恒成立问题中的主元变换

恒成立问题中的主元变换法偏导数是高等数学中多元函数微分学里的重要概念之一.例如二元函数，其偏导数的基本求法便是：对求导时，就假定是常数，仅对函数中所有变元求导得到，对求导时，方法亦然.比如：若函数，则求导可得：.我们都知道，高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为，若将参数也视为自变量的话，那么就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法.近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决.基于此，本文就通过几个典例来展示主元法的基本应用手法.主元变换在高考中最经典的例子就是2019年浙江卷导数压轴，这个题目很难，我们共赏之，从例2开始，我介绍一些具有操作性的主元变换例子.例1.（2019年浙江卷）.已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围.解析：(1)当时，，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由，得，当时，，等价于，令，则，设，，则，（i）当时，，则可得：故，满足题意.（ii）当时，，令，则，故在上单调递增，，由（i）得，，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是．注：欲证不等式，此题以为主元构造二次函数讨论易行，若以为主元此题函数过于复杂，很难通过求导找到单调性与最值.上面的实例给出了一个很重要的技术手段：必要性探路+主元变换，先必要性探路，得到参数范围后，我们当然也可以变换主元，从简单的视角来证明，下面回到刚考的2023届成都一诊导数压轴.例2.（2023届成都一诊）已知函数.（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明；（2）若，求的取值范围.解析：（1）略；（2）由.设，求导.设，，，∴时，单调递减，.，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，故，时，.即，在上单调递减，则时，.由（1）知，，故时，.即恒成立.下面这个例子可以看做是2019年浙江卷的弱化版，可以做练习.例3.已知正实数，设函数．（1）若时，求函数在的值域；（2）对任意实数均有恒成立，求实数的取值范围．解析：（1）由，得，，所以在单调递增，，所以在单调递增，所以．所以的值域为.（2）由题意可得：，即．事实上，当时，记，设，则为关于的二次函数，定义域为，其对称轴为．∵．∴∴，设当，，递增；当，，递减，所以，即，于是有：.所以：．有关函数凸凹性（詹森不等式）背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子来说明双变量中的主元方法.例4.已知函数，若，试比较与的大小．解析：不妨设，，，令(a)，则，当时，；当时，，在上单调增，在上单调减，当时，(a)，由，故，则．例5.设函数．（1）求的极值；（2）若，证明：．解析：（1）函数，则，令，解得：，且当时，，时，因此：的极小值为（2）构造函数，，，，，在上是单调递增的；故(b)(a)，即：另一方面，构造函数，，在上是单调递减的，故(b)(a)即：综上，．三．习题演练习题1.已