2023年经济数学基础期末复习

经济数学基础期末复习第１章函数复习知识点:函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析中的几个常见函数、建立函数关系式复习规定：(1)理解函数概念,掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值;（2)了解复合函数概念,会对复合函数进行分解;(３)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；(４)知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、重要性质及图形；(５)了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念;下面我们来看例题．例1设，则=(）．A．xＢ.x+１C．x+２D.x＋3解由于，得＝将代入，得=对的答案:D例2下列函数中，（)不是基本初等函数．A.B．Ｃ．D．解由于是由，复合组成的,所以它不是基本初等函数.对的答案:B例3设函数,则（ ﻩ)．A.=Ｂ．C. D．＝解由于,故且,所以对的答案:C例4生产某种产品的固定成本为１万元，每生产一个该产品所需费用为20元,若该产品出售的单价为30元,试求:(１）生产件该种产品的总成本和平均成本；(２)售出件该种产品的总收入；(3)若生产的产品都可以售出，则生产件该种产品的利润是多少？解（1)生产件该种产品的总成本为；平均成本为：．(2)售出件该种产品的总收入为：．(3）生产件该种产品的利润为:==第2章一元函数微分学复习知识点：极限的概念、无穷小量与无穷大量、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性和间断点、导数的定义、导数的几何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数求导法则、高阶导数、微分的概念及运算法则复习规定：⑴了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且相等；⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质;⑶掌握极限的四则运算法则,掌握两个重要极限,掌握求简朴极限的常用方法;⑷了解函数在某点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,知道连续与极限；会判断函数在某点的连续性；⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程,知道可导与连续的关系；⑹纯熟掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则,掌握求简朴的隐函数导数的方法;⑺知道微分的概念，会求函数的微分；⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数.下面我们举一些例题复习本章的重点内容．例5极限．解由于当时，是无穷小量,是有界变量．故当时,仍然是无穷小量．所以0．对的答案：0例6若，则在点处(） A.有定义B．没有定义ﻩC．极限存在Ｄ.有定义，且极限存在解函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关.对的答案：C例7当ｋ时,在处仅仅是左连续.解由于函数是左连续的，即若即当1时，在不仅是左连续，并且是连续的.所以,只有当时,在仅仅是左连续的．对的答案:例8若，则（ )．Ａ.0B．Ｃ．ﻩＤ．解由于是常数函数,常数函数是可导的,并且它的导数是0．所以由导数定义可得=0对的答案:A注意：这里的不是余弦函数．例9曲线在点(1,０）处的切线是(）.A．ﻩﻩﻩＢ.C. D.解由导数的定义和它的几何意义可知,是曲线在点(1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即对的答案:Ａ例１０已知,则＝(）．A.Ｂ.C.D．６解直接运用导数的公式计算:,对的答案：B例11计算下列极限(1)(2)（3)(1）解对分子进行有理化,即分子、分母同乘,然后运用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即===（２)解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法则和连续函数定义进行计算.即（３)解先通分,然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即=例12求下列导数或微分：(1）设，求．（2）设，求.(3）设，求．(1)解由于且注意：求导数时，要先观测函数,看看能否将函数化简,若能,应将函数化简后再求导数，简化计算过程．导数运算的重点是复合函数求导数,难点是复合函数求导数和隐函数求导数．（2)解由于=所以(３）解 ﻩ 复合函数求导数要注意下面两步:=１\*GＢ3①分清函数的复合环节，明确所有的中间变量;=2\*ＧB3②依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来.第3章导数的应用复习知识点：函数的单调性、函数的极值和最大（小)值、导数在经济问题中的应用复习规定:⑴掌握函数单调性的判别方法,会求函数的单调区间；⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法,知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值;⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法;⑷纯熟掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等）.下面通过例题复习本章重点内容例13函数的单调增长区间是.解由于令，得故函数的单调增长区间是．对的答案:例14满足方程的点是函数的（)．A．极大值点B.极小值点C.驻点Ｄ．间断点解由驻点定义可知，对的答案：C例１5下列结论中()不对的．Ａ.在处连续,则一定在处可微．B．在处不连续，则一定在处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上．D.若在［a，b］内恒有,则在［a，ｂ]内函数是单调下降的.解由于函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，对的答案:A求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一，要掌握运用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题的方法.下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自己练习. 例1６生产某种产品台时的边际成本（元／台）,固定成本5０0元，若已知边际收入为试求（1）获得最大利润时的产量；(2)从最大利润的产量的基础再生产1０0台,利润有何变化？解(1）＝=令,求得唯一驻点.由于驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2023时，可使利润达成最大．(2)在利润最大的基础上再增长１00台,利润的改变量为ﻩ即利润将减少2500元．第4章一元函数积分学复习知识点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分复习规定:⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念,知道不定积分与导数（微分)之间的关系;⑵纯熟掌握积分基本公式和直接积分法;⑶掌握第一换元积分法(凑微分法)、分部积分法；⑷知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分.