2017年中考数学备考专题复习操作探究问题（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE76学必求其心得，业必贵于专精2017年中考备考专题复习：操作探究问题一、单选题1、（2016•扬州)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面积的最小值是（)

A、6

B、3

C、2。5

D、22、（2016•丽水）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是(）A、

B、

C、

D、3、（2016•淄博)小明用计算器计算（a+b)c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：

这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：

从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（）A、24

B、39

C、48

D、964、(2016•漳州）下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高是(）A、

B、

C、

D、5、（2016•曲靖）如图，C,E是直线l两侧的点,以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D,连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（

）

A、CD⊥l

B、点A，B关于直线CD对称

C、点C，D关于直线l对称

D、CD平分∠ACB6、(2016•宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A、△EGH为等腰三角形

B、△EGF为等边三角形

C、四边形EGFH为菱形

D、△EHF为等腰三角形7、（2016•达州）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是(）

A、25

B、33

C、34

D、508、(2016•潍坊）运行程序如图所示,规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是()

A、x≥11

B、11≤x＜23

C、11＜x≤23

D、x≤239、（2016•龙东）为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（)A、1

B、2

C、3

D、4二、填空题10、（2016•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．

11、(2016•深圳）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________12、（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．（如图1）

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B;（2）分别以点A,B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线．

请回答：该作图的依据是________

13、（2016•新疆）对一个实数x按如图所示的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个实数x"到“结果是否大于88？"为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________．

14、（2016•赤峰）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍,则甲运动2周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇,…，以此探究正常走时的时钟,时针和分针从0点(12点）同时出发,分针旋转________周,时针和分针第一次相遇．15、（2016•益阳)某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x｜的图象和性质,根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=________．三、作图题16、(2016•淄博）由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．四、综合题17、（2016•聊城）如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3,5），B（﹣2，1）,C（﹣1，3）．

(1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1,B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标;（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3,写出△A2B18、(2016•枣庄）Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合,那么Pn与n的关系式是：Pn=•(n2﹣an+b）（其中a，b是常数,n≥4）（1）通过画图，可得:四边形时，P4=________；五边形时,P5=________（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．19、（2016•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B(4,0），C（4，﹣4）（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B20、（2016•眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2,﹣4）,正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点21、（2016•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中,直角△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，1），B（0，3），C（0,1)

(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）分别连结AB1、BA1后，求四边形AB1A1B22、（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中,以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连

接AP并延长交BC于点E,连接EF．

（1)四边形ABEF是________;（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）(2）AE,BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10,则AE的长为________,∠ABC=________°．（直接填写结果)23、（2016•贵港)如图，在▱ABCD中,AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．

(1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；(2)求△ACE的面积．24、(2016•天津）如图,在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．

（1)AE的长等于________；（2)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明）________．25、（2016•玉林)如图,在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．

(1）△A1B1C1与△ABC的位似比是________;(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；(3)设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P26、（2016•台州)【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b"的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程(如图a）．

也可用图象描述：如图1,在x轴上表示出x1,先在直线y=kx+b上确定点(x1，y1）,再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2,…，以此类推．

【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

（1）若k=2，b=﹣4,得到什么结论?可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；（2)若k＞1，又得到什么结论？请说明理由;（3)①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1(如图2所示)，请在x轴上表示x2，x3，x4,并写出研究结论；

②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值(用含k，b的代数式表示）27、（2016•淮安）问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD，从而得出结论:AC+BC=CD．

简单应用：

(1)在图①中，若AC=，BC=2，则CD=________．(2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，=,若AB=13，BC=12,求CD的长．

拓展规律：(3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m,BC=n（m＜n），求CD的长（用含m,n的代数式表示)(4）如图⑤，∠ACB=90°,AC=BC，点P为AB的中点,若点E满足AE=AC，CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是________．28、（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x｜的图象和性质进行了探究，探究过程如下,请补充完整．

（1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下:x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中,m=________．（2）根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2﹣2|x｜=0有________个实数根；

②方程x2﹣2|x|=2有________个实数根；

③关于x的方程x2﹣2|x｜=a有4个实数根时，a的取值范围是________．29、（2016•荆州）阅读:我们约定,在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有:x=1，y=3,y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．(1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;(3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？30、（2016•永州)问题探究:

