数下-华理高数答案

9章（1）（44次*1．微分方程2(y)39yy5xy7的阶数 答案解*2．下列函数中的C、、及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y4y0的 （A）y3Ccos2x(1229C)sin2x；（B）yCcos2x(1sin2x)1k2C（C）y1k2C答案

sin2x；（D）yCcos(2x解中的函数只有一个任意常数中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令CkCyCcos2x sin2x，实质11C*3．在曲线族ycexcexyx 根据题意条件可归结出条件y(0)0,y(0)ycexcex，ycexcex，可得cc0,cc 故c1c1y1(exex)ysinhx d2 dd d

2d

y

3e2sin x是初值问题

d

证明y

13e

sin2

x

12

co x，2y

13e

sin 2

xe12 x22 yyy0 y3

13e2

2*5yexxet2dtCex（其中C为任意常数）yyexx20证明yexxet2dtexex20

yexx2yyexx2yexxet2dtCex含有一任意常数C0（1）y 解将等式y 改写为y3Cx1，再在其两边同时对x求导，得3y2yC，代入上式，即可得到所求之微分方程为3xy2yy31．yCxC2 程等式两边同时对x求两次导数，得yCC2，y2C2 x 从以上三个式子中消去任意常数C1和C2，即可得到所求x2yxyy0**7y24C(xC（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线．解yy(2xyy)解yy(x上的点(x,y，曲线在该点处的切线斜率为y=dy 所以过点(xyy，法线方程为Yy=yXx因为法线过原点，所以0y1(0xxyy09章（（45次教学内容：§9.2.1§9.2.2（1）yx(1y)1x解：分离变 ，两边积解：分离变 ，两边积 1 1x 1 11x得ln(1y)1ln(1x2)lnC，即y11x2（2）yxe2xy22解：分离变量2yey2dyxe2xdxey21(xe2xe2xdx)1(xe2x1e2x)c (2x1)eyy2ey40eyd解

d

1ln(e

2)

1ln(2x1)1lnC2ey 2x 即(ey2)(2x1C**2y1xyxy（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一y1x)(1y1

1

1x)dx，并积分1x2

dy1

(1得ln(1y)x x2c，所求通解2

y1ce 解法二（线性方程的常数变易法）y1xy1xy1xy0，其通解为

1x2yCe 1x2 x1代入原非齐次方程得Ce

1x，解得2Ce C2代入1即可得1x2y1Ce y

e（1）y

， 611x1x1x解：y 1x1xy

(y0

dy 11xlnyarcsinxC，yCearcsinx arcsiny()e，2

2，C1，yearcsinx（2）y2xyex2，y(0)解 y2xyex2 p(x)2x，q(x)ex2y(x)e2

ex2e2xdxdxCex2ex2e2xdxdxCxex2Cex2 y(0)1，10cc y(x1)ex2y(yycotxecosx， y(2解yycotxecosx，P(x)cotxQ(x)ecosx yecoxtdxCecoxsecoxtdx elnsinx(Cecosxelnsinx cscx(Cecosxsinxdx)(Cecosx)cscx cos由 )1，可确2

C2，所 y(2 )cscxx2dy(2xyx1)dx0，yx10 y2y11，是一阶线性非齐次方程，其通解 x2dx 2 y xc

2)e

1c(11)x2dx1c1x2xc1x2 1

x2 x 由y(10，得c2y2x22x**4．求微分方程ylnydxxlny)dy0的通解（xy的函数

x1 yln P(y)

yln

Q(y)

y1dy 11 x yln c eylnydyeln(lny)c eln(lny 1 ln cylnycy

ln

lny2**5．求满足关系式xuy(udux2y(xy(x2 解xxy(x)2xdy d2d d 2即 xy2x，分离变量得 xdx，积分得yCe22，d y在原方程两边以x代入，可得初试条件11 y4e 2

x

2．据此可得C4e1d d ln(mgkv)C mg kt由初始条件v(0)0，得C

ln(mg)，即得v 1e k

m**7．求一曲线，已知曲线过点(0,1)，且其上任一点(x,y)的法线在x轴上的截距为kx 解：曲线在点(xy处的法线斜率为y，所以法线方程为YyyXx．只要令Y0，就可以得到法线在x轴上的截距为Xxyy．xyykxyyk1)x．这是一个可分离变量方程，分y21k)x2C，由于曲线过点(0,1，所以C1，所以所求曲线方程为y2(1k)x21．解ycx2上任意一点(x,yk0y2cxy2yy2y去c得 设所求曲线方程为yy(x，在同一点(x,y处切线斜率为ky求有

