选修2-3第01讲排列与组合

第1讲排列与组合组一、选择题1．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有 x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有 y种不同的方案，其中 x y的值为（ ）A．1269 B ．1206 C ．1719 D ．756【答案】A【解析】将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x36729种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则首先将6人分成3组，3组的人数为2,2,2或1,2,3或1,1,4，这样无序分组的方法有C62C42C22C61C52C33C61C51C4490种，然后将3个小组与3个A33A22比赛对应，又有A33种，则共有y90A33540种不同的方案，所以y7295401269，故选择A，注意无序分组中均匀分组与非均匀分组的计数区别，否则会犯错 .2．某校周四下午第三、四两节是选修课时间 ,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课 ,丙、丁教师各自最多可以开设一节课 .现要求第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课（不必考虑教师所开课的班级和内容） ,则不同的开课方案共有（ ）种。A、20 B 、19 C 、16 D 、15【答案】B【解析】不同的开课方案分四类：第一类，只有甲、乙两人开课，他们每人开设两节，只有一种方案；第二类，甲乙两人开课，同时，丙丁两个中恰有一人开课，这样的方案有C21A21A218种；第三类，甲乙两人中只有一人开课，丙丁两人均开课，这样的方案有A21A224；第四类，甲乙丙丁四人全部开课，第人一节，这样的方案共有C42C226种；由分类加法原理知不同的开课方案共有19种，故选B.3．6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（）A．72B．120C．144D．288【答案】D【解析】先排甲，再排乙，C3C2A4288，故选D.4344．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，试卷第1页，总14页每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）种A．50 B ．51 C ．140 D ．141【答案】D【解析】因为第1天和第7天吃的水果数相同，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中水果数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有C60C61C51C62C42C63C33141种5．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种【答案】D【解析】不同的分法可能是小说每人一本，诗集给其中1人，共有C41＝4种分法，可能有1人分得两本小说，则有A4412种分法，因此共有4＋12＝16种不同的分法．故选D．A226．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（）A．C83B．C83AC83C．C83C22D．3C83【答案】C【解析】从8人中任选3人有C83种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C83A22种．故选C．7．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．240种B．288种C．192种D．216种【答案】D【解析】最前排甲，共有 A55 120种，最前只排乙，最后不能排甲，有 A14A44 96种，根据加法原理可得，共有 120 96 216种，故选D．8．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ）A.72种B.52种C.36种D.24种【答案】C【解析】A55 2A22A32 A33A33，即先求出总的可能，然后减去甲丙或乙丙相邻，再减去甲乙丙试卷第2页，总14页三个相邻的事件 .9．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2 9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种1 2 34 5 67 8 9A．18 B ．36 C ．72 D ．108【答案】D【解析】3 (12 2 2) (12 2 2) 108．故选D．（1）弄清完成一件事是做什么 .2）确定是先分类后分步,还是先分步后分类.3）弄清分步、分类的标准是什么.4）利用两个计数原理求解.10．如图，图案共分 9个区域，有 6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中 2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）A．360种 B ．720种 C ．780种 D ．840种【答案】B【解析】先排1，有6种方法，再排2,3,4,5有A54种方法，故一共有6A54720种.11．2014年3月8日，马肮MH370航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有3个水下机器人A,B,C和2个蛙人a,b,各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安11个蛙人下水，其中C不能安排在第一个下水,A和a必须相邻安排个水下机器人或排，則不同的搜寻方式有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【答案】B【解析】试卷第3页，总14页A和a捆绑，相当于 4个，先排第一位，则方法数有 2 C13A33 36种.12．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A．7200 B ．3600 C ．2400 D ．1200【答案】A【解析】由题意得，6个人之间形成 5个空，插入3个座位，可得不同的坐法共有 A65C53 7200种，故选 A.13．某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文考试必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（ ）种不同的考试顺序A．36 B ．48 C ．72 D ．112【答案】C【解析】先排语文,有1种排法,再排除了数学和英语外的3科,全排列有A336种,把数学和英语插在这3科的空中有A4212种排法,利用分步乘法计数原理,共有161272种排法.故选C.二、填空题14．某广场中心建造一个花圃，花圃分成 5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 则不同的栽种方法有 种．（用数字作答）【答案】72【解析】根据题意，分析可得本题是分类计数问题，分2种情况讨论，当选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色，从4中颜色中选3中，在三个元素上排列；当4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，先选出同色的一对，再用四种颜色全排列，由分类计数原理计算可得答案．解：由题意，分2种情况讨论：第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法33=24种，43第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有14C2?A4=48种，根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．