①新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

②解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．(1)如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；（2)如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径,求面径ME的长；(3)如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MOA=S△DOE．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE,求证：MD∥AE;(4)请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围(直接写出结果）31、（2016•北京）已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;（2)根据画出的函数图象，写出：

①x=4对应的函数值y约为________

②该函数的一条性质:________32、（2016•江西）如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦"；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；(2)如图2,求证：∠OAB=∠OAE′．（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为________，________;(4)图n中,“叠弦三角形”________等边三角形（填“是"或“不是”）(5)图n中，“叠弦角"的度数为________（用含n的式子表示)33、（2016•湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．

(1）初步尝试

如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;（2)类比发现

如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3)深入探究

如图3，若AD=3AB,探究得：的值为常数t，则t=________．34、（2016•济南）在学习了图形的旋转知识后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

(一）尝试探究

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．(1)如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′(A′B′与AD重合),请直接写出∠E′AF=________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________．（2)如图3,当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．35、（2016•随州）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1）、图（2)、图(3）中，AM、BN是△ABC的中线,AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

(1)如图1，当tan∠PAB=1,c=4时，a=________，b=________；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=________,b=________;(2)【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3)【拓展证明】如图4,▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE,BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G,AD=3，AB=3,求AF的长．36、（2016•大连）阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：如图1,△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．

小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．

(1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS"、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点,点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD,求的值（用含k的式子表示)．

答案解析部分一、单选题1、【答案】C

【考点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，

作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，

在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE,△ECG得到四边形EFDG,此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．

故选C．

【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G,得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题．2、【答案】D

【考点】作图—复杂作图

【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．

故选：D．

【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．3、【答案】C

【考点】解三元一次方程组，科学计算器的使用

【解析】【解答】解：由题意可得：，则，解得:，

故（9+3）×4=48．

故选:C．

【分析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，进而解出a，b,c的值，进而得出答案．此题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法,正确得出关于a，b，c的等式是解题关键．4、【答案】B

【考点】作图-基本作图

【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，

故选B．

【分析】过点A作BC的垂线,垂足为D,则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．5、【答案】C

【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，轴对称的性质

【解析】【解答】解:由作法得CD垂直平分AB,所以A、B选项正确；

因为CD垂直平分AB,

所以CA=CB，

所以CD平分∠ACB,所以D选项正确；

因为AD不一定等于AD,所以C选项错误．

故选C．

【分析】利用基本作图可对A进行判断;利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．本题考查了作图﹣基本作图:掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．6、【答案】B

【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图

【解析】【解答】解：A、正确．∵EG=EH，∴△EGH是等边三角形．

B、错误．∵EG=GF,

∴△EFG是等腰三角形，

若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．

C、正确．∵EG=EH=HF=FG，

∴四边形EHFG是菱形．

D、正确．∵EH=FH,

∴△EFH是等边三角形．

故选B．

【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识,解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．7、【答案】B

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解:∵第一次操作后，三角形共有4个；

第二次操作后,三角形共有4+3=7个；

第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；

…

∴第n次操作后,三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；

当3n+1=100时，解得:n=33，

故选：B．

【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3(n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．8、【答案】C

【考点】一元一次不等式组的应用

【解析】【解答】解：由题意得，

，

解不等式①得，x≤47，

解不等式②得，x≤23，

解不等式③得，x＞11，

所以，x的取值范围是11＜x≤23．

故选C．

【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．本题考查了一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．9、【答案】C

【考点】二元一次方程的应用

【解析】【解答】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，

设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，

由题意得，2x+y=5，

因为x,y都是正整数，所以符合条件的解为：

、、，

则共有3种不同截法，

故选：C．

【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根,1米长的y根,由题意得到关于x与二、填空题10、【答案】5

【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，作图—基本作图

【解析】【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线,

∴AD=DB，

Rt△ABC中,∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8,

∴AB===10,

∵AD=DB，∠ACB=90°，

∴CD=AB=5．

故答案为5．

【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．11、【答案】2

【考点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解:根据作图的方法得：AE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE,

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB=3，

∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；

故答案为：2．

【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．

此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．12、【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）

【考点】作图—基本作图

【解析】【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在线段PQ的垂直平分线上），

理由:如图,∵PA=PQ,PB=PB，

∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上,

∴直线AB垂直平分线段PQ，

∴PQ⊥AB．

【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．本题考查作图﹣基本作图,解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．13、【答案】x＞49