k1yx22y21x2c2***9．作适当变换，求微分方程y4ey 2x

解原方程可化为eyy 2x

2x

42dx 2d ze2x1C4e2x1dx {C4x 2xdyy y2***10．作适当变换，求微分方程d 2y

x d

dx，积分得sinuCx

uy2

tan Cxsiny2Cxx9（3）（46次dy

y(1lnylnx)；解：dy

y(1lnylnx)，

dy=y(1+lny) y令uyx

yuxyuxuxuulnu

dx，得lnlnulnxlnc，即uecxuln uln 以uyyxecxxyx arctanx解：方程可化为yy arctanyy令u yx

yuxyuxuxdud

11

x2yx2y

yarctan以ux

Ce xxydx2x2y2dy0满足初始条件y(21解:xydx(2x2y2)dy0 dx=2xy 令ux u

2u u

u1=y uu

1=yuu21ln(u21)lnylncu22

cy， u21c2y2

x y2+1=

y2 y(21，c25 因此x2y2=5y4(xy)dx(xy)dyyy

解：原方程可表为dyxy x，令uy，yud y 1yx

ud u代入方程，有uxu ，即 u d

u u12uu

x

1ln(12uu2)lnxln通解x22xyy2C，令x0,y0，得C0．所以初值问题的解为x22xyy20．***3．试证明：当a1b2a2b1时，总能找到适当的常数hk，使一阶微分方f a1xb1f ya2xb2y在变换syk，txh之下，可化为一阶齐次型方 ds

f(a1tb1s)a2tb2并求方程(x2y1)dx2x3y)dy0a1xb1yc1a1t

x

y

atb

a1b2a2b1

sya2c1 ka2c1 a

a

a

a1 2 1 2 bcb bcbtx1 2 h1 2 a1b2 a1b2sy ds解：(x2y1)dx2x3y)dy0，令tx

dtt32(s2)1dt2(t3)3(s2)ds0，t2sdt(2t3s)ds0 3s

11 (2) t

t令u ut dt ut

1

tdu(3u1)(u1) 2 3u(3u dudt,

dt(3u1)(u 2(u 2(3u1) 1ln(u1)(3u1)lntlnc2(u1)(3u(s1)(3s(u1)(3u(s1)(3s(1y 3yxx) (x (1y 3yxx)xyyy2lnx0解：xy'yy2lnx y2y'1y1ln 令ty1dt1tlnx P(x)1,Q(x)lnxxxxx1dxln11lnt(x) xC

ex

xC

Cx1xx(xlnxx)Cx1lnxy1lnx1Cx1(y2xy)dxxdy0解：y2xy)dxxdy0

dy+1y=

1y2

y2y+

y2 x1 x x1 xxuy2 + u ，P(x) ，Q(x) xx1 11dx

1 1 1

u(x) 2xC

e2xdx

2C

x2dx

2CxC Cy2x2C

y

y2(xy2x2

ud 解一：令uy2

dx

u，解此方程得uCexu以uy2代入上式，原方程通解为y2Cexd xd

x2d yx1zdz2z2d 2dy 22d y则通解z Cy

y3

dy

[C2lny]y11[C2lny y**5yy2xy(0)y解：y'y2xy yy'y22x令ty2

2t4x

P(x) Q(x)4xt(x)e2dxC(4x)e2dxdxe2xC4xe e2x[C2xe2xe2x)]Ce2x2xy22x1y(0)1，1201y22x

C1 sin2yy2xsin2y1

2xsin2y 1x21x2dsin2111xd 1x令zsin2y， z1xd故z

2xdx

21212xdd ln(x1x2原方程的通解为sin2y ln(x1x2)x***7．已知20y(x

d2xy2xy(x1y2(解：两边关于x求导得 2yyy21， y2Cex1，由yx01y2(y21ex***8．曲线过点(1,1)，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解 x2y22x(xyy),y(1) 2yy1y2x令y2z，解 zy2x(C由y(1)1， C2， x2y22x***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为v ，其中g为部直径为d1cm解：设在时刻t时，容器中液面高度h(t，则经过t后液面高度为h(tt ，h(tt) A ，即 r令t0解

2r

dh d r r2gt 代入h0，g980，r50，A4

0.62，得t10304（秒9（（47次（1）．微分方程yyxy满足条件y(2)1,y(2)1的解是 （A）y(x （B）y(x1)2 y1(x1)2 （D）y(x1)2 （2）．微分方程y2yy30满足条件y(0)1,y(0)1的解 33

x

x

y 33

x

x

y （1）xyy0解：xyy 令py y xpp0，dp=dx dp

lnplnxln

pC1x

C1

dyC1dx dy C1dx，yClnxC （2）(1x2)y2xy解y1x

y 1x

y (xC)1x y1ln(1x2)CarctanxC yyy20解：∵yyy20 令py，则yp ypdpp20，

p(y p)0因为求通解，所以p满 ydpp0由

dp

dy

lnplnylnCpC1 dy ydy ydy y2CxC ∴通解：y2CxC (1y2)y解：令：yp(y),ypp， (1y2)pp2p2yd 2 1y

dy pC(1y2)1d 1y2C1dx，通解为：arctanyC1xC29（（48次**1．若y,y是方程yP(x)yQ(x)yR(x)的两个解，试证y ．次方程yP(x)yQ(x)y0的解 证明：因为y1,y2是方程yP(x)yQ(x)yR(x) y1P(x)y1Q(x)y1R(x)y2P(x)y2Q(x)y2R(x)

