2018学数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测（十一）直线与圆文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精11-学必求其心得，业必贵于专精PAGE课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：（a＋1)x－ay＝0,若l1∥l2，则实数a的值为()A．－eq\f（3，2) B．0C．－eq\f（3，2）或0 D．2解析：选C若a≠0,则由l1∥l2,得eq\f（a＋1，1)＝eq\f（－a，2a），所以2a＋2＝－1,即a＝－eq\f(3，2）；若a＝0，则l1∥l2。所以a的值为－eq\f(3，2）或0.2．在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1）2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为()A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0解析：选B由题意得圆心(0，1）与点P(1，2)的连线垂直于直线AB，所以kAB·eq\f(2－1，1－0)＝－1,解得kAB＝－1.而直线AB过点P，所以直线AB的方程为y－2＝－（x－1)，即x＋y－3＝0。3．(2017·沈阳一模）已知直线l过圆x2＋(y－3）2＝4的圆心,且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为(）A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0解析:选D圆x2＋（y－3)2＝4的圆心为(0，3），又直线l与直线x＋y＋1＝0垂直,则其斜率为1,故直线l的方程为x－y＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x－1）2＋y2＝1被直线x－eq\r(3）y＝0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：选A圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1。圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(12＋－\r（3）2)）＝eq\f（1，2),所以较短弧所对的圆心角为eq\f(2π,3），较长弧所对的圆心角为eq\f（4π,3)，故两弧长之比为1∶2。5．(2017·惠州三调)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为()A．（－3eq\r（2），3eq\r（2))B．（－∞，－3eq\r(2））∪(3eq\r（2），＋∞)C．(－2eq\r(2），2eq\r(2）)D．（－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2），＋∞）解析:选A由圆的方程可知圆心为（0,0），半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f（｜－a|,\r（2)）＜3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2）.6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax＋by－6＝0（a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq\r(5）,则ab的最大值为()A.eq\f(5,2） B．4C.eq\f(9,2） D．9解析:选C圆x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5，因为直线ax＋by－6＝0(a＞0,b＞0）被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq\r（5），故直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0）经过圆心（1，2)，即a＋2b＝6。又6＝a＋2b≥2eq\r(2ab），即ab≤eq\f(9，2），当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为eq\f(9,2）.7．（2017·西安模拟）圆:x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(）A．1＋eq\r(2） B．2C．1＋eq\f（\r（2），2) D．2＋2eq\r（2）解析：选A将圆的方程化为(x－1)2＋（y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(｜1－1－2｜，\r（2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1.8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B（0，1),则满足｜PA|2－｜PB｜2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C设P（x，y)，则由|PA|2－｜PB|2＝4，得(x＋1）2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝eq\f(｜0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2）＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2。故满足条件的点P有2个．9．（2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．"事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq\r(x－a2＋y－b2）可以转化为平面上点M（x，y）与点N(a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10）的最小值为（）A．2eq\r(5） B．5eq\r(2）C．4 D．8解析：选B∵f(x)＝eq\r（x2＋4x＋20）＋eq\r(x2＋2x＋10）＝eq\r(x＋22＋0－42）＋eq\r（x＋12＋0－32),∴f（x）的几何意义为点M（x，0)到两定点A(－2,4）与B（－1,3）的距离之和，设点A（－2,4)关于x轴的对称点为A′,则A′为（－2，－4）．要求f（x)的最小值，可转化为｜MA|＋｜MB｜的最小值，利用对称思想可知｜MA|＋｜MB|≥|A′B｜＝eq\r(－1＋22＋3＋42)＝5eq\r(2)，即f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20）＋eq\r（x2＋2x＋10）的最小值为5eq\r（2）。10．