庄楚强 应用数理统计二

应用数理统计第二章数理统计基本概念1、设为0—1分布的一个样本，问：（1）求样本均值的期望与方差；（2）求修正样本方差的期望；（3）试证。解：由于，所以，（1）（2）（3）由于，所以，故，得证。2、设总体，为其样本，问：（1）求样本方差的分布密度；（2）求样本标准差的分布密度。解：（1）由于，所以根据定理，，而的分布密度为：，所以样本方差的分布密度为：同理，样本标准差的分布密度为：3、设，而，求的分布密度。解：由于，所以的分布密度为：根据题意，，所以，且，所以，所以的分布密度为：整理得：4、某半导体厂生产的某种零件厚度，为保证质量，规定当时，认为生产过程处于良好控制状态。为此，每隔一定时间抽一个零件测量它的厚度，共抽取20个零件作为一个样本，并计算样本方差。若（此时用），则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：（1）为何值时，的概率才小于或等于0.01？（2）若取得的一个样本的标准差，生产过程是否处于良好的控制状态？解：（1）由定理可知：，即，所确定的失去良好控制的标准，即。由分布表，查得，故，即。（2）根据题意，得：，所以，解得：，因此生产过程处于失控的状态。5、设总体的密度函数为，取出容量为4的样本；（3），求：（1）顺序统计量的密度函数；（2）的分布函数。解：根据题意，总体的分布函数为函数，当时，顺序统计量的密度，即：。，所以的分布函数。第三章参数估计1、设总体的密度函数为，为其样本，求参数的矩估计量与极大似然估计量，现得到样本值为0.1，0.2，0.9，0.8、0.7、0.7，求参数的估计值。解：（1）根据题意，。解得，，所以参数的矩估计量，代入样本均值，得：。（2）根据题意，似然函数，取对数得：。令，解得：，所以参数的极大似然估计量，代入样本值，计算得：。2、已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为：1067、919、1196、785、1126、936、918、1156、920、948，设总体参数均为未知，试用极大似然估计法估计这星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率。解：由于，所以其似然函数，取对数得：令，解得：根据定理，由于，所以，故所求概率为：，计算得，，代入上式中计算得：3、设是总体的一个样本，试选择合适的常数，使为的无偏估计量。解：由于，，且彼此相互独立，故，，于是，从而，所以，解得：。4、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为：2.14、2.10、2.13、2.15、2.13、2.12、2.13、2.10、2.15、2.12、2.14、2.10、2.13、2.11、2.14、2.11，设钉长分布为正态的，试求总体均值的90%置信区间：当（1）若已知；（2）若为未知。解：（1）根据题意，当为已知时，总体均值的置信水平为的置信区间为：其中，，，查表得，，代入上式中得：的置信区间为：，即：总体均值的90%置信区间为。（2）根据题意，当为已知时，总体均值的置信水平为其中，得：，，查表得，，，代入上式中，即：总体均值的90%置信区间为。5、随机地从A批导线中抽取4根，B批导线中抽取5根，测得其电阻（）为，A批导线：0.143、0.142、0.143、0.137；B批导线：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140，设测试数据分别服从正态分布和，并且相互独立，又均为未知，试求的95%的置信区间。解：根据题意，的置信水平为的置信区间为：其中，，，，查表得，，，，，所以，代入上式中得：，即：的95%的置信区间为。6、某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现在从两个不同班次的产品中各抽验了5个套筒，测定它们的直径，得如下数据，A班：2.066、2.063、2.068、2.060、2.067；B班：2.058、2.057、2.063、2.059、2.060，试求两班次所加工的套筒直径的方差之比的90%的置信区间。解：根据题意，的置信水平为的置信区间为：其中，，，查表得，，，，代入上式中得：，即：两班次所加工的套筒直径的方差之比的90%的置信区间为。第四章假设检验1、两位化验员A、B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一种方法做了5次分析，得到修正样本方差分别为0.4322和0.5006，若A、B测定值的总体都服从正态分布，其方差分别为0.05下检验方差齐性，假设、，试在显著性水平。解：根据题意，在显著性水平下，检验方差齐性，即检验的拒绝域为：其中，，，查表得，，。因为，所以接受，即认为在显著性水平0.05下方差具有齐性。2、甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠，由过去的经验知道，滚珠的直径服从正态分布，其期望值等于设计值。现从这两台机床的产品中抽取8个和9个，测得滚珠的直径如下，甲机床：15、14.5、15.2、15.5、14.8、15.1、15.2、14.8；乙机床：15.2、15、14.8、15.2、15、15、14.8、15.1、14.8，问：乙机床的加工精度是否比甲机床的高？（）解：根据题意，在显著性水平下，检验的拒绝域为：，其中因为，，，查表得。，，，，所以接受，即认为在显著性水平0.05下，乙机床的加工精度比甲机床的高。3、从总体中抽取容量为80的样本，频数分布如下表，试问在显著性水平下，总体的分布密度是否可信。区间频数6182036解：根据题意，在显著性水平下，检验的拒绝域为：总体的分布函数为，其中，，，查表得，的值列表计算于下表，区间实际频数理论概率理论频数65130.20.611820361525-5135800.0291.8291因为，所以接受，即认为在显著性水平0.025下，总体的分布函数为可信，即总体的分布密度可信。4、下表为某种药治疗感冒效果的列表，试问疗效与年龄是否无关？（）年龄疗效儿童成年老年显著一般较差5828384432451491128117552318109100300解：根据题意，在显著性水平下，检验的拒绝域为：该种感冒药的疗效与年龄相互独立，其中，，查表得，。因为，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，该种感冒药的疗效与年龄有关。