(1)、(2)(y1y2)P(x)(y1y2)Q(x)(y1y2)0

所以y1y2是齐次方程yP(xyQ(xy0的解

1x,

1x2y2y

y

解：按（1）证明可 y2y1 y3y1x 分别是其对应齐次方y

y0的解，并且线性无关，所以C1xC2x

2 2yC1xC2x21*3．验证：et2et2x14t2x0t，et21et24t2et22et24t2et212tet24t ， et2"1et24t2et22et24t2et21(2tet2)4t 0 故et2,et2是方程的解， et2e2t2常数et于是et2et2是方程线性无关的解（构成基本解组xCet2Cet2 其中C1,C2*4．已知函数y1exy2x是方程(1xyxyy0的两解，试求该方程满足初始条件y(0)1,y(0)0的特解．解：方程的通解为yc1exc2xy(0)c1y'(0)c1exc2c1c2解得c1,c2为 c11,c2 yexx**5．设x1(t)是非齐次线性方x(t)a1(t)x(t)a2(t)x(t) x(t)a1(t)x(t)a2(t)x(t) xx1(t)x2x(t)a1(t)x(t)a2(t)x(t)

f2 f1(t)f2 x1(t)a1(t)x1(t)a2(t)x1(t)f1 x2(t)a1(t)x2(t)a2(t)x2(t)(1)2)

f2 x1(t)x2(t)a1(t)x1(t)x2(t)a2(t)x1(t)x2(t)即xx1(tx2t)是方程（3）9（（49次

y8y0的通解为y．f1(t)f2解yc1cos22xc2sin22x（2）方程y"6y'25y0的通解为y 1解ye3x(ccos4xc2sin4x)1方程y8y15y0的通解为y 解yCe3xCe5x 方程5y215y3y0的通解为y 解y

15 (C1xC2)（3）方程y6ypy0的通解为yekx(C1 2xC2 2x)，则p k （1）y8y16yy(1)e4y(1)0解2816yc1c24)20)e4x y(1)(c1c2)e4e4y'(1)c2e4x4(c1c2x)e4xc2e44(c1c2)e4c2e44e4

4 y54x)e4x（2）y4y29y y()2

1,y(2

3解24290

4162

410i25i2ye2x(c1cos5xc2sin5xy()e(0c2)

e y()

2得：c1e．特解为：y (cos5xsin5x)（3）y4y3y0, y(0)6, 2430，(1)(30， ycexce3x y(0)c1c26y'(0)cex3ce3xc3c10 y14ex8e3x**3初值问题y2yydx y(0)

x解：将原方程对x求导 y2yy 且 y(0)12y(0) yex(CxC)，故所求问题的解为：yex x***4．设函数(x)二阶连续可微，且满足方程(x)1 (xu)(u)du，求函数(x)0解：原方程关于x (x)(u)dux(x)x(x)(u)du,(0)0 再求导得：(x)(x) 且由原方程还有：(0)1微分方程的通解为：(x)CexCex 代入条件(0)1,(0)0，得

C21故所求函数为：(x)1(exexchx2***5100cm的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解，则链条的质量为100t 100d2x

d2x

gx0dt

dt

x(0)0，所以x(t)满足下列初值问题

gx0gg 2解得方程的通解为：xc1e10 ce10．又因为有初始条件：x020gg 2 gg x0gg g 所 x10e10g g g即 t5 t arch5

10e10解：取物体的平衡位置为坐标原点，x轴竖直向下，设t时刻物体m位于x(t)处，由牛 2d2xdt22gg(x2) gx其中g980厘米/秒 xCcosgtC gt， 振动周期为T 9（7（50次**1．微分方程yyxsinx的一个特解应具有形 (AxB)sinx(AxB)(cosxsinx(AxB)(CsinxDcos**2AB,CDyyxcosx AxBCcosAxBCcosxDsinAxBx(CcosxDsinAxBCxcos（1）yy2y2x解：∵220， ∴1,22,1， 0不是特征根．设ypb1xb0， 代入原方程，得：b12b1x2b02x1，有：b00,b11， 特解为：yx．（2）y2yyex．解：∵1是二重特征根，∴设ypx2exb yp x2exb yp2exb x2exb 0代入y''2y'yex，解得：b102y1x2ex2**4y3y2yxexy(0)y(0)0的特解．解：特征方程r23r20的根为r11r22，相应齐次方程的通解为yCexCe2x ypxAxB)ex

