又由得，等号当且仅当成立，即当时，面积最小为12所求直线方程为直线与圆1.若圆：与线段：有且只有一个交点，则的取值范围_________．2.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为___(x－3)2＋y2＝2_______．3.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是[]4.己知点和圆：，一条光线从点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从点到切点所经过的路程是．5.已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切.（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于A,B两点，求实数的取值范围；解：（1）设圆心为。由于圆与直线相切，且半径为5，所以因为m为整数，故m=1。故所求圆的方程为。 (2)把直线代入圆的方程，消去y整理，得。由于直线交圆于A，B两点，故。即，由于，解得。所以实数的取值范围是。 6.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且(其中O为坐标原点)求m的值；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解：(1)x2+y2-2x-4y+m=0即(x-1)2+(y-2)2=5-m(2分)

若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5

(2)x=4-2y代入得5y2-16y+8+m=0

∵△=(-16)2-4×5×(8+m)＞0

∴，

∵得出：x1x2+y1y2=0而x1x2=(4-2y1)•(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2

∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0，∴满足故的m值为．

(3)设圆心为(a，b)，且O点为以MN为直径的圆上的点

半径圆的方程

7.已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

(1)若∠APB=60°，试求点P的坐标；

(2)若P点的坐标为(2，1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；

(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP=2，所以(2m)2+(m-2)2=4，

解之得：，

故所求点P的坐标为P(0，0)或．

(2)设直线CD的方程为：y-1=k(x-2)，易知k存在，

由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，

解得，k=-1或，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．

(3)设P(2m，m)，MP的中点，

因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，

故其方程为：

化简得：x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0，此式是关于m的恒等式，

故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0，

解得或

所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0，2)或(，)8.已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，（1）求圆C的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（3）设直线与圆交于，两点，过点的直线垂直平分弦，这样的实数是否存在，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意圆心，半径故圆的方程为即……4分（2）设直线的斜率为（存在）则方程为.又圆C的圆心为，半径，由弦长为，故弦心距………………5分由，解得.所以直线方程为，即.……7分当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.的方程为或……………………9分（3）把直线即．代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．………………11分设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以．由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．……………16分椭圆1.点P为椭圆上一点，为其左、右焦点，且，点为的中点，则线段的长为_____________．2.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角θ，使．则直线与的斜率之积为▲；3.已知椭圆E：的右焦点为F，离心率为，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为，则椭圆方程为．4.已知直线与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为▲.5.已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．（1）6分（2）设直线的方程为，并设点将直线方程代入到椭圆方程中可得，9分11分又因为点到直线的距离为，所以，当且仅当,满足题意.13分所以△PAB的面积最大值为2.14分

6.设椭圆E:（）过两点，其中为椭圆的离心率，为坐标原点.（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.（）……6分（II）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A，B两点当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为①联立方程得要使,需使,即,所以,②…10分,,所求的圆为,……………12分而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,…14分综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.………………16分考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.7.已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．解⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．…4分⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．……………10分⑶设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．………………16分8.如图，点分别是椭圆的左、右焦点．点是椭圆上一点，点是直线与椭圆的另一交点，且满足轴，．（1）求椭圆的离心率；（2）若的周长为，求椭圆的标准方程；（3）若的面积为，求椭圆的标准方程．解：（1）解法1：在中，．……………5分解法2：中，则，代入并利用化简整理得，即，，，．（2）由椭圆定义知，∴的周长为，∴则，故椭圆的标准方程为．……………10分（3）解法1：由（1）知则，于是椭圆方程可化为，即，设直线的方程为，代入化简整理得，或，则点的横坐标为，∴点到直线的距离为，∴的面积为解得，故椭圆的标准方程为．……………16分解法2：设，则，在中由余弦定理得：,即，化简整理得，∴又∵轴，，∴点到直线的距离为，∴的面积为解得，故椭圆的标准方程为．9.已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为4的正方形.（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点.证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若