故答案为72．15．将编号为 1、2、3、4、5的五名同学全部安排到 A、B、C、D四个班级上课，每个班级至少安排一名同学，其中 1号同学不能安排到 A班，那么不同的安排方案共有试卷第4页，总14页种．【答案】72【解析】由题意得，首先分析 1号同学，1号可以放在 B、C、D三个班上，有 3种情况，再分两种情况讨论其他四名同学，即（ 1）B、C、D三个班上每班一个；（2）B、C、D三个班中一个班一个，另一个班两人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他四人的情况数目，由分类计数原理计算可得出答案；16．从4名男同学、3名女同学中选 3名同学组成一个小组， 要求其中男、女同学都有，则共有 种不同的选法．（用数字作答）【答案】30【解析】由题意得，从7个人中不讲顺序的挑3个人，共有C7335种，除掉不符合题意的事件有：3名全部是女生的有C331种，3名全部是男生的有C434种，所以符合题意的选法共有30种17．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法______种．【答案】15【解析】不选既会唱歌也会跳舞的学生，选法有：C32C216种；既会唱歌也会跳舞的学生参加唱歌，选法共有C31C216种；既会唱歌也会跳舞的学生参加跳舞，选法有：C323种，所以共有66315种．18．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种.【答案】150【解析】分配的方案为“311”“，221”，对应种数为C53A33及C51A31C42,共有C53A33C51A31C42150.及19．将6位志愿者分成4组，每组至少1人，至多2人分赴第五届亚欧博览会的四个不同展区服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.【答案】1080【解析】由题设6人应分成2,2,1,1四组,不同的分法种数为C62C42A2245,故分赴第五届亚欧博览会展区服务,则不同分配方案有45A441080,应填1080.20．2016年11月，举办了亚太经合组织第二十三次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，若中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种（用排列组合表示）．试卷第5页，总14页【答案】A22A1818【解析】先让中国领导人站在第一排正中间位置共一种站法，再让美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧共 A22站法，最后，另外18个领导人在前后共 18位置任意站，共有A1818种站法，所以，根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 A22A1818种，故答案为 A22A1818.三、解答题21．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】（1）为保证“恰有 1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“ 4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4个球分成 2，1，1的三组，然后再从 3个盒子中选 1个放2个球，其余2个球放在另外 2个盒子内，由分步计数原理，共有 C14C42C31 A22 144（种）（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．（3）确定2个空盒有C42种方法．4个球放进2个盒子可分成3,1、2,2两类，第一类有序不均匀分组有C43C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C42C2222312C42C222（种）A22A2种方法，故共有C4C4C1A2A22A284放法．组一、选择题1．西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有（）A．36种B．68种C．104种D．110种【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C31)A268种;第二类有72(C72C32)A2236种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.2．用2种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中相邻矩形颜色不同的概率是（）试卷第6页，总14页A．1B．1C．3848D．12【答案】B【解析】用2种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色,由乘法分步原理可得共有涂色方法2228种,其中相邻矩形颜色不同有2112种,则所求概率为21,故本题答案选B.843．某学校一共排7节课（其中上午4节，下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（）A．16B．15C．32D．30【答案】C【解析】运用分类计数原理求解：若第一节排课，则有5种排课方式；若第二节排课,则有4种排课方式；若第三节排课,则有3种排课方式；若第四节排课,则有3种排课方式；若第五节排课,则有1种排课方式。由分类计数原理共有2(54331)32种排课方式.故应选C。4．牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（）A．15种B．30种C．90种D．180种【答案】B【解析】不同的分配方法共有C51C4230,选B.5．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,29的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A．18B．36C．72D．108【答案】D【解析】把区域分为三部分，第一部分3、5、7，有3种涂法．第二部分6、8、9，当5、9同色时，6、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、9异色时，1有2种涂法，2、4均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．6．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（）试卷第7页，总14页A．60 B ．75 C ．105 D ．120【答案】D【解析】由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；C95C651266120种选法．7．将7个人（其中包括甲、乙、丙、丁4人）排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（）A．1108种B．1008种C．960种D．504种【答案】B【解析】丙、丁两人必须相邻,可看成一人,将6人全排列有A22A66,将甲排在排头,有A22A55种排法,乙排在排尾有A22A55种排法,甲排在排头,乙排在排尾有A22A44种排法,则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有A22A66A22A55A22A55A22A441008.故本题答案选B．8．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A．24B．96C．144D．210【答案】B【解析】如果1,2连，方法数有A4424中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496种．