A1,B12x2 xyC1eC2 xe y(0)y(0)0，得C11,C212 y x1e **5．y2yf1)f(x)4x 2)f(x)e2x 解：特征方程：220，特征根：10, 22，所以方程y2y'0的通解为 yhc1ce2x．2对于方程y2y'4x yp(b0xb1)x

x

4x1，解得

12 x21x 所以方程的通解为：yy cce2xx21x e2xb

18

y1e2x yyycce2x1e2x ypb0cosxb1sinx，yp"b0cosxb1sinx b0cosxb1sinx2b0sinxb1cosxcosx，得：b05 b2 yp5cosx5sinxyyycce2x1cosx2sinx **6y6y9y25exsinx解：特征方程r26r90的根为

yh(C1C2

exAcosxBsinx，代入方程得：A

By(CCx)e3xex(4cosx3sin ***7yy(x)(x0)xMx0y0处xy(0)0y0ydxxy(0)0xyy其通解为：yC1exC2ex11y(00y(00C1C22，y1(exex1chx12***8．设一物体质量为m，以初速v0从一斜面滑下，若斜面与水平面成角，斜面摩擦系(0tan)，试求物体滑下的距离与时间的关系．d2 mgsinmgcosdt2且S(00S(0S1gt2(sincos)Ct 代入初始条件得C1v0C20S1gt2(sincos)v ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不d2由牛顿第二定律： kxmg，dt

方程的通解为：xC1m

tCkmkm

tmgkmkm代入初始条件得C1kgC20xmg k t．k m（1）y(4)2yy0解：42320，2(221)0，2(1)20， yc1c2x（c3c4x）ex．（2）y(4)5y36y0452360，(2)(2)(29)0 yce2xce2xccos3xcsin3x ****11*试证明，当以tlnx为新的自变量时，变系数线性方程（a,b,c为常数，这是欧拉方程）ax2y"bxy'cyf(x)可化为常系数线性方程d2 a ba cyf(etdt （1）x2y2y0 （2）x2yxy2yxlnx证明：令tlnx dy

1

xet dt xd2 1 1ddy 1d2ydy 2 2 ， xdxdt x dtyy

d2

dy

d2 ax2ybxycydt

dt

cy

dt

ba cyfet令tlnx xetd2y

2y

dt

dt yce2tcet xycx2c2 令tlnx xetd2y

2 2ytedt h

1etet

sin yetbtbp

ett yetccostc2sint1yxc1coslnxc2sinlnxlnk>0）Bxt之间的函数关系．解：F重F阻Bma a为加速度mgkvBma v为下降

d2

mgk

d2因为v

a

dt2，所以

B d2xkdxgBdt m 2k0

km

k

1 xhc1emc2 mg

b0gm

，mk

b0 kmg所以微分方程的通解为：xc1emc2 tkc1c20 mg

x'00cm2g cBmm2

k

kBmm2g ktmg所以x与t的关系可表示为 x 1em tk ***13f(x)f(1xf(xf(x)0，并求解此方程．证明：由于f(x)f(1xx求导得f(x)f(1x)f[1(1x)]ff(x)f(x) f(x)C1cosxC2sin

f(0)f(1f(1f(0，将此代入(2),(3) C1cos1C2sin1C2C C 1 1 f(x)C1cosx 9（8）（51次教学内容：§9.6微分方程应用举 (机动9（9）（52次t t已知yt3et是二阶差分方程 et te解：a 32yt7yt10

C(2yt3yt14；ytC3t2)2yt110yt5t0；yC(5)t5(t1)tyt14

22t tytC4yt

t2tytCt2yt1ytsint；YtB1sintB2costyt1yt3cost．Ytt(B1costB2sint)之间有关系ytCtICtyt1，其中010ytCtytytyt1I解 yCtI，从 CyICtI 1 1已知差分方程(abytyt1cytabc为正的常数．设初始条件y(0)y00对任意t12,yt0(2)在变换1之下，原差分方程可化为有关(2)在变换tyttyt(3)求方程(12ytyt1yty02的解．解：（1）1y令utyt

