2017年高中数学第三章导数及其应用3.1导数概念3.1.3导数的概念和几何意义同步练习湘教版1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE7学必求其心得，业必贵于专精3。1。3导数的概念和几何意义1．质点的运动规律为s＝2t2＋1，其中s表示路程，t表示时间，则在某时间段[1,1＋d]中，质点运动的路程s对时间t的平均变化率为()．A．4B．dC．4＋dD．4＋2d2．函数y＝f（x）＝eq\r（x)＋1在x＝1处的导数是（）．A．eq\f（1，2）B．1C．eq\f(3，2）D．43．函数y＝f（x)＝x2的导函数是(）．A．xB．2xC．x2D．2x24．曲线f（x）＝x3＋2x＋1在点P(1,4）处的切线方程是()．A．5x－y＋1＝0B．x－5y－1＝0C．5x－y－1＝0D．x－5y＋1＝05．函数f(x）＝x3＋4x＋1，则f′(x)＝()．A．3x2＋4B．4x2＋3C．x3＋4xD．x2＋46．对于函数y＝x2，在x＝__________处的导数值等于其函数值．7．曲线y＝f(x）＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为__________．8．曲线y＝x3在点（a，a3)(a≠0）处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为eq\f（1，6)，则a＝__________。9．直线l：y＝x＋a（a≠0）和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点的坐标．10．已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点（1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.（1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．

参考答案1．D平均变化率为eq\f（s(1＋d)－s(1），d）＝eq\f（2(1＋d）2＋1－(2×12＋1),d)＝4＋2d.2．Aeq\f(f(1＋d）－f(1)，d)＝eq\f（\r（1＋d）＋1－（\r（1)＋1）,d）＝eq\f（\r（1＋d）－1，d）＝eq\f（1,\r（1＋d)＋1），当d趋于0时，eq\f(1，\r(1＋d)＋1)趋于eq\f（1，2)。∴f′（1)＝eq\f（1,2）。3．Beq\f(f（x＋d）－f(x）,d)＝eq\f（（x＋d)2－x2，d)＝2x＋d，当d趋于0时，2x＋d趋于2x，∴f′(x)＝2x。4．C因为P(1，4）在曲线上，所以在曲线上取另一点Q(1＋d，f（1＋d))，计算PQ的斜率为k(1，d)＝eq\f（f(1＋d）－f（1)，d）＝eq\f（(1＋d)3＋2（1＋d）＋1－（13＋2×1＋1)，d)＝eq\f(d3＋3d2＋5d，d)＝d2＋3d＋5。当d趋于0时，d2＋3d＋5趋于5,所以所求切线的斜率为5，∴切线方程为y－4＝5（x－1），即5x－y－1＝0。5．Aeq\f（f（x＋d)－f（x）,d）＝eq\f(（x＋d）3＋4(x＋d）＋1－(x3＋4x＋1）,d）＝3x2＋4＋3xd＋d2.当d趋于0时,3x2＋4＋3xd＋d2趋于3x2＋4,∴f′(x)＝3x2＋4.6．0或2设x＝x0，则eq\f(f（x0＋d)－f（x0），d)＝eq\f（（x0＋d)2－x20,d)＝d＋2x0。当d趋于0时，d＋2x0趋于2x0.由题意得：2x0＝x02.∴x0＝0或x0＝2.7．x＋y－2＝0eq\f（f(1＋d)－f(1）,d）＝eq\f(2（1＋d）－（1＋d）3－(2×1－13）,d）＝－1－3d－d2。当d趋于0时,－1－3d－d2趋于－1，∴f′（1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.∴所求切线的方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0。8．±1eq\f（f（a＋d）－f(a),d）＝eq\f（(a＋d）3－a3,d)＝3a2＋3ad＋d2，当d趋于0时，3a2＋3ad＋d2趋于3a2.∴曲线在点(a，a3）处的切线的斜率为3a2∴曲线在点（a,a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a∴切线与x轴的交点为(eq\f（2，3)a，0）．∴eq\f（1，2)｜a－eq\f（2，3)a｜·|a3｜＝eq\f（1,6）,解得a＝±1.9．解：设直线l和曲线C相切于点P（x0，y0）．令f(x)＝x3－x2＋1,则eq\f(f（x0＋d)－f（x0），d)＝eq\f（（x0＋d)3－(x0＋d)2＋1－（x03－x02＋1），d)＝d2＋3x0d＋3x02－2x0－d。当d趋于0时，有f′（x0）＝3x02－2x0。由题意知3x02－2x0＝1，解得x0＝－eq\f(1,3）或1.于是切点坐标为(－eq\f（1，3)，eq\f（23,27）)或（1，1）．当切点为（－eq\f（1，3)，eq\f（23，27)）时，eq\f(23，27）＝－eq\f（1，3）＋a，∴a＝eq\f（32,27）。当切点为（1，1）时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去）．∴a的值为eq\f(32，27）,切点坐标为（－eq\f（1,3)，eq\f（23，27））．10．解:（1)由导数的概念，得k1＝f′(1)＝3，∴直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，则k2＝f′(b)＝2b＋1，∵l1⊥l2，∴(2b＋1)×3＝－1,解得b＝－eq\f(2，3）。∴直线l2的方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f（22,9)。(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝3x－3，，y＝－\f（1,3）x－\f（22,9），）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（1，6），，y＝－\f（5，2).））∴直线l1与l2的交点坐标为（eq\f（1，6），－eq\f（5，2))．又∵l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），（－eq\f(22，3),0）,∴所求三角形的面积S＝eq