【考点】一元一次不等式的应用

【解析】【解答】解：第一次的结果为：2x﹣10，没有输出,则

2x﹣10＞88，

解得:x＞49．

故x的取值范围是x＞49．

故答案为：x＞49

【分析】表示出第一次的输出结果,再由第三次输出结果可得出不等式，解不等式求出即可．本题考查了一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．14、【答案】

【考点】一元一次方程的应用

【解析】【解答】解：设分针旋转x周后,时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，

根据题意可得:60x=720（x﹣1）,

解得：x=．

故答案为:．

【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合时针与分针转动的时间得出等式是解题关键．直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周,再利用分针转动一周60分钟,时针转动一周720分钟，进而得出等式求出答案．15、【答案】0.75

【考点】绝对值，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：当x＞0时，函数y=x2﹣|x|=x2﹣x，当x=1。5时，y=1。52﹣1.5=0。75,

则m=0。75．

故答案为：0.75．

【分析】当x＞0时,去掉绝对值符号，找出此时y关于x的函数关系式，将x=1.5代入其中即可得出m的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，解题的关键是找出当x＞0时,函数的关系式．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据绝对值的性质找出当x＞0时y关于x的函数关系式是关键．三、作图题16、【答案】解：如图所示,

【考点】轴对称图形，由三视图判断几何体，作图-三视图

【解析】【分析】根据俯视图和左视图可知，该几何体共两层,底层有9个正方体,上层中间一行有正方体，若使主视图为轴对称图形可使中间一行、中间一列有一个小正方体即可．本题主要考查三视图还原几何体及轴对称图形,解题的关键是根据俯视图和左视图抽象出几何体的大概轮廓．四、综合题17、【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作，

因为点C（﹣1,3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0)，

所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1,

所以点A1的坐标为（2，2）,B1点的坐标为(3,﹣2）

（2）解：因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，

所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1,﹣3）；

（3）解：如图,△A2B3C3为所作,A3（5，3），B3（1,2）,C3（3，1)；

【考点】坐标与图形变化—平移，坐标与图形变化—旋转

【解析】【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解;（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，9018、【答案】(1）1；5

（2)解：将（1)中的数值代入公式,

得:，

解得:

【考点】二元一次方程的应用,多边形的对角线

【解析】【解答】解：(1)画出图形如下．

由画形，可得：

当n=4时,P4=1；当n=5时，P5=5．

故答案为：1;5．

【分析】(1）依题意画出图形，数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；(2）将（1）中的数值代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可得出结论．本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用,解题的关键是:（1）画出图形，数出对角线交点的个数;（2）代入数据得出关于a、b的二元一次方程组．本题属于基础题,难度不大，解决该题型题目时,依据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．19、【答案】（1）解：请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1,如图1所示，

（2）解:以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2,如图2所示，

∵A(2,2），C（4，﹣4），B（4，0），

∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D（，0）,

∵∠CBD=90°，

∴CD==，

∴sin∠DCB===．

∵∠A2C2B2=∠ACB，

∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=

【考点】作图—平移变换，作图—位似变换

【解析】【解答】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型．20、【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求

（2）解：如图所示:△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【考点】作图—平移变换，作图-位似变换

【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．21、【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作，

（2）解:四边形AB1A1B的面积=×6×4=12

【考点】作图—旋转变换

【解析】【分析】（1)利用网格特点，延长AC到A1使A1C=AC，延长BC到B1使B1C=BC，C点的对应点C1与C点重合,则△A1B1C1满足条件;(2)四边形AB1A1B的对角线互相垂直平分，则四边形AB1A22、【答案】(1）菱形

（2）10;120

【考点】平行四边形的性质，菱形的判定与性质,作图—基本作图

【解析】【解答】解：（1)在△AEB和△AEF中，

，

∴△AEB≌△AEF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC,

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形

∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形．

故答案为菱形．

2）∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO,

∵AB=10,

∴AB=2BO,∵∠AOB=90°

∴∠BA0=30°,∠ABO=60°,

∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．

故答案为10，120．

【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．23、【答案】（1)解：如图，连接BD，BD与AE交于点F,连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．