uytut

，yt1 utcut1autb其一般解为ca1

uC(a)t

；ca时，

Cb令ut

，原方程化为ut1ut2，一般解 utC2ytyt y1t

y2，得C30 C 0所以特解 yt210（1（53次 *1

2,

23,a

2，则(a,b) 答 6

**2.设向量a与b不平行，cab，则(ac)b|a||b

,试用向量r0，aP的径向量r PP||a PP 而

PP ∴rr0

∴P点的径向量为ta**4．设a2,b3，ab23（1）ab （2）(3a2b)(a2b)（3）(a)b （4）3a2b 23 3

a

（2）

3224324336 a

1

2 （4）3a

2b

9 922432123108

4 33a2b 3**5a4,b5，ab13（1）(ab)ab5a2b与ab

a 2b

224 2ab4

213∴ab

abab

4

3 ba a 2 2

5 2 542252345cos

0 ∴向量5a2bab**6.a，babab，试证ab 解：abab ∴a ab ∴ab2abab2ab ∴ab0 ∴ab OAOC，|OB||OA||OC 则有ABOBOA CBOBOCOB ABCB(OBOA)(OBOA)|OB|2|OA|20 10（2（54次*(1)A（2，－3，－1）M（3，1，－2）．**(2)ABCDA(2,3,1B(2,4,3),C(3,1,3)，则D．**(3)已知a

1,4za

a

，则z

5,3 **2.A,B两点的坐标分别为(2,5,p),(q,3,1)ABy轴相交且被y轴平分p(2q,53,p1) 又Cy

22

p2

0，即q2p**3.设A,B两点的坐标分别为0,2,1,1,0,1AB的模；（2）ABAC2AB的C12(2)2解：（1）AB{1,2,2}，则 12(2)2 cos 3

cos 3

cosr 3x011

2 y201

2，z(1)11

3所以C点的坐标为2,2,3)uvuv 解：向量u{2,

q∴10 ∴p0,q2q 向量u与v垂直时 uv0∴21p04q01∴q

p2 FF1F2F31,2,32,3,43,4,5

2212F合2212cos

cos 1 cos 42 2 bxyzxyz0，且ab0∴xy0 xy 取x1,y （1）aj （2）bk（3）(2ab)(ab) （4）(ab)(3a（2）bk(3i4k)k3ik3j（3）(2ab)(ab){213,2(2),224}{13,2,2{5,4,0}{2,2,6}5(2)(4)(2)062(ab)(3ab){4,2,2}{0,6,10}**8a0,1,1}b2,1,1}(a)bb)a （2）a与bb

{0,1,1}{({0,1,1}{(2)2(1)2b

1bb

1212

（2）ab cos 即2

cos 2 0，所以

，即a与b的夹角 byz平面内，∴可设坐标为0,y ∵ba ∴ba0即：0,y,z8,4,30 ∴4y3z0y2y2

又b

10z8y6 或z8y6***10.

或 3abi其中a1a2a3及b1b2b3为任意实数 的坐标分别为a,a,a,b,b,b

1 ababcosa,babababa1 2 3

a2a2ab2a2a2ab2b2bii1ii1ii10（3（55次教学内容：§10.3平面与直线xP3,1,2)及Q0,1,0)yz与xOy坐标平面垂直的平面的一般方程为 答：AxByd0 (A2B20) P1,2,1S1i2j3kS2jkxyz点M0(6,2,1)到平面x2y2z60的距离为d 解：d 2平面3x3y60 （A）平行于xOy平 （B）平行于z轴，但不通过z垂直于y轴 （D）通过z轴**2AxBxCzD0A,B,C,DC0，ABDAD0，BCΠzΠ垂直yAxByCzD0C0ABD0z轴（z轴）AD0,BC0x轴的平面（y轴、z轴的平面CD0,A2B20AB0zB0,AC0y**（1）P1,3,2及Q0,2,1且平行于向量l 解：所求平面的法向量n垂直于向量l2,1,1与由P1,3,2与点Q0,2,1 成的向量PQ1,1,1，故取nPQl1 1

2x13y3z20， 2x3yz50．**（2）z轴且垂直于平面3x2yz70解：平面3x2yz70的法向量n0 故所求平面法向量nnz nn0

3

k1 2x3y0z0 2x3y0法向量nx轴垂直，又与向量PQ垂直，故可取 1 1

故可得所求平9y01z20即 9yz20A2,3,0B0,3,5)和C2,0,5)AB{2,0,5},AC nABAC 5 故平面方程为：15x10y6z600***5M0,4,3)N6,4,3)作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上

xy

4

a a

ab解得：a b2,6故平面方程为：2x3y6z6或6x3y2z18（1）1:xy2z10,2:2x2y4z31:2x2yz10,2:x2y2z解：（1）12法向量分别为n1{1,1,2},n2{2,2,4}n2取1上一点(1,0,0)，显然不在2上，故12平行，不重合（2）12法向量分别为n12,2,1},n21,2,2n2n1故n2n1垂直，从而12垂直10（4（56次（1）M1(3,2,1M2(1,0,2的直线方程为．x1yz2 x2yz3直线2xy2z60在xOz坐标面上的交点为P 答：P0,0,3)x