在平面直角坐标系xOy中,设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2（r＞0)交于A,B两点,O为坐标原点，若圆上一点C满足eq\o（OC,\s\up7（→）)＝eq\f（5，4）eq\o(OA，\s\up7(→）)＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7（→))，则r＝(）A．2eq\r（10） B。eq\r（10）C．2eq\r(5) D.eq\a\vs4\al(5)解析：选B已知eq\o（OC,\s\up7（→))＝eq\f(5,4）eq\o（OA,\s\up7(→））＋eq\f(3,4）eq\o(OB，\s\up7(→)），两边平方化简得eq\o（OA，\s\up7（→））·eq\o(OB,\s\up7（→))＝－eq\f(3,5）r2，所以cos∠AOB＝－eq\f（3,5)，所以coseq\f(∠AOB，2）＝eq\f(\r（5），5），又圆心O（0,0）到直线的距离为eq\f（|2｜，\r(2))＝eq\r（2),所以eq\f(\r(2）,r)＝eq\f（\r(5)，5)，解得r＝eq\r(10）。11．已知圆O:x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P,Q两点，且满足直线OP，PQ,OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为（）A．－1或1 B．0或－eq\f（4，3）C．1 D．－1解析:选A设直线l：y＝kx＋b(b≠0),代入圆的方程,化简得（1＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1,y1)，Q（x2,y2)，则x1＋x2＝－eq\f（2kb，1＋k2),x1x2＝eq\f(b2－4,1＋k2），kOP·kOQ＝eq\f(y1，x1）·eq\f(y2,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x1)）)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(k＋\f（b,x2)))＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,x1x2）)）＋eq\f(b2，x1x2)＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,b2－4）))＋eq\f(b21＋k2,b2－4)＝eq\f(b2－4k2，b2－4），由kOP·kOQ＝k2，得eq\f(b2－4k2，b2－4）＝k2,解得k＝±1。12．已知AC，BD为圆O:x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，eq\r（2))，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5 B．10C．15 D．20解析:选A如图,作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则｜OP|2＋｜OQ｜2＝｜OM|2＝3，∴|AC|2＋｜BD｜2＝4（4－|OP|2）＋4（4－|OQ｜2）＝20.又|AC|2＋｜BD｜2≥2｜AC|·|BD|，则|AC｜·|BD｜≤10，∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·｜BD｜≤eq\f(1,2)×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD｜＝eq\r(10）时等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A。13．已知点A(4，－3)与B（2,－1）关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是________．解析：由题意知线段AB的中点C(3，－2）,kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.设P（x,x－5)，则2＝eq\f（|4x＋3x－17｜,\r(42＋32)),解得x＝1或x＝eq\f（27,7）。即点P的坐标是（1，－4）或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27，7)，－\f(8，7)))。答案：(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(27，7),－\f(8,7））)14．（2017·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中,若直线ax＋y－2＝0与圆C：（x－1)2＋（y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析:由题意得圆的半径为4，因为△ABC是直角三角形，所以圆心C到直线AB的距离为2eq\r（2)，即eq\f(|a＋a－2｜，\r(a2＋1))＝2eq\r（2),解得a＝－1。答案：－115．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．解析：圆C的标准方程为（x－3)2＋y2＝4，圆心C(3，0），半径r＝2，设过原点O的动直线l的方程为y＝kx，由题意，设A（a，ka)，B（2a，2ka)，将A点坐标代入圆C的方程得（1＋k2)a2－6a＋5＝0.①记AB中点为D，则Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，2）a，\f（3，2）ka)),所以CD⊥AB，所以eq\f（\f（3，2)ka,\f(3,2）a－3)＝－eq\f（1，k）。②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（5，4)，，k＝±\f（\r（15），5)，）)可得点D坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(15,8），±\f（3\r(15）,8）)），所以圆心C到直线l的距离为|CD|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（15,8)－3)）2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3\r(15),8）)）2)＝eq\f（3\r(6），4）。答案：eq\f(3\r（6)，4）16．（2017·云南模拟)已知动圆C过A(4，0)，B(0,－2）两点,圆心C关于直线x＋y＝0的对称点为M，过点M的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，｜EF|的最小值为________．解析：依题意知，动圆C的半径不小于eq\f(1,2）｜AB|＝eq\r（5），即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径,此时点C是线段AB