理由如下：

∵BD、AC是▱ABCD的对角线,

∴点O是AC的中点，

∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，

∴AE=BO,AO=BE，

∵AO=BE，

∴△ABO≌△BAE(SSS），

∴∠ABO=∠BAE，

△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，

∵∠BAC=∠ABC，

∴∠EAC=∠OBC，

由可得△AFC≌BFC（SAS）

∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，

所以CH是△ABC的高；

（2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB,

∴AH=AB=3，

∴CH==4,

∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12，

∵AE是△ABC的中线，

∴S△ACE=S△ABC=6．

【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图

【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB,与AB交于点H，则CH为△ABC的高；（2)首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．24、【答案】（1）

（2）AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ,则线段PQ即为所求

【考点】勾股定理

【解析】【解答】解：(1）AE==;

故答案为：;

（2)如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q,连接PQ,则线段PQ即为所求．

故答案为：AC与网格线相交,得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

【分析】（1)根据勾股定理即可得到结论；（2）取格点M，连接AM,并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．本题考查了作图﹣应用与设计作图,勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．25、【答案】（1)2：1

（2)解：如图所示

（3）（﹣2a，2b）

【考点】作图—轴对称变换，作图—位似变换

【解析】【解答】解:（1）△A1B1C1与△ABC的位似比等于===2；

（3）点P(a，b)为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后,点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．

故答案为：，（﹣2a，2b）．

【分析】（1)根据位似图形可得位似比即可;（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可;（3）根据三次变换规律得出坐标即可．此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析．26、【答案】（1）解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，

取x1=3，则x2=2，x3=0,x4=﹣4，…

取x1=4，则x2x3=x4=4，…

取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12,…由此发现：

当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．

当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．

当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大

(2）解：当x1＞时,随着运算次数n的增加,xn越来越大．

当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．

当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．

理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为(,），

当x1＞时,对于同一个x的值,kx+b＞x，

∴y1＞x1

∵y1=x2，

∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，

∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．

同理,当x1＜时，随着运算次数n的增加,xn越来越小．

当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变

（3)解：①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．

随着运算次数的增加,运算结果越来越接近．

②由(2)可知：﹣1＜k＜1且k≠0,

由消去y得到x=

∴由①探究可知：m=．

【考点】一次函数的性质

【解析】【分析】（1)分x1＜4，x1=4,x1＞4三种情形解答即可．（2）分x1＞，x1＜，x1=三种情形解答即可．（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，xn的值越来越接近两直线交点的横坐标．

②根据前面的探究即可解决问题．本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律,学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．27、【答案】（1）3

（2）解:连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵，

∴AD=BD，

将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处，如图③

，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB=13,BC=12,

∴由勾股定理可求得：AC=5,

∵BC=AE,

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED,

∴△EDC是等腰直角三角形,

∴CE=CD，

∴CD=

（3）解：以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B,D1C,如图④

由（2）的证明过程可知:AC+BC=D1C，

∴D1C=，

又∵D1D是⊙O的直径,

∴∠DCD1=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=AB2=m2+n2,

∵D1C2+CD2=D1D2,

∴CD=m2+n2﹣=，

∵m＜n，

∴CD=；

(4）解：当点E在直线AC的左侧时，如图⑤

，

连接CQ，PC，

∵AC=BC，∠ACB=90°,

点P是AB的中点,

∴AP=CP，∠APC=90°,

又∵CA=CE，点Q是AE的中点,

∴∠CQA=90°，

设AC=a，

∵AE=AC,

∴AE=a，

∴AQ=AE=,

由勾股定理可求得:CQ=a，

由（2)的证明过程可知：AQ+CQ=PQ，

∴PQ=a+a，

∴PQ=AC；

当点E在直线AC的右侧时,如图⑥

，

连接CQ、CP，

同理可知：∠AQC=∠APC=90°，

设AC=a，

∴AQ=AE=，

由勾股定理可求得:CQ=a，

由（3）的结论可知:PQ=(CQ﹣AQ），

∴PQ=AC．

综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC或PQ=AC．

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】解:（1）由题意知：AC+BC=CD，

∴3+2=CD，

∴CD=3，；

【分析】(1)由题意可知:AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2)连接AC、BD、AD即可将问题转化为第(1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由(2）问题可知：AC+BC=CD1;又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和(3）问的结论进行解答．本题考查圆的综合问题,每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答，考查学生综合运用知识的能力．28、【答案】（1)0