yz

x，参数方程为y

z5t直线xay1z在平面xyz3上的充要条件是a ，k **2A3,0,2xz1xyz1

解：所求直线L

n1,0,1，且

j1011,0,1

11x3

yz20**3A2,1,0xyzx1y2

解：所求直线L

1 x2y1z01 L2x4yzL 3y

L2:y1z3L2x4yz

，

x3y l1n1n2xx2

4y x y zL2:y1t1t z3

12 t ∴可取l24,1,2ll1，且ll2∴可取 l1

x y z

461

3

y12

L:x1y1z3M 过点M与直线L的平面

1 n 且nMM 的法向量， ∴MM3,2,13,0,5 n ，故可取为 n0,14,28，故可 l

x y z 解法二M0作垂直于直线L1的平面3x22y1z50，即3x2yz133x2yz13 t L与平面M的坐标满足：x1

y1

z

xy

z∴M点坐标为2,3,1M0M

x20

y11

z．2**6kL1x1y4z3

:x3

y9z14 x3t解：将第二条直线的参数方程y4t9z7t3t44t137t ky z y z**7．求直线l1:x1 1 与l2:1

S cos(S1,S2) |S1||S2

，故l1，l2之间的夹角为 **8x1y1

和平面qx6y2z1垂直,pqz z

解：l2,p,1//n

q4,p3 2x7y5z7**9．求过直线2xyz4 解：过直线2x7y5z702xyz4u2x7y5z7v2xyz4 (*7u令yz0，求得在x轴截距x 2u7u令xz0，求得在y轴截距y 7u∴7u4v7u4v∵x

2u

7u7u4v0或2u2v7uv即u4或u3,代入（*） （1）42x7y5z72xyz406x35y27z073（2）2x7y5z72xyz40，即：16x16y10z41．***10xyzx5y3z1L的方向向量l1,1,1．在直L上取一A0,0,0，显然不x5y3z1,∴AA做与平面0x5y3z1的垂直的平面

i

则平面的法向量可取 1115

42,1,1这就得到了的方程为2xyz0x5y3z12xyz0．10（5（57次教学内容：§10.4空间曲面x2*(1)曲面zx2zoyzyzzoyzyy轴旋转而成的旋转曲面**(2)方程x2z21在空间表 z轴 （C）母线平行y轴的柱面（D）锥面*(3)

2y2

1

(A)单叶双曲 (B)双叶双曲(C)椭球 (D)双曲抛物

2y2

1

平

(A)交于一双曲 (B)交于一对相交直(C)不 (D)交于一椭.5M1M2M01,2,3)M1M2 (x1)2(y5)2(z3)2(5)2 x2y2z22x5y6z100M(xyPM:PM 4[(xa)2y2z2](x4a)2y2z2 x2y2z2(2a)2x2y2z解：动点M(x,y,z)到点A0,0,2的距离为d1 动点M到xOy平面的x2y2z∴动点M的轨迹方程为 x2y2z22z2，整理得：x2y24z4是旋转抛物面．**5.求yOz平面上曲线y2z21分别绕y轴，z轴而成的旋转曲面的方程．解：绕y轴 x2y2z21；绕z轴x2y2z21．**（1）x22y2z22x4y10x22y2z22x4y10，x22x2y24yz2x124

y141M0y12**（2）x24y2z28y2z90x24y2z28y2z90x24y12z124

x24y22yz22z9y1 y1 0,1,1 10（6（58次教学内容：§10.5z2**1.求曲线 x2z3zx220y224x1160，x2y22z2**2．求以曲线x2y2z21zx2y22z21消x2y2z2

x23y2x23y2zx2y**3.求曲线xyz1在各坐标平面上的投影曲线方程．zx2y2xy1

x2y2xyzxz1yz)2y2故在yoz平面上，投影曲线为yzx21xz)2故在xoz平面上，投影曲线为

z(1yz)2yxzx2(1xy**4x2y2z21xy1xy轴的两个x2y2z2 解 xy由（1）xy12y2z212y22yz20，由（1）yx12x2z212x22xz20，2y2z22y交线可写为2x2

2x**5.求由曲面3x2y2zz1y2所围成的立体在xOy3x2y2解：投影区域由交线z1y3x2y21y投影曲线为z

3x22y2，故投影区域为z **6.试求曲 rt

tt

对应于t0rr

t

e e e e

xt x't

yt

y't ∴在对应于t0zxy11

x01

ze0**7.试求曲 rt 2cos3t 2sin3t t

从t0到t4解：空间曲线的参数方程

xt2cos3t zt

x't6sin3ty't 6cos3t．4s4

0429t2dt209ln0036sin23t36cos036sin23t36cos23t4t2**（1）.f(xy)ln(x2y21)x2y2

x2y2x2y**（2）.fx2y x2y2

(C)仅在（0,0）点连续 答：（A）x （1）ux 解：定义域为：(x, x，见图示阴影部分包括边界，双曲线xy1用虚线表示．xxxxxx

0xyxyxy

xyx***3fxy,yx2y2fx xsx x 解：令t

∴y

s2s2t s21t

1

x21∴fs,t1t2

，1

fx,y

11xyx21xyx2x,y1xy011xy

1x2y2 x2221xyx2 x,y

（ x, 0,01xy1xyx2x2y

1xy x**5.说明极 x,y0,0x2y

解：我们证明 y沿不同的路径趋于0,0时，极限不同

x,y

x2yx2yx2y

yy

1

x2y2

x2

x,yx,y0,0x2**6f(xy)