5、甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标的波动情况，从这两个车间连续13天取得反映波动大小的数据如下，甲车间：1,13、1.26、1.16、1.41、0.86、1.39、1.21、1.22、1.20、0.62、1.18、1.34、1.57；乙车间：1.21、1.31、0.99、1.59、1.41、1.48、1.31、1.12、1.60、1.38、1.60、1.84、1.95。在的分布重合”。下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况解：根据题意，在显著性水平下，检验重合，这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布的拒绝域为：其中，，查表得，的值列表计算如下表：甲车间乙车间符号1.131.21-1.261.31-1.161.411.59-0.861.41-1.391.48-1.211.31-1.221.12+1.201.60-0.621.38-1.181.60-1.341.84-1.571.95-0.99+因为，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布不重合。6、容量，的样品，描述两个班的劳动生产率如下，第一班：28、33、39、40、41、42、45、46、47；第二班：34、40、41、42、43、44、46、48、49、52，在显著性水平下，两个班的劳动生产率是否相同？解：根据题意，在显著性水平下，检验的拒绝域为：两个班的劳动生产率相同，其中，，，，查表得，的值列表计算如下表：秩第一班第二班12345678910451146461247134814491552283339404041414242344344因为，所以计算因为，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，两个班的劳动生产率不相同，存在显著性差异。第五章回归分析1、合成纤维的强度与其拉伸倍数有关，测得实验数据如下，问：（1）求对的回归xiyi2.01.32.52.52.72.53.52.74.03.54.54.25.25.06.36.47.16.38.07.09.08.010.08.1直线；（2）检验回归直线的显著性（度为0.95）。）；（3）求时，的预测值及预测区间（置信解：经计算得，，，，，，，（1）于是得：，，从而得到对的回归直线为：。（2）在显著性水平下，检验的拒绝域为：其中，，，查表得，回归平方和，残差平方和。，因为，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，直线的回归性显著。（3）时，的回归值为，计算预测半径，得：，所以的预测区间为，即的预测区间为。2、某公司在15个地区的某种商品的销售额和各地区的人口数以及平均每户总收入数的统计资料如下表，求：（1）对、的回归平面方程；（2）对所得的回归方程进行274180375205862659833019553430372236157370xi1xi2245032543802283823473782300824502137256040204427266020882605显著性检验（）；（3）对、的显著性进行检验（）。解：经计算得，，，，，，，，，，，（1）采用Matlab软件计算矩阵的逆矩阵，得：，于是得，，从而得到对、的回归平面方程为。（2）在显著性水平下，检验的拒绝域为：其中，，，，查表得，回归平方和，残差平方和，。因为，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，回归平面方程的回归性显著。（3）在显著性水平下，检验的拒绝域为：其中，，，，查表得，，所以，。因为，，所以拒绝，即认为在显著性水平0.05下，各地区的人口数以及平均每户总收入数对某种商品的销售额的线性影响都是显著的。3、某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量与样本点对原点的距离有如下实测值：xiyi23457810111415161819106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49110.59110.60110.90110.76111.00111.20分别按（1），（2），（3）建立对的回归方程，并用相关系数指出其中哪一种相关最大。解：将上表作如下变换：xi234578101114151618191.41421.73212.00002.23612.64582.82843.16233.31663.74173.87304.00004.24264.35890.69311.09861.38631.60941.94592.07942.30262.39792.63912.70812.77262.89042.94440.50000.33330.25000.20000.14290.12500.10000.09090.07140.06670.06250.05560.0526yi106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49110.59110.60110.90110.76111.00111.20记，，。所以，经计算得：；，，，，，，；，，，。，，。（1）于是得：，，从而得到对的回归直线为：相关系数。（2）于是得：，，从而得到对的回归直线为：相关系数。（3）于是得：，，从而得到对的回归直线为：相关系数。，为最大。第六章方差分析及正交试验设计1、由三位教师对同一个班的作文试卷评分，分数记录如下，给定显著性水平，试A1A2A3738868897880824855439193805472738571657487627742475061957868606553777679961580分析由三位教师给出的平均分数有无显著性差异。解：根据题意，在显著性水平下，检验由三位教师给出的平均分数无显著性差异，的拒绝域为：其中，，，查表得，，，所以，。因为，所以接受，即认为在显著性水平0.05下，由三位教师给出的平均分数无显著性差异。2、在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度和四种不同温度情况做试验。为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种组合下各做两次试验，其得率数据如下面的表所示（数据均已减去75）：温度B1B2B3B4浓度A1A2A314，109，75，1111，1110，813，1413，97，1112，1310，126，1014，10试在的显著性水平下，检验不同浓度，不同温度以及它们的相互作用对得率有无显著影响。解：根据题意，在显著性水平下，检验响，不同浓度，不同温度以及它们的相互作用对得率无显著影的拒绝域为：的