（2）如图所示:

（3）由函数图象知:①函数y=x2﹣2|x｜的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大

（4）3；3;2；﹣1＜a＜0

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】解：（1）根据函数的对称性可得m=0,

故答案为：0；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点,所以对应的方程x2﹣2｜x｜=0有3个实数根；

②如图，∵y=x2﹣2|x｜的图象与直线y=2有两个交点，

∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；

③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x｜=a有4个实数根,

∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，

故答案为：3，3,2,﹣1＜a＜0．

【分析】(1）根据函数的对称性即可得到结论；(2）描点、连线即可得到函数的图象；(3)根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x｜的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4)①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论;②如图,根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．29、【答案】（1）解:∵点D(m，n），

∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n,y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n

（2）解:点D有一条特征线是y=x+1，

∴n﹣m=1，

∴n=m+1

∵抛物线解析式为,

∴y=(x﹣m）2+m+1，

∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴，D(m,n），

∴B（2m,2m），

∴（2m﹣m)2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；

∴D(2，3），

∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3

（3）解：如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，

根据题意可得，D（2，3）,

∴OA′=OA=4，OM=2,

∴∠A′OM=60°，

∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN=,

∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．

乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，

∵顶点落在OP上，

∴A′与D重合，

∴A′（2，3），

设P(4,c）（c＞0），

由折叠有，PD=PA，

∴=c,

∴c=，

∴P（4，）

∴直线OP解析式为y=，

∴N（2，），

∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，

即:抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上

【考点】二次函数的应用，正方形的性质，翻折变换（折叠问题)

【解析】【分析】(1）根据特征线直接求出点D的特征线;

（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式；

（3）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质，正方形的性质,特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．30、【答案】（1）解:如图一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴线段AD是△ABC的面径．

∵∠B=60°，

∴sin60°=，

∴=，

∴AD=．

（2）解:如图二中，

∵ME∥BC,且ME是△ABC的一条面径，

∴△AME∽△ABC,=，

∴=，

∴ME=．

（3）解：如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

∵S△MOA=S△DOE，

∴S△AEM=S△AED，

∴•AE•MN=•AE•DF，

∴MN=DF，

∵MN∥DF，

∴四边形MNFD是平行四边形，

∴DM∥AE．

（4）解：如图四中,作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，

∴,

∴，

∴xy=2，

在RT△MBF中，∵∠MFB=90°,∠B=60°,BM=x，

∴BF=x，MF=x，

∴ME===≥，

∴ME≥,

∵ME是等边三角形面径，AD也是等边三角形面积径,

∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围≤l≤

【考点】等边三角形的性质，圆的综合题

【解析】【分析】（1)根据等腰三角形三线合一即可证明，利用直角三角形30°性质,即可求出AD．(2）根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方，即可解决问题．（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F,先证明MN=DF，推出四边形MNFD是平行四边形即可．(4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性质证明ME≥即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、平行线的性质，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会条件常用辅助线，记住不等式的性质x2+y2≥2xy，属于中考压轴题．31、【答案】（1)解：如图，

（2）2;该函数有最大值

【考点】函数的概念

【解析】【解答】解:①x=4对应的函数值y约为2；

②该函数有最大值．

故答案为2，该函数有最大值．

【分析】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解:①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．

（1)按照自变量由小到大,利用平滑的曲线连结各点即可；

（2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可；②利用函数图象有最高点求解．32、【答案】（1）解：如图1，

∵四ABCD是正方形,

由旋转知：AD=AD’，∠D=∠D’=90°,∠DAD'=∠OAP=60°,

∴∠DAP=∠D'AO，

∴△APD≌△AOD'（ASA）

∴AP=AO,

∵∠OAP=60°，

∴△AOP是等边三角形，

（2）解:如图2，

作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五ABCDE是正五边形，

由旋转知:AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E'AO

∴△APE≌△AOE’（ASA)

