2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练专题04圆与方程导学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精专题04圆与方程学习目标通过复习帮助同学们系统掌握本章知识；2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用。二、知识梳理1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1)标准方程，圆心,半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时，方程不表示任何图形。(3）求圆方程的方法:一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程,需求出a，b,r；若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆,圆心到l的距离为,则有；；（2）设直线，圆，先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后令其中的判别式为，则有；;注：如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径.(3）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（课本命题)．②圆（x—a）2+（y—b）2=r2,圆上一点为(x0，y0），则过此点的切线方程为(x0-a）（x-a)+(y0—b)(y—b)=r2（课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点,有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时,两圆内含;当时，为同心圆.5、空间直角坐标系（1）定义：如图,是单位正方体。以A为原点，分别以OD,O，OB的方向为正方向,建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.（1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴。3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作(x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标）(4）空间两点距离坐标公式：三、典型例题例1。求圆心在直线3x＋4y－1＝0上,且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.【方法规律】用待定系数法设圆的方程（圆系方程或一般方程或标准方程），根据条件求系数。变式练习1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【答案】(x－4)2＋(y－4）2＝16或（x－1）2＋(y＋1）2＝1.例2.已知圆M:（x－1)2＋（y－1）2＝4,直线l过点P（2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB｜＝2eq\r（3）,求直线l的方程．【解析】（1)当直线l存在斜率时,设直线l的方程为y－3＝k(x－2），即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C。在Rt△MBC中，|BC|＝eq\f(1，2）|AB|＝eq\r（3），｜MB|＝2，故|MC|＝eq\r（|MB｜2－|BC|2)＝1，由点到直线的距离公式得eq\f(|k－1＋3－2k|，\r(k2＋1）)＝1，解得k＝eq\f(3,4).故直线l的方程为3x－4y＋6＝0。(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB｜＝2eq\r(3）,所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2。【方法规律】解决有关圆的问题时，注意几何意义的运用。变式练习2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋eq\r（3)y＝0相切于点Q(3,－eq\r(3)），求圆C的方程．【答案】（x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3））2＝36.【解析】设所求圆C的方程为(x－a）2＋(y－b)2＝r2,圆心C（a，b）与Q(3，－eq\r(3)）的连线垂直于直线x＋eq\r(3）y＝0，且斜率为eq\r(3).由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\r（a－12＋b2)＝r＋1,,\f（｜a＋\r(3)b|，2)＝r，,\f(b＋\r(3),a－3）＝\r（3），））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，，b＝0，，r＝2））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r（3),,r＝6。））∴所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r（3))2＝36。例3。如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，（M，N分别为切点），使得｜PM｜＝eq\r（2）|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．变式练习3．等腰三角形的顶点是A(4,2），底边一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么。【解析】设另一端点C的坐标为（x,y).依题意，得|AC|＝｜AB｜。由两点间距离公式，得eq\r（x－42＋y－22)＝eq\r（4－32＋2－52）,整理得（x－4）2＋（y－2）2＝10.这是以点A（4,2)为圆心，以eq\r（10)为半径的圆,如图所示,又因为A、B、C为三角形的三个顶点,所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．又因为点B、C不能为一直径的两个端点,所以eq\f(x＋3,2）≠4。且eq\f（y＋5,2)≠2，即点C不能为(5，－1)．故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10（除去点(3，5)和（5，－1))．综上,它的轨迹是以点A（4,2）为圆心，eq\r(10）为半径的圆，但除去(3，5）和(5，－1）两点.例4.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值；(2)y—x的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.【方法规律】求、y-x、x2+y2的最值，联想其几何意义。变式练习4.若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0,求x＋y的最小值．【答案】－3eq\r（2)－1。【解析】原方程化为（x＋4）2＋（y－3）2＝9，设x＋y＝b，则y＝－x＋b，可见x＋y的最小值就是过圆（x＋4）2＋(y－3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中,纵截距b的最小值,此时,直线与圆相切,由点到直线的距离公式得eq\f(｜4－3＋b｜，\r(2）)＝3.解得b＝3eq\r（2）－1或b＝－3eq\r（2）－1,所以x＋y的最小值为－3eq\r（2）－1.四、课堂练习1.圆的半径为（)A.B.C。D。【答案】B【解析】由圆，通过配方可得。所以圆的半径为。故选B。2．直线与圆的位置关系为A.相切B.相交但不过圆心C.直线过圆心D。相离【答案】B【解析】圆的圆心，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交但不过圆心。故选B。3.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【答案】x2＋y2＝25【解析】原点O到直线的距离d＝eq\f（15,\r(32＋42))＝3，设圆的半径为r,∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.4。一直线过点，被圆截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程。【答案】(1）(2）五、课后练习1。圆心在轴上，半径为1,且过点的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据圆的标准方程，因为圆心在轴上，排除C;又经过点，代入剩余选项得只有A正确.另解：设圆的方程为，将点代入得，所以方程为。故选A。2。经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，eq\r（6))的切线方程是（）A．x＋eq\r(6）y－10＝0 B。eq\r(6）x－2y＋10＝0C．x－eq\r（6）y＋10＝0 D．2x＋eq\r(6)y－10＝0【答案】D【解析】∵点M（2，eq\r(6）)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝eq\f（\r(6)，2)，∴过点M的切线的斜率为k＝－eq\f（\r(6），3)。故切线方程为y－eq\r（6）＝－eq\f（\r(6），3)（x－2）．即2x＋eq\r(6）y－10＝0。故选D.3．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（）A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【答案】A【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2),由直线的两点式方程，得eq\f(y＋2,1＋2）＝eq\f(x－1,2－1），即3x－y－5＝0。故选A。4.已知圆C1:(x＋2)2＋(y－2）2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．（x＋3）2＋(y－3）2＝2B．（x－1）2＋(y＋1）2＝2C．（x－2)2＋（y＋2）2＝2D．（x－3）2＋(y＋3)2＝2【答案】D5。已知圆与圆相内切，则实数m的值为．【答案】1或121【解析】圆的圆心为,半径为，圆的圆心为，半径为6，由两圆外切可知或6。若x，y∈R,且x＝eq\r(1－y2）,则eq\f(y＋2,x＋1）的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（3,4），3)）【解析】x＝eq\r（1－y2)⇔x2＋y2＝1(x≥0），此方程表示半圆，如图,设P（x,y）是半圆上的点，则eq\f（y＋2,x＋1）表示过点P(x，y）,Q(－1，－2）两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k（x＋1）．从而由eq\f(|k－2｜,\r(k2＋1)）＝1，解得k＝eq\f(3,4).又kBQ＝3，∴所求范围是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(3,4)，3））.7。求经过两点A(－1,4），