，试问极限ysinxyysinxy1

f(xy解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在(0,0)点的任一去心邻域内函数f(x,y)

ysin

xy1xy1

x1

xyxy1xy1上的点处解：由于arctan1xy**8f(xy)

sin2xsin2

解：显然当(x,y) m,nZ时，f(x,y)没定义，故不连续f(xy)

sin2xsin2

所以除点(m,n（其中m,nZ）11（2）（60次内容：§11.2x2y（1）函数f(x,y) 在(0,0)x2y（A）fx(0,0)和fy(0,0)都存在 （B）fx(0,0)和fy(0,0)都不存在（（2）zxy2)(A)0 (B)

2

4

．（3）设fx,y ，则fx'(0,0) ，fy'(0,0) 解：由于f(x,0)0， fx'(0,0)0，同理fy'(0,0)0．x2**2.设zx2y 3exy，求zx,x2

1 x2y

3yexy z2 x2yy

3xexy**3zy

xxzxx2y2zyx2y2x2ln(x2y2 x2y2**4f(xy)

x2y20fx(0,0),fy(0,0) ．解：f(0,0)limx2lnx20 f(0,0)lim00 ． x zx2x ***5.求曲线 zy1,1x2y1,1

arctan1．[也可求出切向量为41212 1212 ***6.设函数(xy在点(0,0)f(xy)（1）证明(0,0)0；（2）fy(0,0

xy(xy在点(0,0x：（1）limf(x,0)fx f(0,0)存在，所以limx(x,0)limx 即(0,0)(0,0)， (0,0)0（2）由于(x,y在点(0,0)连续，且(0,0)0，所以y0时，(0,y)是无穷小量而f(0,y)f而f(0,y)fy(0,y11（3）（61次内容：§11.2[§11.2.2~**1.fxyzxchzyshxP0,1,ln2处的梯度向dfx,yzdxchzchzdxxshzdzshxdy∴dfx,y, dx fx,y, 1 0,1,ln 0,1,ln

x**2.求函数zarctan 1dzd

x1

d(arctanx)d(arctany) 1 1y**3.z

sec2(xy)ln(xy

，求dzdz

[ln(xy1)]d[sec2(xy)]sec2(xy)d[ln(xy1)][ln(xy1)]2[ln(xy1)2sec2(xy)tan(xy)(ydxxdy)sec2(xy)(ydxxd[ln(xy xy[2ln(xy1)tan(xy)(xy1)1](ydxxdy)(xy1)cos2(xy)ln2(xy**4.利用fdffxxyyfxydfx 解：由于fxx,yyfx,yx2设fx,y x2x2y于 dfx,yxdxydyxxx2yx2x2yfxx,yyfx,

xxx2x23232 3232 5.012***5．已知圆扇形的中心角为60，半径为r20cm，如果增加了1，r1cm，试用全微分计算面积改变量的近似值12解：S r 2 dS

(2(drrd))∴SdS

22060

(20)2 )17.4533(cm2) ***6.fxyzlnx2y3zP1,2,0

l2ij的方向导数 l

, f x2y x2y x2ye ,1e6 6

123 1 5 fel , 5l 555 6***7.z

11

(0,0)

11 x1y

1

(0,0)2

2

1x2(0,0)1

(1 11 l

2

)sin2

1,1cos,sin2

cos2其中

cos,sing

,1

22 2所以0时，即lgl2**8.f(xyz)exyz求出f(xyz)f(1,2,3解：fyzexyzxzexyzxyexyzf(1,2,3)e6 e

e1**9.f(xyzxyzP

,

z z

z1

(xy)zln(xy)z(xz

(x z)f(e1,e1,)

