2018届广东省广州市数学复习专项检测试题28函数的奇偶性、周期性和对称性_第1页
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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数.（1)定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个，都有；（3）图象特征:奇函数图象关于原点对称.（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个,都有，那么函数就叫做偶函数。（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个，都有;（3）图象特征：偶函数图象关于轴对称.（这是判断偶函数的直观方法)二、周期性周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。例如，狄利克雷函数，当为有理数时，取1；当为非有理数时，取0。（1)如果函数满足且，(和是不相等的常数)，则是以为为周期的周期函数。（2)如果奇函数满足(）,则函数是以为周期的周期函数。（3）如果偶函数满足(),则函数是以为周期的周期函数。三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数对定义域内一切来说，其中为常数，函数满足：(1）函数图象关于直线成轴对称；（2）函数的图象关于直线成轴对称；（3）函数图象关于直线成轴对称；（4）函数图象关于轴对称（偶函数)；（5)函数图象关于成中心对称;（6)—函数图象关于原点成中心对称（奇函数)；（7)如果函数满足且，（和是不相等的常数）,则是以为为周期的周期函数;(8)如果奇函数满足（）,则函数是以为周期的周期函数；（9）如果偶函数满足（)，则函数是以为周期的周期函数。2、两个函数的图象对称性（相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）(1）曲线与关于轴对称.（2）曲线与关于轴对称。（3)曲线与的图象关于原点对称；（4）曲线与的图象关于直线对称。（5）曲线与关于直线对称。（6)曲线关于直线对称曲线为.(7)曲线关于直线对称曲线为。(8）曲线关于直线对称曲线为。(9）曲线关于点对称曲线为。注意：设，都有且有个实根，则所有实根之和为。例1:已知满足，,当时且，若,,，求大小关系？解：由已知得，对称轴,也为一条对称轴∴，，，，∴例2:若函数，有，求。解：，知的图象关于对称，而的对称中心，∴，∴，则.例3：设是定义在上的函数，均有，当时，，求当时，的解析式.解：由有得设，则，；∴，∴当时,.

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