下面通过例题复习本章重点内容例17假如,则＝．解根据不定积分的性质可知ｆ(x）=且=对的答案:例18设的一个原函数是,则(ﻩ ）.Ａ.ﻩﻩＢ. C. ﻩﻩD．ﻩ解由于的一个原函数是，故（=所以对的答案：B例19广义积分=．解由于=所以对的答案：例２0计算不定积分解用第一换元积分法求之.＝==例21计算定积分解用分部积分法求之．=＝=例22．计算定积分解由于,当时，,即;当时,,即;===1+1＋1+１=4第5章积分应用复习知识点:积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程复习规定:(1)纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法;(2)了解微分方程的几个概念，掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法,会求一阶线性微分方程的解．用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中，并且经常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题．有关的例题，我们在第３章中已经讲过,这里就不在举例了.微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解(也就是通解、特解)，线性微分方程等，这些概念大家要比较清楚的．比如例23是阶微分方程．解由于微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数是２次，所以它是2阶微分方程．对的答案：2例24微分方程的通解是().A.Ｂ.C．Ｄ.解用可分离变量法很容易求解,因此，对的答案:B例25求微分方程满足初始条件的特解．解将微分方程变量分离，得，等式两边积分得将初始条件代入，得.所以满足初始条件的特解为：第6章数据解决考核知识点：总体与样本、重要特性数复习规定：了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念,掌握它们的计算方法;例26设一组数据=0,=10,＝２0,其权数分别为,,,则这组数据的加权平均数是(）．A.12B.10Ｃ.6D.4解由于加权平均数是=12所以,对的答案：A第七章随机事件与概率复习知识点:随机事件与概率、事件的关系与运算、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性复习规定：⑴知道随机事件的概念，了解事件互不相容和对立事件等概念，;⑵了解概率的概念及性质，会计算简朴古典概型问题;⑶了解条件概率概念,掌握概率的加法公式和乘法公式;⑷理解事件独立概念,掌握有关计算．下面举几个例题来说明这一章的重点.例2７．对任意二事件，等式(）成立.Ａ．B．Ｃ.D.解由概率乘法公式可知，对的答案:D例2８掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为３”的概率是(）.A.B.Ｃ.D.解两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有66=3６个，而“点数之和为3”的事件具有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为.对的答案：Ｂ例2９．假设事件互相独立，已知，求事件只有一个发生的概率．解只有一个发生的事件为:，且与是互斥事件,于是=＝=例3０．已知，，,求.解由于,且与是互斥事件，得所以， ﻩ例３1有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒,求至少有一粒发芽的概率.解设A表达甲粒种子发芽,B表达乙粒种子发芽，则A,Ｂ独立,且P()=0.15，P（）=0.25故至少有一粒发芽的概率为：P（A＋B)=１－P()＝1-P（)=1-P()P(）=1–0.１50.25=0．9625例32已知事件,,互相独立,试证与互相独立.证由于事件，,互相独立,即，且＝==所以与互相独立．第8章随机变量与数字特性复习知识点：两类随机变量、常见分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布)、盼望与方差复习规定:⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质;⑵了解随机变量盼望和方差的概念及性质，掌握其计算方法;⑶了解二项分布,记住它的盼望与方差;⑷理解正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差．纯熟掌握将正态分布化为标准正态分布的方法.纯熟掌握正态分布的概率计算问题．将一般正态分布化为标准正态分布的公式：它们的概率计算公式:,下面举几个例子说明本章的重点：例３３设随机变量的概率分布为--10120.10.2a0.4则a=.解根据离散型随机变量的概率分布的性质:对的答案:０.3例34设，且，,则ｎ=．解根据二项分布的盼望和方差的定义：得1－ｐ=0．6，ｐ=0.4，n＝１5对的答案：15例35设随机变量X的密度函数为求(1)常数a；(2)解(1)根据密度函数的性质 ﻩ1===1－（a-2）3得a=2所以(２)====例36某类钢丝的抗拉强度服从均值为1０0(kg/cm2),标准差为５(kｇ／cｍ2）的正态分布,求抗拉强度在90~１1０之间的概率．((1)=0.8４13，（2)＝0.９７72)解设钢丝的抗拉强度为X,则X~N（10０，5２），且．Ｐ（90<X＜11０)==(2）-(－2)＝2(2)-1＝0.9544第9章矩阵复习知识点:矩阵概念与矩阵的运算、特殊矩阵、矩阵的初等行变换与矩阵的秩、可逆矩阵与逆矩阵复习规定：⑴了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念;⑵纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质.⑷理解矩阵初等行变换的概念，纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足互换律,即一般不成立.矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵及矩阵，不能推出.但当可逆时，.矩阵，也许有．下面举例说明本章的重点:例3７设矩阵，I是单位矩阵,则＝__＿___＿_＿.解由于＝，＝=所以=.对的答案：该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵；假如矩阵运算成立，也不一定是方阵．例38矩阵的秩是（)A.1Ｂ.2Ｃ．3D．4解化成阶梯形矩阵后,有3个非0行，故该矩阵的秩为3.对的答案:C例39设矩阵A=，B＝，计算（BA)-1.解由于BA=＝（BAI)=所以(BA)-１=例40设矩阵,求矩阵解由于所以例41设A,B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵.证ﻩ由于A,B是对称矩阵，即且 ﻩﻩ 根据对称矩阵的性质可知，ＡB＋ＢA是对称矩阵.第10章线性方程组复习知识点:线性方程组、消元法、线性方程组有解鉴定定理、线性方程组解的表达复习规定：⑴了解线性方程组的有关概念,纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解;⑵理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理.非齐次线性方程组ＡX＝b的解的情况归纳如下:ＡX＝b有唯一解的充足必要条件是秩（）=秩(Ａ)=n