2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性学案版2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．3。1单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4。9t2＋6。5t＋10的图象及h′（t）＝－9。8t＋6。5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2观察图中函数f（x)，填写下表．导数值切线的斜率切线倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性〉0____0____角〈0____0____角一般地,设函数y＝f（x)，在区间(a,b）上（1）如果f′（x)>0，那么f(x）为该区间上的________；（2)如果f′（x)<0，那么f（x)为该区间上的________．知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系思考观察下图，填写下表．注:表的最右一列填“平缓"或“陡峭”,函数值变化一栏中填快或慢.区间导数的绝对值函数值变化函数图象（－∞，a）较______较______比较“______”（a,0)较______较______比较“______”（0，b)较______较______比较“______”（b，＋∞）较______较______比较“平缓”一般地，设函数y＝f(x），在区间（a,b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“______”（向上或向下)越小比较“______”（向上或向下）类型一导数与单调性的关系例1已知函数y＝f(x）的图象如图所示，则函数y＝f′(x）的图象可能是图中的________．反思与感悟(1）利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．（2）通过图象研究函数的单调性的方法：①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势；②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．跟踪训练1已知y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x）的图象最有可能是如图所示的________．类型二利用导数研究函数的单调性例2讨论函数f(x）＝eq\f（1,2）ax2＋x－(a＋1)lnx（a≥0）的单调性．反思与感悟(1)本题易忽略a＝0的情况而致错，同时，求函数的单调性一定要注意函数的定义域．（2）利用导数研究函数单调性的方法:第一步:求定义域，对函数求导;第二步：解导数等于0时的方程；第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．跟踪训练2设函数f(x）＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．类型三已知函数的单调性求参数的范围例3（1)若函数f(x)＝kx－lnx在区间（1,＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．(2）若函数f（x）＝eq\f(1，3)x3－eq\f（1,2)ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．反思与感悟(1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路:①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x）≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝"时是否满足题意．②先令f′（x)>0(或f′（x）<0）,求出参数的取值范围后,再验证参数取“＝”时f(x）是否满足题意．（2）恒成立问题的重要思路①m≥f（x)恒成立⇒m≥f（x）max；②m≤f（x)恒成立⇒m≤f（x）min.跟踪训练3（1)若函数f(x）＝kx－lnx在区间(1，＋∞）上不单调，则k的取值范围是________．（2）已知函数f(x）＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2,＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为________．2．已知f′（x)是f（x）的导函数,f′(x）的图象如图所示,则f(x）的图象只可能是________．3．函数f(x)＝3＋x·lnx的单调递增区间是________．4．已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域,在定义域内通过解f′（x）>0或f′(x）<0得到，两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．2．已知函数f（x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x）≥0或f′（x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意．提醒：完成作业1.3。1

答案精析问题导学知识点一思考1从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h（t)是增函数，h′（t）〉0；从最高点到入水，h(t）是减函数，h′（t)<0.思考2>锐上升递增<钝下降递减(1)增函数（2）减函数知识点二思考小慢平缓大快陡峭大快陡峭小慢快陡峭慢平缓题型探究例1③解析由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x）的正、负情况如下表：x(－1，b)(b,a)(a，1)f(x)f′(x）－＋－由表可知函数y＝f′（x）的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈（b，a）时,在x轴上方；当x∈(a，1)时，在x轴下方．故选③。跟踪训练1③例2解函数f（x）的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－eq\f(a＋1，x）＝eq\f(ax2＋x－a＋1，x）.（1)当a＝0时,f′(x）＝eq\f（x－1,x），由f′（x）>0，得x>1；由f′（x)<0,得0〈x<1。∴f(x)在点(0,1）内为减函数,在（1，＋∞)内为增函数．(2)当a>0时,f′（x）＝eq\f(ax＋\f（a＋1,a）x－1,x)，∵a>0，∴－eq\f（a＋1,a)<0，由f′(x)〉0，得x>1；由f′(x）〈0，得0<x〈1。∴f(x)在（0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，a≥0时，f（x)在（0,1）内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．跟踪训练2解f(x)的定义域为（－∞，＋∞）,f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x）>0,所以f(x)在（－∞,＋∞）上单调递增．若a>0，则当x∈（－∞，lna）时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时,f′(x)〉0。所以f（x）在(－∞，lna)上单调递减，在（lna,＋∞)上单调递增．综上所述，a≤0时，f（x)的单调递增区间为(－∞,＋∞）；a＞0时，f(x）的单调递增区间为（lna，＋∞），单调递减区间为(－∞，lna）．例3(1)［1，＋∞)（2)解函数求导得f′(x）＝x2－ax＋a－1＝(x－1）[x－(a－1)］，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1，因为函数在区间（1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′（x)≤0，又因为函数在区间(6,＋∞）上为增函数,所以当x∈（6，＋∞）时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.即实数a的取值范围为[5，7]．跟踪训练3(1）(0，1)(2）(－∞,eq\f(1,2））解析(1）f（x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝k－eq\f（1，x）.当k≤0时，f′（x）<0。∴f（x)在（0,＋∞)上单调递减，故不合题意．当k>0时,令f′（x）＝0,得x＝eq\f(1，k)，只需eq\f(1，k）∈（1,＋∞）,即eq\f（1,k）>1，则0〈k〈1.∴k的取值范围是（0，1）．（2)因为f(x）＝eq\f(ax＋1，x＋2)，所以f′(x）＝eq\f（2a－1,x＋22).由函数f(x)在（－2，＋∞)内单调递减知f′(x）≤0在（－2，＋∞）内恒成立，即eq\f（2a－1,x＋22)≤0在(－2,＋∞）内恒成立，因此a≤eq\f（1,2）.当a＝eq\f(1,2）时，f(x）＝eq\f(1,2）,此时函数f(x）为常数函数，故a＝eq\f(1，2）不符合题意舍去．所以a