9．四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中的一项，不同报名方法共有（）A．12B．64C．81D．7【答案】C【解析】对于三项活动来讲，每名同学都能选报，因此有333381种报名方法，应选C.10．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A、B、C、D、E，除B与E、D与E不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A．48种B．36种C．24种D．8种【答案】A【解析】单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，两天可分成四个时段，每个时段[即某个上午或下午]有两次，各个时段没有关系．设第一次会晤有E，则有两种方法（不防设为AE），则第二次会晤在BCD内任选（设为BC），有三种方法，第三次设再有E则有一种方法（CE），第四次在ABD内任选则有两种方法（设为AD），则剩下的排序只有4种，则有2×3×1×2×4=48种11．老师有同样的作文练习2本，同样的英语练习3本，从中取出4本送给4位学生，每位学生1本，则不同的送法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【答案】B试卷第8页，总14页【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本英语练习本一本作文练习本，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本作文练习本2本英语练习本，只要选两个人拿作文练习本C426种，根据分类计数原理知共10种12．若从1,2,3，⋯，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A.60种B.63种C.65种D.66种【答案】D【解析】要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有C441种结果，当取得4个奇数时，有C545种结果，当取得2奇2偶时有C2C261060种结果,共有156066种结果.故答案为D.4513．3名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（ ）．B．12C．43A33D．4【答案】D【解析】根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案.根据题意，每个同学可以在艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组中任选1个，有4种选法，则3名学生一共有444=43种不同的报名情况.故选D.14．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）种（A）30（B）600（C）720（D）840【答案】C【解析】总方法数有A74种，甲乙不参加的有A54种，故有A74A54720.二、填空题15．8个相同的球放入标号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，共有________种不同的放法．【答案】21【解析】将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，共有16．六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为。【答案】144【解析】当所取四位数字不含0时，不同的四位奇数的个数为C31A4372；当所取四位数字含0试卷第9页，总14页时，不同的四位奇数的个数为C31C21A4272,所以不同的四位奇数共有144个.17．某校高一开设4门选修课,有4名同学,每人只选一门,恰有2门课程没有同学选修,共有种不同的选课方案．(用数字作答)【答案】84【解析】先确定同学选修的2门：C426,再确定4名同学选法24214，共有61484种不同的选课方案18．某班准备了5个节目将参加学校音乐广场活动（此次活动只有5个节目），节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有_________种．【答案】10【解析】分两类:第一类甲排首位,丙排末尾,其它全排A336；甲排第二位,丙排末尾,由于乙不排首位,所以只有两个位置选排,其它全排A222,共有224,共有4610种排法．19．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有种．【答案】12【解析】第一步，为甲地选一名老师，有C21=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有C42=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种20．亚欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有___________种.【答案】252【解析】若甲队取胜，比赛结果可能是5：0，5：1，5：2，5：3，5：4；5：0只有1个过程，5：1共6场，乙队在前6场中胜一场，有C61种不同过程；5：2共7场，乙队在前7场中胜二场，有C72种不同过程；5：3共8场，乙队在前8场中胜三场，有C83种不同过程；5：4共9场，乙队在前9场中胜四场，有C94种不同过程；C6012C834C105252种.所有可能出现的比赛过程有C6C7C921．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，试卷第10页，总14页每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ．【答案】 84【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有C52C32A33种，其中有、甲乙二A22人或丙丁二人在同一组有A334A33种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有C21C21A33种.故满足条件的分法共有C52C32333113906242484种.A22A3A34A3C2C2A322．已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为.（用数字作答）【答案】72【解析】身穿同一种队服的球迷3人,有A336种，由于要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,利用插空法可得2A3312种，利用乘法原理可得不同的排法种数为61272种.故填72.5位选手参加，其中323．在新华中学进行的演讲比赛中，共有位女生、2位男生.如果这2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为______.【答案】60【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有A42A3372（种），若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有A32A2212（种），∴满足条件的出场顺序有 72 12 60（种）排法,故填：60.三、解答题24．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着 2人；（3）若7人顺序不变，再加入 3个人，要求保持原先 7人顺序不变；（4）7人中现需改变 3人所站位置，则不同排法；（5）甲、乙、丙 3人中从左向右看由高到底（ 3人身高不同）的站法；（6）若甲、乙两人去坐标号为 1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两