2e,2e,4e2 xx2y

x2y2***10.f(xy)

x2y

x2y2 11x2y解：因为limf(x,y) 0x2y

x2yf(xy在点（0，0）因为

f(0x,0)f

，xsin11（4（62次（1）f(uvf(xx2x42x3xfu(xx22x22x1fv(x,x2) (A)2x22x1 (B)2x23x1

2x22x (D)2x23x 设函数zz(x,y)由方程xyzxyz所确定，则 2xyz答 1xy 方 ，在变量代换ux3y，v3xy下，可得新方程 0 uu**2.设uxyzxrcossinyrsinsinzrcosr,r2xcossin2ysinsin2zcos2ru2x[r(sin)sin]2y(rcossin)0u2x(rcoscos)2y(rsincos)2zrsin0h=25cm时其体积的增加速率．解：V1r2h，3dVVdrVdh2rhdr1r2dh r151125cm3/sh25*4zex3yxsintyt4dz 解 z z

excost

．

y

23y**5.若z ，证明：xy2zx2yzx2zy2zf(x2y2 yf2x2yf xf2xy2f解：zx f ,zy f xy(x2y2 xyzxxyzy xzyz u**6

ufy

yexycosx

x,y,duxef1yef2ycosxxysin2xf3 xe

xf1efxcos2xf dueyfyexf(ycos2xxysin2x)fdxxeyfexfx z**7zlnyzz(xy的偏导数xy1

，

Fy z解：zxFzx x

x1xyyzz z 试

z,

,dzx解：F(xy,yz,xz)0,两边对x求导， yF1zxF2F3(zxzx)0x解 zyF1zF3xF2 xF1F2(1zy)F3xzy0yzxF1F2，所以dzyF1zF3dxxF1F2dyyF2 F2 F2***9zz(xyF(xxyzzxy)1F 导数，F2F30， 解F1dxdxdydz)F2(dzydxxdy)F3dz(F1F2yF3)dx(F2xF3)dyF2zF1F2yF3 zF2xF3 F2 F2***10z33xyza3(a0)zz(xy在坐标原点处沿由向量a1,2所确定的方向的方向导数．x0,y0z0a0x(0

z2

y(0

z2

0，

0***11xuyv0,yuxv1,(x2y20)求uvuvxxyuxuyv uxu 解：v

xv

x2y2xvyux2yxuvyv uyu

uy

x2yxu x2y11（5（63次内容：§11.5多元函数微分法在几何上的应用**1.曲面x22y2z2xyz4x2z6在点A(0,1,2)处的切平面方程为 （A）3(x1)2(y2)3z11 （B）3x2y3z（C）xy1z2 （D）xy1z

**2.设函数F(xyz)可微，曲面F(xyz)0过点M2,1,0)Fx(2,1,0)5,Fy(2,1,0)2,Fz(2,1,0)3.过点M作曲面的一个法向量n，已知n与x轴正向的夹角为钝角，则n与z轴正向的夹角= 答：3***3.设曲线x2t1,y3t21,zt32t1对应点处的法平面为S，则点P(2,4,1)S的距离d．**4.LxacostybsintzctM0a,0,2c处的切线和法平面方dtt0asintt0dyt0bcosx

t

y

tz

cx

z2c ***5.求曲线L:xyyzzx11, 解：设F(x,y,z)xyyzzx11，G(x,y,z)xyz6，(F,G)(x,

xz(yz)yz(xz)z2(yx)(F,G)(y,(F,

x

y

xy(xz)xz(xy)x2(yz)2(z,x)

zy(xy)xy(yz)

(zx)∴(x,

M0M

(y,

M

8(z,M0x0

y

z 1 9 x11y28z490， x8y9z120．***6.4x2y24z216P1,22,1yOz y2xy2 2

2y2 zy2 ***7.xt3y2t2z3tx2yz1．

上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面解：设所求的点对应于tt

30

3和

,,1和(27,18,99**8．z

6上平行于平面6x3y2z60.

z

，6x26

6k3k

xyy2

z1 ∴切平面方程为6(x13y22(z3) 6x3y2z180 ***9zex2y2Mxy沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为x2y2x2 M0

,

ky0

n{1

x}或{x0y0x0x2y x2y 方向余弦为：x2y x2y 2

x2zex2y22x ex0 0x2x2y

2y0

x2x2x2y ysin***10.求函数z 在ysin

,1a方向的方向导数，其中a为曲线x2sint ycos2t在t

处的切向量（指向t增大的方向6dd解：tanddt6

t2cost

22cos ，sin22x

,1

2y2ysin

0，

12ysin12 2

2

2

2所 0

) ) ．22222222222***11.fyzg(z都是可微函数，求曲线

yg(z)zz0解：zz0对应点f[g(z0),z0],g(z0),z0 Sfy[g(z0),z0]g(z0)fz[g(z0),z0],g(z0),1 zz0 xf[g(z0), zz0f[g(z),z]g(z)f[g(z),z g(z g(z0)[yg(z0)](zz0)0****12.u11x28y216 dxdy dyy解：对等值线u0xy

x y

， x

8y

dyx 8y 令 ，x 8

x2y 代入x28y216， x y 33 u0