∴∠OAE’=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°,

（3)15°；24°

(4）是

（5）60°﹣

【考点】全等三角形的判定，等边三角形的判定，旋转的性质,正多边形的定义

【解析】【解答】解：（3)由（1)有，△APD≌△AOD’，

∴∠DAP=∠D′AO，

在△AD′O和△ABO中,

,

∴△AD′O≌△ABO，

∴∠D′AO=∠BAO,

由旋转得，∠DAD′=60°，

∵∠DAB=90°，

∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，

∴∠D′AD=∠D′AB=15°，

同理可得,∠E′AO=24°，

故答案为：15°，24°;

4）如图3，

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，

∴∠F=F′=120°，

由旋转得,AF=AF′，EF=E′F′，

∴△APF≌△AE′F′，

∴∠PAF=∠E′AF′，

由旋转得，∠FAF′=60°,AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°，

∴△PAO是等边三角形．

故答案为:是；

5)同(3)的方法得，∠OAB=［（n﹣2）×180°÷n﹣60°］÷2=60°﹣

故答案：60°﹣；

【分析】此题是几何变形综合题,主要考查了正多边形的性质旋转的性质，全等三角形的判定,等边三角形的判定,解本题的关键是判定三角形全等．（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD’,最后用旋转角计算即可;(2)先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN,在判断出Rt△APM≌Rt△AON即可;(3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可;（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；(5）用（3)的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．33、【答案】(1）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°,

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°,

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）解:设DH=x,由由题意，CD=2x，CH=x，

∴AD=2AB=4x，

∴AH=AD﹣DH=3x,

∵CH⊥AD，

∴AC==2x，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°,

∴∠HCF=∠ACE,

∴△ACE∽△HCF，

∴=2，

∴AE=2FH．

（3）

【考点】全等三角形的性质,全等三角形的判定，等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】（3）解:如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．

∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°，

∵∠AFC+∠CFN=180°，

∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，

∴△CFN∽△CEM，

∴，

∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，

∴CM=3CN，

∴=，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，

∵∠MAH=60°，∠M=90°,

∴∠AHM=∠CHN=30°，

∴HC=2a，HM=a，HN=a，

∴AM=a，AH=a,

∴AC==a，

AE+3AF=（EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a,

∴==．

故答案为．

【分析】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由由题意,CD=2x,CH=x，由△ACE∽△HCF，得由此即可证明．（3)如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得，由AB•CM=AD•CN，AD=3AB,推出CM=3CN，所以=,设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC,AE+3AF即可解决问题．34、【答案】（1）30;BE+DF=EF

(2）解：如图3，在BE上截取BG=DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，

∵∠DAF+∠DAE=30°，

∴∠BAG+∠DAE=30°，

∵∠BAD=60°，

∴∠GAE=60°﹣30°=30°，

∴∠GAE=∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE=FE，

又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，

∴BE﹣DF=EF，

即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF=EF

(二）拓展延伸

如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′(A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N,过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

解：如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′,则

AE=AE′，∠EAE′=60°，

∴△AEE′是等边三角形,

又∵∠EAF=30°，

∴AN平分∠EAF，

∴AN⊥EE′，

∴直角三角形ANE中，=，

∵在等边△ABC中，AM⊥BC,

∴∠BAM=30°，

∴=，且∠BAE+∠EAM=30°，

∴=，

又∵∠MAN+∠EAM=30°，

∴∠BAE=∠MAN，

∴△BAE∽△MAN，

∴=，即=，

∴MN=

【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：（一）（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则

∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，

∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，

∴∠1+∠3=30°，

∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°

∴∠EAF=∠FAE′，

在△AEF和△AE′F中，

，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF=E′F，即EF=DF+DE′,

∴EF=DF+BE,即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF，

故答案为：30，BE+DF=EF;

【分析】（一）（1）根据图形旋转前后对应边相等,对应角相等，判定△AEF≌△AE′F，进而根据线段的和差关系得出结论;（2)先在BE上截取BG=DF,连接AG，构造△ABG≌△ADF，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定△GAE≌△FAE，最后根据线段的和差关系得出结论;(二）先根据旋转的性质判定△AEE′是等边三角形,进而利用等边△ABC、等边△AEE′的三线合一的性质，得到=和∠BAE=∠MAN，最后判定△BAE∽△MAN，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得MN的长．本题以旋转为背景,考查了全等三角形与相似三角形，考核了学生对图形进行分解、组合的能力，解题关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等．解题时应注意等边三角形具有三线合一的性质，此类试题的一般解题方法为作辅助线